再談《周髀算經》之“中黃實”及其他 提要：《周髀算經》談及勾三股四弦五之直角三角形，此直角三角形有“黃實”，此黃實為一正方形，面積為一平方單
位。本文主要談及黃實之形成法，並証明其邊長為直角三角形之句股差。關鍵詞： 周髀算經 勾股定理 黃實 中黃實第 1 節 《周髀算經
》提及之中黃實筆者已有文章談及《周髀算經》之勾﹝或作“句”﹞三股四弦五之直角三角形﹝又稱為“句股形”﹞，今作進一步之補充。以下為勾
三股四弦五之直角三角形﹝基本直角三角形﹞圖：Acb股4弦5CB勾3 a古代數學家談及直角三角形時，均以較短之直角邊為“勾”，較長
之直角邊為“股”，斜邊為“弦”。以上之說法，人人耳熟能詳，但以下之專有名詞則較少人留意，理由為“不重要”及少用。《周髀算經》稱勾之
平方為“勾實”，股之平方為“股實”，弦之平方為“弦實”。以下為《周髀算經》之勾股定理：32 + 42 = 52，可引申為a2 +
b2 = c2，或 勾2 + 股2 = 弦2，見上圖。《周髀算經》還將弦實分拆成“朱實”與“黃實”，在勾三股四弦五之直角三角形中，
弦實內有朱實六﹝平方單位﹞與黃實一﹝平方單位﹞，即朱實乃四個原本之直角三角形，面積各為6平方單位，“黃實”在中央，又稱為“中黃實”
，其面積為1平方單位。四朱實之面積為24﹝平方單位﹞，加黃實1平方單位，共 25 平方單位，即弦長之平方。以下為勾股定理圖：caB
弦實25勾實9acbCAb股實16以上之圖之“實”乃指平方。下圖為《周髀算經》之〈弦圖〉，大正方形邊長為 3 + 4 = 7，即勾
長加股長，在大正方形之四方，畫出四個長方形，再畫出對角線形成另一個小正方形，此正方形即為弦之平方。第 2 節 《周髀算經》之中黃
實形成法先畫出弦平方ABDE，以四邊為弦畫出四個全等直角三角形：GBD、HDE、KEA與FAB，此四個直角三角形與原本之直角三角形
ABC全等，四個直角三角形畫畢，中央自然出現一個正方形FGHK，此正方形即為“黃實”，或稱為“中黃實”。四個直角三角形稱為“朱實”
，即一弦平方含四“朱實”與一“黃實”。見下圖。《周髀算經》注曰：按〈弦圖〉又可以句股相乘為朱實，二倍之為朱實四。不獨勾三股四弦五之
直角三角形可以如此畫“朱實”與“黃實”，任何直角三角形均適用。以下為《周髀算經》原圖：“朱實”與“黃實”圖：Dc朱朱HK實EB實朱
朱GF實ac實bCA《周髀算經》有另一圖名為〈右圖〉﹝見下圖﹞，〈右圖〉之弦平方內藏句實，稱為“句實九青”，“句實九青”共9平方單
位，其餘之面積稱為“股實之矩”， “股實之矩”共十六黃，即共16平方單位 。第 3 節 畢氏數組中黃實近世數學有所謂“畢氏數組”
之說，即勾股弦皆為整數之數組。“畢氏數組”之形成法如下：今有二整數m 與 n，又設m > n，則：勾a = k(m2 – n2)，
股b為 2mnk，弦c為 k(m2 + n2)。k 亦為正整數。若 k = 1，m 與 n 為連續數，從 n = 1開始，可列出如
下之表：面積即三角形面積 = ab，“朱實”即三角形面積。黃實面積 = c2 – 4 × 朱實，邊長即黃實一邊之長 = √黃實面積
。以下為m 與 n 為連續數之“畢氏數組”表：mnabc面積c24 × 朱實黃實面積邊長213456252411325121330
16912049743724258462533628917549404118016817209613165116061330372
11320240149…………………………從上表可知若m 與n 乃為一組連續數，則所形成之股與弦亦必為一組連續數。又若 m = 2
及 n = 1，則成勾三股四弦五之基本直角三角形。注意各三角形之勾長從3開始成奇數之算術級數。以下為其一般情況：若 n = p
，m = p + 1，則：勾a = (p + 1)2 – p2 = p2 + 2p + 1 – p2 = 2p + 1，股b為 2
p(p + 1) = 2p2 + 2p，弦c為 (p + 1)2 + p2 = p2 + 2p + 1 + p2 = 2p2 +
2p + 1。顯然 2p2 + 2p 與 2p2 + 2p + 1 為一組連續數。直角三角形面積為 (2p + 1)(2p2 +
2p) = (2p + 1)(p2 + p)= 2p3 + 2p2 + p2 + p= 2p3 + 3p2 + p。4 × 朱實
= 4 × 直角三角形面積 = 4(2p3 + 3p2 + p) = 8p3 + 12p2 + 4p。弦c 之平方為 (2p2 +
2p + 1)2 = 4p4 + 4p2 + 1 + 8p3 + 4p2 + 4p。黃實面積= 4p4 + 4p2 + 1 +
8p3 + 4p2 + 4p – (8p3 + 12p2 + 4p)= 4p4 + 4p2 + 1 + 8p3 + 4p2 + 4
p – 8p3 – 12p2 – 4p= 4p4 + 4p2 + 1 + 4p2 – 12p2= 4p4 – 4p2 + 1= (
2p2 – 1)2 。所以黃實一邊之長為2p2 – 1。注意 股 – 勾 = 2p2 + 2p – (2p + 1) = 2p2
– 1，亦為黃實一邊之長。若 m 與n 並非一組連續數，又設 m > n，則：勾a = m2 – n2，股b為 2mn，弦c為 m
2 + n2。直角三角形面積為 (m2 – n2) × 2mn = mn(m2 – n2) 。4 × 朱實 = 4 × 直角三角形
面積 = 4mn(m2 – n2) 。弦c 之平方為 (m2 + n2)2 = m4 + 2n2m2 + n4黃實面積 = m4
+ 2n2m2 + n4 – 4mn(m2 – n2)= m4 + 2n2m2 + n4 – 4m3n + 4mn3= m4 +
4n2m2 + n4 – 4m3n + 4mn3 – 2n2m2 = (–m2 + 2nm + n2)2。上式可分解成一完全平方式
，所以黃實一邊之長為 –m2 + 2nm + n2。以上兩種情況指直角三角形之勾股弦皆為整數。如果勾與股均為整數，但弦不一定為整數
。若勾為 a ，股為b ，弦c為 √(a2 + b2)。直角三角形面積為 ab 。4 × 朱實 = 4 × 直角三角形面積 = 4
× ab = 2ab。弦c 之平方為 [√(a2 + b2)]2 = a2 + b2黃實面積 = a2 + b2 – 2ab =
(b – a)2，所以黃實一邊之長 = b – a。所以不論何種直角三角形，只要其勾與股為整數，則其中黃實一邊之長亦必為整數。此
証明法其實已包括第一與第二種証明法，即以上之方法成立，第一與第二種情況亦必成立。以下為m 與 n 為連續數之“黃實邊長”及面積表：
mnab黃實邊長 (b – a)黃實面積 (b – a)221344 – 3 =113251212 – 5 = 749437242
4 – 7 = 172895494040 – 9 = 3196165116060 – 11 = 492401………………p + 1
p2p + 12p2 + 2p2p2 – 14p4 – 4p2 + 1《周髀算經》注曰：按〈弦圖〉…以句股之差自乘為中黃實。今舉以
下例以說明之：【例 1】依以上條件若m = 7，n = 4，解此三角形及求中黃實。解：勾a = 72 – 42 = 33，股b為
2× 7× 4 = 56，弦c為 72 + 42 = 65。直角三角形面積為 × 33 × 56 = 924。4 × 朱實 =
4 × 直角三角形面積 = 4 × 924 = 3696 。弦c 之平方為 652 = 4225，黃實面積 = 4225 – 36
96 = 529，所以黃實一邊之長為 23。或依以上公式算之：–m2 + 2nm + n2 = –72 + 2×4×7 + 42
= – 49 + 56 + 16 = 23。或求其勾股差 56 – 33 = 23。所以黃實一邊之長為 23。【例 2】若一直角
三角形勾長17，股長29，求中黃實之邊長及面積。解：中黃實之邊長 = 29 – 17 = 12﹝單位﹞。中黃實之面積 = 122
= 144﹝平方單位﹞。第 4 節 結論中黃實在勾股數學中並非重要課題，故現代談及之者少。《周髀算經》重視之，因為其數容易求得，
即勾股差是也。現任討論其兩種極端情況，若勾 = 股，即直角三角形等腰，則勾股差為0，中黃實之邊長亦為0，其面積為0，見下圖。中黃實
為0股股弦實勾勾實若直角三角形之勾長為0，則直角三角形退化成一直線，股長即弦長，直角三角形面積為0，中黃實之面積即弦之平方，如下圖
所示：B股實弦實即中黃實CA上圖之AC同為一點，所以直角三角形ABC退化成一直線，其面積為0。直線左方為股實，右方為弦實，亦即為中
黃實，三“實”相同。最後，筆者以以下一題結束本文：有兩個直角三角形，有相同之弦，亦有相等之中黃實，求証兩三角形全等。今設一直角三角
形之勾為a，股為b，弦為c，又設另一直角三角形之勾為r，股為s，弦亦為c，因兩直角三角形之中黃實相等，所以兩三角形之勾股差相等，即
：b – a = s – r ，今設b – a = s – r = d，移項得：b = a + d，s = r + d，又依勾股定
理得：a2 + b 2 = r2 + s 2 = c2，代入上式得：a2 + (a + d)2 = r2 + (r + d)2a2 + a2 + d2 + 2ad = r2 + r2 + d2 + 2rd2a2 + 2ad = 2r2 + 2rda2 + ad = r2 + rda2 – r2 + ad – rd = 0(a2 – r2) + d(a – r) = 0上式若 = 0，則兩項須各自等於0，因d 不等於0，所以a = r，即可得 b = s，所以兩直角三角形全等。-1- |
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