代 数 初 步 知 识
1 . 代 数 式 ： 用 运 算 符 号 ＋ － × ÷ 连 接 数 及 字 母 的 式 子 称 为 代 数 式 （ 单 独 一 个 数 或 一 个 字
母 也 是 代 数 式 ）
2 . 几 个 重 要 的 代 数 式 ： （ m 、 n 表 示 整 数 ）
2 2 2
（ 1 ） a 与 b 的 平 方 差 是 ： a - b ； a 与 b 差 的 平 方 是 ： （ a - b ） ；
（ 2 ） 若 a 、 b 、 c 是 正 整 数 ， 则 两 位 整 数 是 ： 1 0 a + b , 则 三 位 整 数 是 ： 1 0 0 a + 1 0 b + c ；
（ 3 ） 若 m 、 n 是 整 数 ， 则 被 5 除 商 m 余 n 的 数 是 ： 5 m + n ； 偶 数 是 ： 2 n ， 奇 数 是 ：
2 n + 1 ； 三 个 连 续 整 数 是 ： n - 1 、 n 、 n + 1 ；
有 理 数
1 . 有 理 数 ：
q
( 1 ) 凡 能 写 成 ( p , q 为 整 数 且 p ? 0 ) 形 式 的 数 ， 都 是 有 理 数 . 正 整 数 、 0 、 负 整 数 统 称 整 数 ； 正
p
分 数 、 负 分 数 统 称 分 数 ； 整 数 和 分 数 统 称 有 理 数 . 注 意 ： 0 即 不 是 正 数 ， 也 不 是 负 数 ； - a 不
一 定 是 负 数 ， + a 也 不 一 定 是 正 数 ； ? 不 是 有 理 数 ；
? ?
? 正 整 数 ? 正 整 数
正 有 理 数
?
?
? ?
正 分 数 整 数 零
?
?
? ?
?
( 2 ) 有 理 数 的 分 类 : ① ② 负 整 数
有 理 数 零 有 理 数
? ?
?
? ?
? 负 整 数 ? 正 分 数
负 有 理 数 分 数
? ?
? ?
负 分 数 负 分 数
?
?
? ?
( 3 ) 注 意 ： 有 理 数 中 ， 1 、 0 、 - 1 是 三 个 特 殊 的 数 ， 它 们 有 自 己 的 特 性 ； 这 三 个 数 把 数 轴 上 的
数 分 成 四 个 区 域 ， 这 四 个 区 域 的 数 也 有 自 己 的 特 性 ；
( 4 ) 自 然 数 ? 0 和 正 整 数 ； a ＞ 0 ? a 是 正 数 ； a ＜ 0 ? a 是 负 数 ；
a ≥ 0 ? a 是 正 数 或 0 ? a 是 非 负 数 ； a ≤ 0 ? a 是 负 数 或 0 ? a 是 非 正 数 .
2 ． 数 轴 ： 数 轴 是 规 定 了 原 点 、 正 方 向 、 单 位 长 度 的 一 条 直 线 .
3 ． 相 反 数 ：
( 1 ) 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 ， 我 们 说 其 中 一 个 是 另 一 个 的 相 反 数 ； 0 的 相 反 数 还 是 0 ；
1
( 2 ) 注 意 ： a - b + c 的 相 反 数 是 - a + b - c ； a - b 的 相 反 数 是 b - a ； a + b 的 相 反 数 是 - a - b ；
( 3 ) 相 反 数 的 和 为 0 ? a + b = 0 ? a 、 b 互 为 相 反 数 .
4 . 绝 对 值 ：
( 1 ) 正 数 的 绝 对 值 是 其 本 身 ， 0 的 绝 对 值 是 0 ， 负 数 的 绝 对 值 是 它 的 相 反 数 ； 注 意 ： 绝 对 值 的
意 义 是 数 轴 上 表 示 某 数 的 点 离 开 原 点 的 距 离 ；
a ( a ? 0 )
?
a ( a ? 0 )
? ?
( 2 ) 绝 对 值 可 表 示 为 ： 或 a ? ； 绝 对 值 的 问 题 经 常 分 类 讨 论 ；
a ? 0 ( a ? 0 )
? ?
? a ( a ? 0 )
?
?
? a ( a ? 0 )
?
a a
( 3 ) ； ；
? 1 ? a ? 0 ? ? 1 ? a ? 0
a a
a
a
( 4 ) | a | 是 重 要 的 非 负 数 ， 即 | a | ≥ 0 ； 注 意 ： | a | · | b | = | a · b | , ? .
b b
5 . 有 理 数 比 大 小 ： （ 1 ） 正 数 的 绝 对 值 越 大 ， 这 个 数 越 大 ； （ 2 ） 正 数 永 远 比 0 大 ， 负 数 永
远 比 0 小 ； （ 3 ） 正 数 大 于 一 切 负 数 ； （ 4 ） 两 个 负 数 比 大 小 ， 绝 对 值 大 的 反 而 小 ； （ 5 ）
数 轴 上 的 两 个 数 ， 右 边 的 数 总 比 左 边 的 数 大 ； （ 6 ） 大 数 - 小 数 ＞ 0 ， 小 数 - 大 数 ＜ 0 .
1
6 . 互 为 倒 数 ： 乘 积 为 1 的 两 个 数 互 为 倒 数 ； 注 意 ： 0 没 有 倒 数 ； 若 a ≠ 0 ， 那 么 的 倒 数 是 ；
a
a
倒 数 是 本 身 的 数 是 ± 1 ； 若 a b = 1 ? a 、 b 互 为 倒 数 ； 若 a b = - 1 ? a 、 b 互 为 负 倒 数 .
7 . 有 理 数 加 法 法 则 ：
（ 1 ） 同 号 两 数 相 加 ， 取 相 同 的 符 号 ， 并 把 绝 对 值 相 加 ；
（ 2 ） 异 号 两 数 相 加 ， 取 绝 对 值 较 大 的 符 号 ， 并 用 较 大 的 绝 对 值 减 去 较 小 的 绝 对 值 ；
（ 3 ） 一 个 数 与 0 相 加 ， 仍 得 这 个 数 .
8 ． 有 理 数 加 法 的 运 算 律 ：
（ 1 ） 加 法 的 交 换 律 ： a + b = b + a ； （ 2 ） 加 法 的 结 合 律 ： （ a + b ） + c = a + （ b + c ） .
9 ． 有 理 数 减 法 法 则 ： 减 去 一 个 数 ， 等 于 加 上 这 个 数 的 相 反 数 ； 即 a - b = a + （ - b ） .
1 0 有 理 数 乘 法 法 则 ：
2
（ 1 ） 两 数 相 乘 ， 同 号 为 正 ， 异 号 为 负 ， 并 把 绝 对 值 相 乘 ；
（ 2 ） 任 何 数 同 零 相 乘 都 得 零 ；
（ 3 ） 几 个 数 相 乘 ， 有 一 个 因 式 为 零 ， 积 为 零 ； 各 个 因 式 都 不 为 零 ， 积 的 符 号 由 负 因 式 的 个
数 决 定 .
1 1 有 理 数 乘 法 的 运 算 律 ：
（ 1 ） 乘 法 的 交 换 律 ： a b = b a ； （ 2 ） 乘 法 的 结 合 律 ： （ a b ） c = a （ b c ） ；
（ 3 ） 乘 法 的 分 配 律 ： a （ b + c ） = a b + a c .
a
1 2 ． 有 理 数 除 法 法 则 ： 除 以 一 个 数 等 于 乘 以 这 个 数 的 倒 数 ； 注 意 ： 零 不 能 做 除 数 ， 即 无意 义 .
0
1 3 ． 有 理 数 乘 方 的 法 则 ：
（ 1 ） 正 数 的 任 何 次 幂 都 是 正 数 ；
n n
（ 2 ） 负 数 的 奇 次 幂 是 负 数 ； 负 数 的 偶 次 幂 是 正 数 ； 注 意 ： 当 n 为 正 奇 数 时 : ( - a ) = - a 或 ( a
n n n n n n
- b ) = - ( b - a ) , 当 n 为 正 偶 数 时 : ( - a ) = a 或 ( a - b ) = ( b - a ) .
1 4 ． 乘 方 的 定 义 ：
（ 1 ） 求 相 同 因 式 积 的 运 算 ， 叫 做 乘 方 ；
（ 2 ） 乘 方 中 ， 相 同 的 因 式 叫 做 底 数 ， 相 同 因 式 的 个 数 叫 做 指 数 ， 乘 方 的 结 果 叫 做 幂 ；
2 2 2
（ 3 ） a 是 重 要 的 非 负 数 ， 即 a ≥ 0 ； 若 a + | b | = 0 ? a = 0 , b = 0 ；
n
1 5 ． 科 学 记 数 法 ： 把 一 个 大 于 1 0 的 数 记 成 a × 1 0 的 形 式 ， 其 中 a 是 整 数 数 位 只 有 一 位 的
数 ， 这 种 记 数 法 叫 科 学 记 数 法 .
1 6 . 近 似 数 的 精 确 位 ： 一 个 近 似 数 ， 四 舍 五 入 到 那 一 位 ， 就 说 这 个 近 似 数 的 精 确 到 那 一 位 .
1 7 . 有 效 数 字 ： 从 左 边 第 一 个 不 为 零 的 数 字 起 ， 到 精 确 的 位 数 止 ， 所 有 数 字 ， 都 叫 这 个 近 似
数 的 有 效 数 字 .
1 8 . 混 合 运 算 法 则 ： 先 乘 方 ， 后 乘 除 ， 最 后 加 减 ； 注 意 ： 怎 样 算 简 单 ， 怎 样 算 准 确 ， 是 数 学
3
计 算 的 最 重 要 的 原 则 .
1 9 . 特 殊 值 法 ： 是 用 符 合 题 目 要 求 的 数 代 入 ， 并 验 证 题 设 成 立 而 进 行 猜 想 的 一 种 方 法 , 但 不 能
用 于 证 明 .
整 式 的 加 减
1 ． 单 项 式 ： 在 代 数 式 中 ， 若 只 含 有 乘 法 （ 包 括 乘 方 ） 运 算 。 或 虽 含 有 除 法 运 算 ， 但 除 式 中
不 含 字 母 的 一 类 代 数 式 叫 单 项 式 .
2 ． 单 项 式 的 系 数 与 次 数 ： 单 项 式 中 不 为 零 的 数 字 因 数 ， 叫 单 项 式 的 数 字 系 数 ， 简 称 单 项 式
的 系 数 ； 系 数 不 为 零 时 ， 单 项 式 中 所 有 字 母 指 数 的 和 ， 叫 单 项 式 的 次 数 .
3 ． 多 项 式 ： 几 个 单 项 式 的 和 叫 多 项 式 .
4 ． 多 项 式 的 项 数 与 次 数 ： 多 项 式 中 所 含 单 项 式 的 个 数 就 是 多 项 式 的 项 数 ， 每 个 单 项 式 叫 多
项 式 的 项 ； 多 项 式 里 ， 次 数 最 高 项 的 次 数 叫 多 项 式 的 次 数 ； 注 意 ： （ 若 a 、 b 、 c 、 p 、 q
2 2
是 常 数 ） a x + b x + c 和 x + p x + q 是 常 见 的 两 个 二 次 三 项 式 .
5 ． 整 式 ： 凡 不 含 有 除 法 运 算 ， 或 虽 含 有 除 法 运 算 但 除 式 中 不 含 字 母 的 代 数 式 叫 整 式 .
? 单项 式
整 式 分 类 为 ： 整式 .
?
多项 式
?
6 ． 同 类 项 ： 所 含 字 母 相 同 ， 并 且 相 同 字 母 的 指 数 也 相 同 的 单 项 式 是 同 类 项 .
7 ． 合 并 同 类 项 法 则 ： 系 数 相 加 ， 字 母 与 字 母 的 指 数 不 变 .
8 ． 去 （ 添 ） 括 号 法 则 ： 去 （ 添 ） 括 号 时 ， 若 括 号 前 边 是 “ + ” 号 ， 括 号 里 的 各 项 都 不 变 号 ；
若 括 号 前 边 是 “ - ” 号 ， 括 号 里 的 各 项 都 要 变 号 .
9 ． 整 式 的 加 减 ： 整 式 的 加 减 ， 实 际 上 是 在 去 括 号 的 基 础 上 ， 把 多 项 式 的 同 类 项 合 并 .
1 0 . 多 项 式 的 升 幂 和 降 幂 排 列 ： 把 一 个 多 项 式 的 各 项 按 某 个 字 母 的 指 数 从 小 到 大 （ 或 从 大 到
小 ） 排 列 起 来 ， 叫 做 按 这 个 字 母 的 升 幂 排 列 （ 或 降 幂 排 列 ） . 注 意 ： 多 项 式 计 算 的 最 后 结 果 一
般 应 该 进 行 升 幂 （ 或 降 幂 ） 排 列 .
4
一 元 一 次 方 程
1 ． 等 式 的 性 质 ：
等 式 性 质 1 ： 等 式 两 边 都 加 上 （ 或 减 去 ） 同 一 个 数 或 同 一 个 整 式 ， 所 得 结 果 仍 是 等 式 ；
等 式 性 质 2 ： 等 式 两 边 都 乘 以 （ 或 除 以 ） 同 一 个 不 为 零 的 数 ， 所 得 结 果 仍 是 等 式 .
2 ． 方 程 ： 含 未 知 数 的 等 式 ， 叫 方 程 .
3 ． 方 程 的 解 ： 使 等 式 左 右 两 边 相 等 的 未 知 数 的 值 叫 方 程 的 解 ； 注 意 ： “ 方 程 的 解 就 能 代 入 ” ！
4 ． 一 元 一 次 方 程 ： 只 含 有 一 个 未 知 数 ， 且 未 知 数 的 次 数 是 1 ， 并 且 含 未 知 数 项 的 系 数 不 是
零 的 整 式 方 程 是 一 元 一 次 方 程 .
7 ． 一 元 一 次 方 程 的 标 准 形 式 ： a x + b = 0 （ x 是 未 知 数 ， a 、 b 是 已 知 数 ， 且 a ≠ 0 ） .
8 ． 一 元 一 次 方 程 的 最 简 形 式 ： a x = b （ x 是 未 知 数 ， a 、 b 是 已 知 数 ， 且 a ≠ 0 ） .
9 ． 一 元 一 次 方 程 一 般 步 骤 ： 整 理 方 程 。 。 去 分 母 … 去 括 号 … 移 项 … 合 并 同 类 项 … 系 数 化
为 1 … （ 检 验 方 程 的 解 ） .
1 0 ． 列 方 程 解 应 用 题 的 常 用 公 式 ：
2
周 长 、 面 积 、 体 积 问 题 ： C = 2 π R ， S = π R ， C = 2 ( a + b ) ， S = a b ， C = 4 a ，
圆 圆 长 方 形 长 方 形 正 方 形
1
2 2 2 3 2 2
S = a ， S = π ( R - r ) , V = a b c ， V = a ， V = π R h ， V = π R h .
正 方 形 环 形 长 方 体 正 方 体 圆 柱 圆 锥
3
相 交 线 与 平 行 线
一 、 知 识 网 络 结 构
二 、 知 识 要 点
5
1 、 在 同 一 平 面 内 ， 两 条 直 线 的 位 置 关 系 有 两 种 ： 相 交 和 平 行 ， 垂 直 是 相 交 的 一 种
特 殊 情 况 。
2 、 在 同 一 平 面 内 ， 不 相 交 的 两 条 直 线 叫 平 行 线 。 如 果 两 条 直 线 只 有 一 个 公 共 点 ， 称 这
两 条 直 线 相 交 ; 如 果 两 条 直 线 没 有 公 共 点 ， 称 这 两 条 直 线 平 行 。
3 、 两 条 直 线 相 交 所 构 成 的 四 个 角 中 ， 有 公 共 顶 点 且 有 一 条 公 共 边 的 两 个 角 是
邻 补 角 。 邻 补 角 的 性 质 ： 邻 补 角 互 补 。 如 图 1 所 示 ， 与 互 为 邻 补 角 ，
与 互 为 邻 补 角 。 + = 1 8 0 ° ; + = 1 8 0 ° ; + = 1 8 0 ° ;
+ = 1 8 0 ° 。
4 、 两 条 直 线 相 交 所 构 成 的 四 个 角 中 ， 一 个 角 的 两 边 分 别 是 另 一 个 角 的 两 边 的 反 向 延 长 线 ，
这 样 的 两 个 角 互 为 对 顶 角 。 对 顶 角 的 性 质 ： 对 顶 角 相 等 。 如 图 1 所 示 ， 与 互 为 对 顶 角 。
= ;
= 。
5 、 两 条 直 线 相 交 所 成 的 角 中 ， 如 果 有 一 个 是 直 角 或 9 0 ° 时 ， 称 这 两 条 直 线 互 相 垂 直 ，
6
其 中 一 条 叫 做 另 一 条 的 垂 线 。 如 图 2 所 示 ， 当 = 9 0 ° 时 ， ⊥ 。
垂 线 的 性 质 ：
性 质 1 ： 过 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 直 线 垂 直 。
性 质 2 ： 连 接 直 线 外 一 点 与 直 线 上 各 点 的 所 有 线 段 中 ， 垂 线 段 最 短 。
性 质 3 ： 如 图 2 所 示 ， 当 a ⊥ b 时 ， = = = = 9 0 ° 。
点 到 直 线 的 距 离 ： 直 线 外 一 点 到 这 条 直 线 的 垂 线 段 的 长 度 叫 点 到 直 线 的 距 离 。
6 、 同 位 角 、 内 错 角 、 同 旁 内 角 基 本 特 征 ：
① 在 两 条 直 线 ( 被 截 线 ) 的 同 一 方 ， 都 在 第 三 条 直 线 ( 截 线 ) 的 同 一 侧 ， 这 样
的 两 个 角 叫 同 位 角 。 图 3 中 ， 共 有 对 同 位 角 ： 与 是 同 位 角 ;
与 是 同 位 角 ; 与 是 同 位 角 ; 与 是 同 位 角 。
② 在 两 条 直 线 ( 被 截 线 ) 之 间 ， 并 且 在 第 三 条 直 线 ( 截 线 ) 的 两 侧 ， 这 样 的 两 个 角 叫 内 错
角 。 图 3 中 ， 共 有 对 内 错 角 ： 与 是 内 错 角 ; 与 是 内 错 角 。
7
③ 在 两 条 直 线 ( 被 截 线 ) 的 之 间 ， 都 在 第 三 条 直 线 ( 截 线 ) 的 同 一 旁 ， 这 样 的 两 个 角 叫 同 旁
内 角 。 图 3 中 ， 共 有 对 同 旁 内 角 ： 与 是 同 旁 内 角 ; 与 是 同 旁 内 角 。
7 、 平 行 公 理 ： 经 过 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 直 线 平 行 。
平 行 公 理 的 推 论 ： 如 果 两 条 直 线 都 与 第 三 条 直 线 平 行 ， 那 么 这 两 条 直 线 也 互 相 平 行 。
平 行 线 的 性 质 ：
性 质 1 ： 两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 。 如 图 4 所 示 ， 如 果 a ∥ b ，
则 = ; = ; = ; = 。
性 质 2 ： 两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 。 如 图 4 所 示 ， 如 果 a ∥ b ， 则 = ; = 。
性 质 3 ： 两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 互 补 。 如 图 4 所 示 ， 如 果 a ∥ b ， 则 + = 1 8 0 ° ;
+ = 1 8 0 ° 。
性 质 4 ： 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 。 如 果 a ∥ b ， a ∥ c ， 则 ∥ 。
8
8 、 平 行 线 的 判 定 ：
判 定 1 ： 同 位 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 。 如 图 5 所 示 ， 如 果 =
或 = 或 = 或 = ， 则 a ∥ b 。
判 定 2 ： 内 错 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 。 如 图 5 所 示 ， 如 果 = 或 = ， 则 a ∥ b 。
判 定 3 ： 同 旁 内 角 互 补 ， 两 直 线 平 行 。 如 图 5 所 示 ， 如 果 + = 1 8 0 ° ;
+ = 1 8 0 ° ， 则 a ∥ b 。
判 定 4 ： 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 。 如 果 a ∥ b ， a ∥ c ， 则 ∥ 。
9 、 判 断 一 件 事 情 的 语 句 叫 命 题 。 命 题 由 题 设 和 结 论 两 部 分 组 成 ， 有 真 命 题 和 假 命
题 之 分 。 如 果 题 设 成 立 ， 那 么 结 论 一 定 成 立 ， 这 样 的 命 题 叫 真 命 题 ; 如 果 题 设 成 立 ， 那
么 结 论 不 一 定 成 立 ， 这 样 的 命 题 叫 假 命 题 。 真 命 题 的 正 确 性 是 经 过 推 理 证 实 的 ， 这 样 的 真
命 题 叫 定 理 ， 它 可 以 作 为 继 续 推 理 的 依 据 。
1 0 、 平 移 ： 在 平 面 内 ， 将 一 个 图 形 沿 某 个 方 向 移 动 一 定 的 距 离 ， 图 形 的 这 种 移 动 叫 做 平 移
变 换 ， 简 称 平 移 。
9
平 移 后 ， 新 图 形 与 原 图 形 的 形 状 和 大 小 完 全 相 同 。 平 移 后 得 到 的 新 图 形 中 每 一 点 ， 都 是
由 原 图 形 中 的 某 一 点 移 动 后 得 到 的 ， 这 样 的 两 个 点 叫 做 对 应 点 。
平 移 性 质 ： 平 移 前 后 两 个 图 形 中 ① 对 应 点 的 连 线 平 行 且 相 等 ; ② 对 应 线 段 相 等 ; ③ 对 应 角 相 等 。
第 六 章 实 数
【 知 识 点 一 】 实 数 的 分 类
1 、 按 定 义 分 类 ： 2 . 按 性 质 符 号 分 类 ：
注 ： 0 既 不 是 正 数 也 不 是 负 数 .
【 知 识 点 二 】 实 数 的 相 关 概 念
1 . 相 反 数
( 1 ) 代 数 意 义 ： 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 ， 我 们 说 其 中 一 个 是 另 一 个 的 相 反 数 . 0 的 相 反 数 是 0 .
( 2 ) 几 何 意 义 ： 在 数 轴 上 原 点 的 两 侧 ， 与 原 点 距 离 相 等 的 两 个 点 表 示 的 两 个 数 互 为 相 反 数 ，
或 数 轴 上 ， 互 为 相 反 数 的 两 个 数 所 对 应 的 点 关 于 原 点 对 称 .
1 0
( 3 ) 互 为 相 反 数 的 两 个 数 之 和 等 于 0 . a 、 b 互 为 相 反 数 a + b = 0 .
2 . 绝 对 值 | a | ≥ 0 .
3 . 倒 数 ( 1 ) 0 没 有 倒 数 ( 2 ) 乘 积 是 1 的 两 个 数 互 为 倒 数 . a 、 b 互 为 倒 数 .
4 . 平 方 根
( 1 ) 如 果 一 个 数 的 平 方 等 于 a ， 这 个 数 就 叫 做 a 的 平 方 根 . 一 个 正 数 有 两 个 平 方 根 ， 它 们 互 为
相 反 数 ; 0 有 一 个 平 方 根 ， 它 是 0 本 身 ; 负 数 没 有 平 方 根 . a ( a ≥ 0 ) 的 平 方 根 记 作 .
( 2 ) 一 个 正 数 a 的 正 的 平 方 根 ， 叫 做 a 的 算 术 平 方 根 . a ( a ≥ 0 ) 的 算 术 平 方 根 记 作 .
5 . 立 方 根
如 果 x 3 = a ， 那 么 x 叫 做 a 的 立 方 根 . 一 个 正 数 有 一 个 正 的 立 方 根 ; 一 个 负 数 有 一 个 负 的 立 方
根 ; 零 的 立 方 根 是 零 .
【 知 识 点 三 】 实 数 与 数 轴
数 轴 定 义 ： 规 定 了 原 点 ， 正 方 向 和 单 位 长 度 的 直 线 叫 做 数 轴 ， 数 轴 的 三 要 素 缺 一 不 可 .
1 1
【 知 识 点 四 】 实 数 大 小 的 比 较
1 . 对 于 数 轴 上 的 任 意 两 个 点 ， 靠 右 边 的 点 所 表 示 的 数 较 大 .
2 . 正 数 都 大 于 0 ， 负 数 都 小 于 0 ， 两 个 正 数 ， 绝 对 值 较 大 的 那 个 正 数 大 ; 两 个 负 数 ; 绝 对 值 大 的
反 而 小 .
3 . 无 理 数 的 比 较 大 小 ：
【 知 识 点 五 】 实 数 的 运 算
1 . 加 法
同 号 两 数 相 加 ， 取 相 同 的 符 号 ， 并 把 绝 对 值 相 加 ; 绝 对 值 不 相 等 的 异 号 两 数 相 加 ， 取 绝 对 值
较 大 的 加 数 的 符 号 ， 并 用 较 大 的 绝 对 值 减 去 较 小 的 绝 对 值 ; 互 为 相 反 数 的 两 个 数 相 加 得 0 ; 一
个 数 同 0 相 加 ， 仍 得 这 个 数 .
2 . 减 法 ： 减 去 一 个 数 等 于 加 上 这 个 数 的 相 反 数 .
3 . 乘 法
几 个 非 零 实 数 相 乘 ， 积 的 符 号 由 负 因 数 的 个 数 决 定 ， 当 负 因 数 有 偶 数 个 时 ， 积 为 正 ; 当 负 因
1 2
数 有 奇 数 个 时 ， 积 为 负 . 几 个 数 相 乘 ， 有 一 个 因 数 为 0 ， 积 就 为 0 .
4 . 除 法
除 以 一 个 数 ， 等 于 乘 上 这 个 数 的 倒 数 . 两 个 数 相 除 ， 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ， 并 把 绝 对 值 相 除 . 0
除 以 任 何 一 个 不 等 于 0 的 数 都 得 0 .
5 . 乘 方 与 开 方
( 1 ) a n 所 表 示 的 意 义 是 n 个 a 相 乘 ， 正 数 的 任 何 次 幂 是 正 数 ， 负 数 的 偶 次 幂 是 正 数 ， 负 数 的
奇 次 幂 是 负 数 .
( 2 ) 正 数 和 0 可 以 开 平 方 ， 负 数 不 能 开 平 方 ; 正 数 、 负 数 和 0 都 可 以 开 立 方 .
( 3 ) 零 指 数 与 负 指 数
【 知 识 点 六 】 有 效 数 字 和 科 学 记 数 法
1 . 有 效 数 字 ：
一 个 近 似 数 ， 从 左 边 第 一 个 不 是 0 的 数 字 起 ， 到 精 确 到 的 数 位 为 止 ， 所 有 的 数 字 ， 都 叫 做
这 个 近 似 数 的 有 效 数 字 .
1 3
2 . 科 学 记 数 法 ：
把 一 个 数 用 ( 1 ≤ < 1 0 ， n 为 整 数 ) 的 形 式 记 数 的 方 法 叫 科 学 记 数 法 .
第 七 章 平 面 直 角 坐 标 系
一 、 知 识 网 络 结 构
二 、 知 识 要 点
1 、 有 序 数 对 ： 有 顺 序 的 两 个 数 a 与 b 组 成 的 数 对 叫 做 有 序 数 对 ， 记 做 ( a , b ) 。
2 、 平 面 直 角 坐 标 系 ： 在 平 面 内 ， 两 条 互 相 垂 直 且 有 公 共 原 点 的 数 轴 组 成 平 面 直 角 坐 标 系 。
3 、 横 轴 、 纵 轴 、 原 点 ： 水 平 的 数 轴 称 为 x 轴 或 横 轴 ; 竖 直 的 数 轴 称 为 y 轴 或 纵 轴 ; 两 坐 标 轴
的 交 点 为 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 。
4 、 坐 标 ： 对 于 平 面 内 任 一 点 P ， 过 P 分 别 向 x 轴 ， y 轴 作 垂 线 ， 垂 足 分 别 在 x 轴 ， y 轴 上 ，
对 应 的 数 a , b 分 别 叫 点 P 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 ， 记 作 P ( a ， b ) 。
5 、 象 限 ： 两 条 坐 标 轴 把 平 面 分 成 四 个 部 分 ， 右 上 部 分 叫 第 一 象 限 ， 按 逆 时 针 方 向 依 次 叫 第
1 4
二 象 限 、 第 三 象 限 、 第 四 象 限 。 坐 标 轴 上 的 点 不 在 任 何 一 个 象 限 内 。
6 、 各 象 限 点 的 坐 标 特 点 ① 第 一 象 限 的 点 ： 横 坐 标 0 ， 纵 坐 标 0 ; ② 第 二 象 限 的 点 ： 横 坐 标 0 ，
纵 坐 标 0 ; ③ 第 三 象 限 的 点 ： 横 坐 标 0 ， 纵 坐 标 0 ; ④ 第 四 象 限 的 点 ： 横 坐 标 0 ， 纵 坐 标 0 。
7 、 坐 标 轴 上 点 的 坐 标 特 点 ① x 轴 正 半 轴 上 的 点 ： 横 坐 标 0 ， 纵 坐 标 0 ; ② x 轴 负 半 轴 上 的 点 ：
横 坐 标 0 ， 纵 坐 标 0 ; ③ y 轴 正 半 轴 上 的 点 ： 横 坐 标 0 ， 纵 坐 标 0 ; ④ y 轴 负 半 轴 上 的 点 ： 横
坐
标 0 ， 纵 坐 标 0 ; ⑤ 坐 标 原 点 ： 横 坐 标 0 ， 纵 坐 标 0 。 ( 填 “ > ” 、 “ < ” 或 “ = ” )
8 、 点 P ( a ， b ) 到 x 轴 的 距 离 是 | b | ， 到 y 轴 的 距 离 是 | a | 。
9 、 对 称 点 的 坐 标 特 点 ① 关 于 x 轴 对 称 的 两 个 点 ， 横 坐 标 相 等 ， 纵 坐 标 互 为 相 反 数 ; ② 关 于
y 轴 对 称 的 两 个 点 ， 纵 坐 标 相 等 ， 横 坐 标 互 为 相 反 数 ; ③ 关 于 原 点 对 称 的 两 个 点 ， 横 坐 标 、 纵
坐 标 分 别 互 为 相 反 数 。
1 0 、 点 P ( 2 ， 3 ) 到 x 轴 的 距 离 是 ; 到 y 轴 的 距 离 是 ; 点 P ( 2 ， 3 ) 关 于 x 轴 对 称 的 点 坐 标
为 ( ， ) ; 点 P ( 2 ， 3 ) 关 于 y 轴 对 称 的 点 坐 标 为 ( ， ) 。
1 1 、 如 果 两 个 点 的 横 坐 标 相 同 ， 则 过 这 两 点 的 直 线 与 y 轴 平 行 、 与 x 轴 垂 直 ; 如 果 两 点 的
纵 坐 标 相 同 ， 则 过 这 两 点 的 直 线 与 x 轴 平 行 、 与 y 轴 垂 直 。 如 果 点 P ( 2 ， 3 ) 、 Q ( 2 ， 6 ) ， 这
1 5
两 点 横 坐 标 相 同 ， 则 P Q ∥ y 轴 ， P Q ⊥ x 轴 ; 如 果 点 P ( - 1 ， 2 ) 、 Q ( 4 ， 2 ) ， 这 两 点 纵 坐 标 相 同 ，
则 P Q ∥ x 轴 ， P Q ⊥ y 轴 。
1 2 、 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 点 的 纵 坐 标 相 同 ; 平 行 于 y 轴 的 直 线 上 的 点 的 横 坐 标 相 同 ; 在 一 、
三 象 限 角 平 分 线 上 的 点 的 横 坐 标 与 纵 坐 标 相 同 ; 在 二 、 四 象 限 角 平 分 线 上 的 点 的 横 坐 标 与 纵
坐 标 互 为 相 反 数 。 如 果 点 P ( a ， b ) 在 一 、 三 象 限 角 平 分 线 上 ， 则 P 点 的 横 坐 标 与 纵 坐 标 相
同 ， 即 a = b ; 如 果 点 P ( a ， b ) 在 二 、 四 象 限 角 平 分 线 上 ， 则 P 点 的 横 坐 标 与 纵 坐 标 互 为 相
反 数 ， 即 a = - b 。
1 3 、 表 示 一 个 点 ( 或 物 体 ) 的 位 置 的 方 法 ： 一 是 准 确 恰 当 地 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ; 二 是 正 确 写
出 物 体 或 某 地 所 在 的 点 的 坐 标 。 选 择 的 坐 标 原 点 不 同 ， 建 立 的 平 面 直 角 坐 标 系 也 不 同 ， 得 到
的 同 一 个 点 的 坐 标 也 不 同 。
1 4 、 图 形 的 平 移 可 以 转 化 为 点 的 平 移 。 坐 标 平 移 规 律 ： ① 左 右 平 移 时 ， 横 坐 标 进 行 加 减 ，
纵 坐 标 不 变 ; ② 上 下 平 移 时 ， 横 坐 标 不 变 ， 纵 坐 标 进 行 加 减 ; ③ 坐 标 进 行 加 减 时 ， 按 “ 左 减 右
加 、 上 加 下 减 ” 的 规 律 进 行 。 如 将 点 P ( 2 ， 3 ) 向 左 平 移 2 个 单 位 后 得 到 的 点 的 坐 标 为 ( ， ) ;
将 点 P ( 2 ， 3 ) 向 右 平 移 2 个 单 位 后 得 到 的 点 的 坐 标 为 ( ， ) ; 将 点 P ( 2 ， 3 ) 向 上 平 移 2 个 单 位
后 得 到 的 点 的 坐 标 为 ( ， ) ; 将 点 P ( 2 ， 3 ) 向 下 平 移 2 个 单 位 后 得 到 的 点 的 坐 标 为 ( ， ) ; 将 点
P ( 2 ， 3 ) 先 向 左 平 移 3 个 单 位 后 再 向 上 平 移 5 个 单 位 后 得 到 的 点 的 坐 标 为 ( ， ) ; 将 点 P ( 2 ， 3 )
先 向 左 平 移 3 个 单 位 后 再 向 下 平 移 5 个 单 位 后 得 到 的 点 的 坐 标 为 ( ， ) ; 将 点 P ( 2 ， 3 ) 先 向 右
平 移 3 个 单 位 后 再 向 上 平 移 5 个 单 位 后 得 到 的 点 的 坐 标 为 ( ， ) ; 将 点 P ( 2 ， 3 ) 先 向 右 平 移 3
个 单 位 后 再 向 下 平 移 5 个 单 位 后 得 到 的 点 的 坐 标 为 ( ， ) 。
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第 八 章 二 元 一 次 方 程 组
一 、 知 识 网 络 结 构
二 、 知 识 要 点
1 、 含 有 未 知 数 的 等 式 叫 方 程 ， 使 方 程 左 右 两 边 的 值 相 等 的 未 知 数 的 值 叫 方 程 的 解 。
2 、 方 程 含 有 两 个 未 知 数 ， 并 且 含 有 未 知 数 的 项 的 次 数 都 是 1 ， 这 样 的 方 程 叫 二 元 一 次 方 程 ，
二 元 一 次 方 程 的 一 般 形 式 为 ( 为 常 数 ， 并 且 ) 。 使 二 元 一 次 方 程 的 左 右 两 边 的 值 相 等 的 未
知 数 的 值 叫 二 元 一 次 方 程 的 解 ， 一 个 二 元 一 次 方 程 一 般 有 无 数 组 解 。
3 、 方 程 组 含 有 两 个 未 知 数 ， 并 且 含 有 未 知 数 的 项 的 次 数 都 是 1 ， 这 样 的 方 程 组 叫 二 元 一 次
方 程 组 。 使 二 元 一 次 方 程 组 每 个 方 程 的 左 右 两 边 的 值 相 等 的 未 知 数 的 值 叫 二 元 一 次 方 程 组 的
解 ， 一 个 二 元 一 次 方 程 组 一 般 有 一 个 解 。
4 、 用 代 入 法 解 二 元 一 次 方 程 组 的 一 般 步 骤 ： 观 察 方 程 组 中 ， 是 否 有 用 含 一 个 未 知 数 的 式 子
表 示 另 一 个 未 知 数 ， 如 果 有 ， 则 将 它 直 接 代 入 另 一 个 方 程 中 ; 如 果 没 有 ， 则 将 其 中 一 个 方 程
变 形 ， 用 含 一 个 未 知 数 的 式 子 表 示 另 一 个 未 知 数 ; 再 将 表 示 出 的 未 知 数 代 入 另 一 个 方 程 中 ，
从 而 消 去 一 个 未 知 数 ， 求 出 另 一 个 未 知 数 的 值 ， 将 求 得 的 未 知 数 的 值 代 入 原 方 程 组 中 的 任 何
一 个 方 程 ， 求 出 另 外 一 个 未 知 数 的 值 。
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5 、 用 加 减 法 解 二 元 一 次 方 程 组 的 一 般 步 骤 ： ( 1 ) 方 程 组 的 两 个 方 程 中 ， 如 果 同 一 个 未 知 数 的
系 数 既 不 相 等 又 不 互 为 相 反 数 ， 就 用 适 当 的 数 去 乘 方 程 的 两 边 ， 使 同 一 个 未 知 数 的 系 数 相 等
或 互 为 相 反 数 ; ( 2 ) 把 两 个 方 程 的 两 边 分 别 相 加 或 相 减 ， 消 去 一 个 未 知 数 ; ( 3 ) 解 这 个 一 元 一 次 方
程 ， 求 出 一 个 未 知 数 的 值 ; ( 4 ) 将 求 出 的 未 知 数 的 值 代 入 原 方 程 组 中 的 任 何 一 个 方 程 ， 求 出 另
外 一 个 未 知 数 的 值 ， 从 而 得 到 原 方 程 组 的 解 。
6 、 解 三 元 一 次 方 程 组 的 一 般 步 骤 ： ① 观 察 方 程 组 中 未 知 数 的 系 数 特 点 ， 确 定 先 消 去 哪 个 未
知 数 ; ② 利 用 代 入 法 或 加 减 法 ， 把 方 程 组 中 的 一 个 方 程 ， 与 另 外 两 个 方 程 分 别 组 成 两 组 ， 消
去 同 一 个 未 知 数 ， 得 到 一 个 关 于 另 外 两 个 未 知 数 的 二 元 一 次 方 程 组 ; ③ 解 这 个 二 元 一 次 方 程
组 ， 求 得 两 个 未 知 数 的 值 ; ④ 将 这 两 个 未 知 数 的 值 代 入 原 方 程 组 中 较 简 单 的 一 个 方 程 中 ， 求
出 第 三 个 未 知 数 的 值 ， 从 而 得 到 原 三 元 一 次 方 程 组 的 解 。
第 九 章 不 等 式 与 不 等 式 组
一 、 知 识 网 络 结 构
二 、 知 识 要 点
1 、 用 不 等 号 表 示 不 等 关 系 的 式 子 叫 不 等 式 ， 不 等 号 主 要 包 括 ： > 、 < 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2 、 在 含 有 未 知 数 的 不 等 式 中 ， 使 不 等 式 成 立 的 未 知 数 的 值 叫 不 等 式 的 解 ， 一 个 含 有 未 知 数
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的 不 等 式 的 所 有 的 解 组 成 的 集 合 ， 叫 这 个 不 等 式 的 解 集 。 不 等 式 的 解 集 可 以 在 数 轴 上 表 示 出
来 。 求 不 等 式 的 解 集 的 过 程 叫 解 不 等 式 。 含 有 一 个 未 知 数 ， 并 且 所 含 未 知 数 的 项 的 次 数 都 是
1 ， 这 样 的 不 等 式 叫 一 元 一 次 不 等 式 。
3 、 不 等 式 的 性 质 ：
① 性 质 1 ： 不 等 式 的 两 边 同 时 加 上 ( 或 减 去 ) 同 一 个 数 ( 或 式 子 ) ， 不 等 号 的 方 向 不 变 。
用 字 母 表 示 为 ： 如 果 ， 那 么 ; 如 果 ， 那 么 ;
如 果 ， 那 么 ; 如 果 ， 那 么 。
② 性 质 2 ： 不 等 式 的 两 边 同 时 乘 以 ( 或 除 以 ) 同 一 个 正 数 ， 不 等 号 的 方 向 不 变 。
用 字 母 表 示 为 ： 如 果 ， 那 么 ( 或 ) ; 如 果 ， 那 么 ( 或 ) ;
如 果 ， 那 么 ( 或 ) ; 如 果 ， 那 么 ( 或 ) ;
③ 性 质 3 ： 不 等 式 的 两 边 同 时 乘 以 ( 或 除 以 ) 同 一 个 负 数 ， 不 等 号 的 方 向 改 变 。
用 字 母 表 示 为 ： 如 果 ， 那 么 ( 或 ) ; 如 果 ， 那 么 ( 或 ) ;
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如 果 ， 那 么 ( 或 ) ; 如 果 ， 那 么 ( 或 ) ;
4 、 解 一 元 一 次 不 等 式 的 一 般 步 骤 ： ① 去 分 母 ; ② 去 括 号 ; ③ 移 项 ; ④ 合 并 同 类 项 ; ⑤ 系 数 化 为
1 。 这 与 解 一 元 一 次 方 程 类 似 ， 在 解 时 要 根 据 一 元 一 次 不 等 式 的 具 体 情 况 灵 活 选 择 步 骤 。
5 、 不 等 式 组 中 含 有 一 个 未 知 数 ， 并 且 所 含 未 知 数 的 项 的 次 数 都 是 1 ， 这 样 的 不 等 式 组 叫 一
元 一 次 不 等 式 组 。 使 不 等 式 组 中 的 每 个 不 等 式 都 成 立 的 未 知 数 的 值 叫 不 等 式 组 的 解 ， 一 个 不
等 式 组 的 所 有 的 解 组 成 的 集 合 ， 叫 这 个 不 等 式 组 的 解 集 解 ( 简 称 不 等 式 组 的 解 ) 。 不 等 式 组 的
解 集 可 以 在 数 轴 上 表 示 出 来 。 求 不 等 式 组 的 解 集 的 过 程 叫 解 不 等 式 组 。
6 、 解 一 元 一 次 不 等 式 组 的 一 般 步 骤 ： ① 求 出 这 个 不 等 式 组 中 各 个 不 等 式 的 解 集 ; ② 利 用 数 轴
求 出 这 些 不 等 式 的 解 集 的 公 共 部 分 ， 得 到 这 个 不 等 式 组 的 解 集 。 如 果 这 些 不 等 式 的 解 集 的 没
有 公 共 部 分 ， 则 这 个 不 等 式 组 无 解 ( 此 时 也 称 这 个 不 等 式 组 的 解 集 为 空 集 ) 。
7 、 求 出 各 个 不 等 式 的 解 集 后 ， 确 定 不 等 式 组 的 解 的 口 诀 ： 大 大 取 大 ， 小 小 取 小 ， 大 小 小 大
取 中 间 ， 大 大 小 小 无 处 找 。
第 十 章 数 据 的 收 集 、 整 理 与 描 述
知 识 要 点
1 、 对 数 据 进 行 处 理 的 一 般 过 程 ： 收 集 数 据 、 整 理 数 据 、 描 述 数 据 、 分 析 得 出 结 论 。
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2 、 数 据 收 集 过 程 中 ， 调 查 的 方 法 通 常 有 两 种 ： 全 面 调 查 和 抽 样 调 查 。
3 、 除 了 文 字 叙 述 、 列 表 、 划 记 法 外 ， 还 可 以 用 条 形 图 、 折 线 图 、 扇 形 图 、 直 方 图 来 描 述 数
据 。
4 、 抽 样 调 查 简 称 抽 查 ， 它 只 抽 取 一 部 分 对 象 进 行 调 查 ， 根 据 调 查 数 据 推 断 全 体 对 象 的 情 况 。
要 考 察 的 全 体 对 象 叫 总 体 ， 组 成 总 体 的 每 一 个 考 察 对 象 叫 个 体 ， 被 抽 取 的 那 部 分 个 体 组 成 总
体 的 一 个 样 本 ， 样 本 中 个 体 的 数 目 叫 这 个 样 本 的 容 量 。
5 、 画 频 数 直 方 图 的 步 骤 ： ① 计 算 数 差 ( 最 大 值 与 最 小 值 的 差 ) ; ② 确 定 组 距 和 组 数 ; ③ 列 频 数 分
布 表 ; ④ 画 频 数 直 方 图 。
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