《測圓海鏡》之已知前求圓徑題之四 (18) 提要：以下諸題源自《測圓海鏡?卷七》，所問者皆與“圓城圖式”有關，主要涉及勾股形之三邊成內接圓之
切線，而求圓徑之問題。本文之問在“圓城圖式”中，已知皇極弦、叀弦或明弦三角形之條件，求相關勾股弦之長或圓直徑。關鍵詞： 叀弦 明弦
皇極弦以下之問取材自《測圓海鏡?卷七》涉及皇極弦、叀弦或明弦三角形之條件之問。筆者已有多篇文章談及已知“圓城圖式”中之兩條件而求
圓徑之題，至於涉及皇極弦、叀弦或明弦三角形之條件之問題之文為〈《測圓海鏡》之已知叀前求圓徑題之一 (15) 〉、〈之二 (16)
〉及〈之三 (17)〉。以下為圓城之一般圖式：心朱本文涉及以下之直角三角形：即日川為皇極弦，日心為皇極股，川心為皇極勾，日川心乃為
皇極弦三角形。又日月為明弦，日南為明股，月南為明勾，日月南乃為明弦三角形。又山川為弦，山東為股，川東為勾，山川東乃為弦三角形。見上
圖，注意直角三角形之勾、股及弦之名稱。以下各題之圖有紅線者乃已知長或有條件之長。單位為“步”。﹝第五題﹞或問；甲出南門東行不知步數
而立，乙出東門南行，望見甲，復就甲，斜行與甲相?。乙通計行了一百三十二步，其乙南行步不及斜行七十二步，其甲東行多於乙南行。問答同前
。解：今將圖之重要部分放大如下：SU甲HPQ設AK = xL乙KO 直徑FO = dRFAK + KH = 132ACME←D題
意指甲出南門P東行，不知步數至H而立，乙出東門A南行至K，望見甲，復行向就甲，斜行KH與甲相?。乙合計行了 132步，即AK +
KH = 132，其乙南行步不及斜行 72步，其甲東行多於乙南行，即PH 大於AK。求圓徑。今設圓直徑為 d，半徑為 r，即 2r
= d。本題之要點為先求AK之長。今設AK = x，從題意可知KH = x + 72。今連HO及KO，注意ΔHPO 與ΔHLO
全等，ΔKLO與ΔKAO 亦全等。因全等Δ關係，對應邊亦相等，即HP = HL，AK = KL ，KH = KL + KH 。又從
題意可知AK + KH = 132﹝乙之總行步數﹞，代入即可得 x + x + 72 = 1322x + 72 = 1322x =
60 ，x = 30，即AK = KL = 30。《測圓海鏡》亦先求乙之南行步數。得乙之南行步數30，即可知：KH = 132
– AK = 132 – 30 = 102。又即可得 LH = KH – KL = 102 – 30 = 72。又在直角三角形HU
K中，HU = r – 72 ，UK = r – 30；依勾股定理可得：HU2 + UK2 = KH2 即(r – 72)2 +
(r – 30)2 = (72 + 30)2r2 – 144r + 5184 + r2 – 60r + 900 = 10222r2
– 204r + 6084 = 104042r2 – 204r – 4320 = 0r2 – 102r – 2160 = 0，分
解因式得：(r – 120)(r + 18) = 0。取r = 120 ﹝步﹞，即圓城半徑為120 步。今設 d = 2r ，r
= ，以上之化簡式r2 – 102r – 2160 = 0 可寫成 – 102 × – 2160 = 0d2 – 204d –
8640 = 0，分解因式得：(d – 240)(d + 36) = 0。取d = 240 ﹝步﹞，即圓城徑為240 步。《測圓
海鏡》法曰：倍不及步在地，以不及步減通步以乗之為實，即2 × 72 = 144，144 (132 – 72) = 8640，即以8
640為被除數。以四之不及步為法，即 4 × 72 = 288為除數，兩數相除得8640/288 = 30，得乙南行三十步。以上《
測圓海鏡》之算法頗迂迴，以“又法”為佳，見後文。《測圓海鏡》草曰：別得乙南行即股也，以減通步即虛弦也，以減不及步即虛較也。其不及步
即甲東行也。立天元一x為乙南行，置不及步以天元乘之，即 72x，又四之得4 × 72x = 288x為二直積，寄左。然後倍不及步以
為弦較和於上，即 2 × 72 = 144﹝上位﹞，以不及步減通步得 132 – 72 = 60 為弦較較，以乗上位得 60 ×
144 = 8640 為同數，與左相消得 288x = 8640，上法下實得三十步，即 = 30，為乙南行也，餘各以數求之。《測
圓海鏡》又法：別得通行步為兩个乙南行，一个甲東行共也，即 2x + 72 = 132。其不及步即東行步也，云步相併即兩个虛弦，相減
即兩个乙南行也，即2x = 60 。所以一个乙南行為30 步。此法與筆者算法相同。﹝第五題﹞或問：甲出南門東行不知步數而立，乙出東
門南行，望見甲，復斜行與甲相?，二人共行了二百四步。又云甲行不及乙一百三十二﹝按甲不及乙六十步，非一百三十二步，當云甲行不及共步方
合﹞。問答同前。解：題意指甲出南門P東行不知步數至H而立，乙出東門A南行至K，望見甲，復斜行KH與甲相?，二人共行了 204 步。
又云甲行之步數不及乙 行總數60步。求KH及圓徑。本題有注文曰：按甲步數不及乙總步數 60步方為正確，而非 132 步。此注文正確
。今將圖之重要部分放大如下：SU甲HPQL乙KO 直徑FO = dRFACME←D從題目可知：AK + KH + PH = 20
4 ------------ (1)AK + KH – PH = 60 -------------- (2)式 (1) – (2)
得 2PH = 144PH = 72。即甲出南門P東行 72 步。因為AK + KH + PH = 204，從上題可知：AK +
KL + LH + PH = 2042AK + 72 + 72 = 2042AK = 60AK = 30。即乙南行步數。有乙南行
步數及甲東行步數，可依上題之法而算出圓半徑。《測圓海鏡》之法曰：別得二行共即兩个虛弦也，即 204 + 60 = 264 為其不及
步即乙南行與一虚弦共也。即2(AK + KH) = 204 + 60 = 264AK + KH = 132。重寫 (2) 式AK
+ KH – PH = 60代入數字得132 – PH = 60PH = 132 – 60 = 72。所以甲出南門P東行 72 步
。置不及步內減一弦餘三十步，即乙南行也。式 (1) + (2) = 2(AK + KH) = 264式 (1) AK + KH
+ PH = 204此204即為兩弦之長，故一弦之長為 102，因為AK + KH = 132，弦KH 長102，AK + 102
= 132，所以AK = 30，即乙南行也。以乙南行反以減虛弦餘七十二步，102 – 30 = 72，即甲東行也，以乙南行減甲東
行，餘即虛較也，即 72 – 30 = 42。102 – 30 = 72，即甲東行PH也。此問無草。《測圓海鏡》之法似欠清晰。﹝第
六題﹞或問乙出東門南行，甲出西門南行，甲望見乙斜行五百一十步相?。乙云我南行少於城徑二百一十步。問答同前。解：題意指乙出東門A南行
至K，甲出西門F南行至B，甲回望見乙，斜行五百一十步相?。乙云：“我南行少於城徑二百一十步。” 求圓城直徑。南甲B已知AK = 2
r – 210 ，KB = 510SPLH東KQ西ERF甲乙AOCM ED今設圓半徑為r，所以AK = 2r – 210，又設AR
= x，ΔKAO 與ΔBRF 相似，所以以下比例成立： = ，即： = 4r2 + 2rx – 420r – 210x = 72
0x – 2rx4r2 + 4rx – 420r – 930x = 02r2 + 2rx – 210r – 465x = 02r2
– 210r = 465x – 2rxx = ----------------------------------------
---------- (1)又ΔRBF 與ΔRLO 相似，所以以下比例成立： = ，即： = (720 – 2r)(r + x)
= 510r + r√[(2r – 210)2 + x2] 720r + 720x – 2r2 – 2rx = 510r + r√
(4r2 – 840r + 44100 + x2)210r + 720x – 2r2 – 2rx = r√(4r2 – 840r
+ 44100 + x2)44100r2 + 518400x2 + 4r4 + 4r2x2 + 302400rx – 840r3
– 840r2x – 2880xr2 – 2880x2r + 8r3x = 4r4 – 840r3 + 44100r2 + x2r
2518400x2 + 3r2x2 + 302400rx – 840r2x – 2880xr2 – 2880x2r + 8r3x
= 0518400x + 3r2x + 302400r – 3720r2 – 2880xr + 8r3 = 0 ---------
---- (2)將 (1) 代入 (2) 得：518400() + 3r2() + 302400r – 3720r2 – 2880
() r + 8r3 = 01036800r2 – 108864000r + 6r4 – 630r3 + 140616000r –
604800r2 – 1729800r2 + 7440r3 – 5760r3 + 604800r2 + 3720r3 – 16r
4 = 031752000r – 693000r2 + 4770r3 – 10r4 = 0r4 – 477r3 + 69300r2
– 3175200r = 0r3 – 477r2 + 69300r – 3175200 = 0，分解因式得：(r – 120)(
r2 – 357r + 26460) = 0。取r = 120 ﹝步﹞，即圓城半徑為120 步。《測圓海鏡》法曰：少步冪為平實﹝為
正數﹞，2102 = 44100，為方程式之常數。四斜步內減二少步為益從，4 × 510 – 2 × 210 = 2040 – 4
20 = 1620，指以1620為含y 項之係數。五步常法，指以5為含y2 項之係數。故所形成之方程式為：5y2 – 1620y
+ 44100 = 0，分解因式得：(y – 30)(5y – 1470) = 0。取y = 30 ﹝步﹞得乙南行。以下為《測圓海
鏡》之算法，此法較為簡捷：今設乙出東門A南行至K為y 步。在直角三角形KBE中，KB = 510，BF = 510 – y – y
=510 – 2y，KE = 圓直徑 = y + 210，依勾股定理可得：BK2 = KE2 + BE25102 = (y +
210)2 + (510 – y – y)2260100 = y2 + 420y + 44100 + 260100 + 4y2 –
2040y5y2 – 1620y + 44100 = 0，分解因式得：(y – 30)(5y – 1470) = 0。取y =
30 ﹝步﹞，即AK = 30，即圓城直徑為30 + 210 = 240﹝步﹞。草曰：別得少步為徑內減股，立天元一y為乙南行，以二
之2y，減於倍斜行步得2 × 510 – 2y 為梯底也，以二之天元乘之得 2040y – 4y2為徑冪，寄左。再置天元加少步得下
式y + 210為城徑以自之得y2 + 420y + 44100與左相消得 2040y – 4y2 = y2 + 420y + 4
41005y2 – 1620y + 44100 = 0(y – 30)(5y – 1470) = 0開平方﹝解一元二次方程式﹞得三
十步，即乙南行也。加少步﹝即30 + 210 = 240﹞，即城徑也。合問。﹝第七題﹞或問：乙出南門東行，甲出北門東行，甲望見乙，
斜行二百七十二步與乙相?。乙云：我東行不及城徑一百六十八步。問答同前。題意指乙出南門P東行至H，甲出北門F東行至C，甲望見乙，斜行
272步與乙相?。乙云：我東行不及城徑 168步。斜行CH = 272HP + 168 = 城徑今將圖之重要部分放大如下：SU乙
HP南QLKO 斜行CH = 272RFHP = 2r – 168 東A甲CMY北E←D作HY垂直CD，注意直角三角形HCY三邊
。今設 PH = z，PE = HY = 城徑 = z + 168，CH = 272，CY = CE – YE，LH = HP =
z，CE = CL = CH – LH = 272 – z，所以 CY = CE – YE = 272 – z – z = 27
2 – 2z，依勾股定理可得：CH2 = HY2 + CY2，即：2722 = (z + 168)2 + (272 – 2z)27
3984 = z2 + 336z + 28224 + 73984 – 1088z + 4z25z2 – 752z + 28224
= 0，分解因式得：(z – 72)(5z – 392) = 0。取 z = 72，即乙東行 72 歩。72 + 168 = 24
0﹝步﹞，即圓城直徑為240 步。法曰：以不及步冪之為實，1682 = 28224，此為方程式之常數。四斜內減二之不及步為虛從，4
× 272 – 2 × 168 = 752，指以752為含z 項之係數。五常法，指以5為含z2 項之係數。故所形成之方程式為：5
z2 – 752z + 28224 = 0，分解因式得：(z – 72)(5z – 392) = 0。取 z = 72，即乙東行 72 歩。即平實開得乙東行七十二。草曰：別得不及步為城徑減明勾也。立天元一z為乙東行，以倍之減於二之斜行步得下2 × 272 – 2z = 544 – 2z為梯底也。倍天元乘之得 2z(544 – 2z) = 1088z – 4z2 為徑冪，寄左。再置天元加不及步得 z + 168 為城徑，以自之得：(z + 168)2 = z2 + 336z + 28224 為同數，與左相消得1088z – 4z2 = z2 + 336z + 282245z2 – 752z + 28224 = 0，分解因式得：(z – 72)(5z – 392) = 0。開平方﹝解一元二次方程式﹞得七十二步，即乙東行也。加入少步，即城徑也。合問。 原文用此“个”字。-1- |
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