《測圓海鏡》之已知叀後求圓徑題之一(19)提要：以下諸題源自《測圓海鏡?卷八》，所問者皆與“圓城圖式”有關，主要涉及勾股形之三邊成內接圓之切
線，而求圓徑之問題。本文之問在“圓城圖式”中，已知皇極、叀或明直角三角形之條件，求圓徑或相關勾股形之三邊長。關鍵詞： 弦 明弦 皇
極弦 泛率以下之問取材自《測圓海鏡?卷八》涉及皇極弦、弦或明弦三角形之條件之問。筆者已有多篇文章談及已知“圓城圖式”中之兩條件而求
圓徑之題，至於涉及皇極弦、弦或明弦三角形之條件之問題之文為〈《測圓海鏡》之已知叀前求圓徑題之一 (15) 〉、〈之二 (16)〉、
〈之三 (17)〉及〈之四 (18)〉，本文則談及“後”相關之題。以下為圓城之一般圖式：水心朱本文涉及以下之直角三角形：即日川為皇
極弦，日心為皇極股，川心為皇極勾，日川心乃為皇極弦三角形。又日月為明弦，日南為明股，月南為明勾，日月南乃為明弦三角形。又山川為弦，
山東為股，川東為勾，山川東乃為叀弦三角形。見上圖，注意直角三角形之勾、股及弦之名稱。以下各題之圖有紅線者乃已知長或有條件之長。所有
單位為“步”。﹝第一題﹞或問：出南門向東有槐樹一株、出東門向南有柳樹一株。丙、丁俱出南門，丙直行，丁往至槐樹下。甲、乙俱出東門，甲
直行，乙往至柳樹下。四人遙相望見，各不知所行步數，只云丙、丁共行了二百七步，甲、乙共行四十六步，又云甲、丙立處相距二百八十九步。問
答同前。題意指出南門P向東有槐樹H一株、出東門A向南有柳樹K一株。丙、丁俱出南門，丙直行至S，丁東行至槐樹H下。甲、乙俱出東門A，
甲直行至R，乙南行至柳樹K下。四人遙相望見，各不知所行步數，只云丙、丁共行 207步，即SP + PH = 207，甲、乙共行 4
6 步，即AR + AK = 46。又云甲、丙立處RS相距 289步。求圓徑。今將圖之重要部分放大如下：丙SU丁HPQZSP =
207 – xLPH = x乙KzO RS = 289甲RFXAK = y，RX = zAAR = 46 – yCME←D如果以
現代代數學方法解，則複雜。今先設PH = x，SP = 207 – x，AK = y，AR = 46 – y，RX = z，r 為
圓半徑。又 RS = 289。可列出相關方程式而解得AK = 30，AR = 16，PS = 135，PH = 72。以以下之方法
為佳：今先算出“平勾”RX 之長。為算出RX 之長，先將各長度以a1、b1及c1 表示，a1、b1及c1 乃最大三角形之勾、股及弦
之長，可參閱筆者另文。因為：SP = b14 = (c1 – a1)(– c1 + b1 + a1) ，PH = a14 = (c
1 – a1)(– c1 + b1 + a1) ，兩式相加得：b14 + a14 = (c1 – a1)(– c1 + b1 +
a1) + (c1 – a1)(– c1 + b1 + a1) = 207--- (1)又AK = b15 = (c1 – b1)
(– c1 + b1 + a1) ，AR = a15 = (c1 – b1)(– c1 + b1 + a1) ，以上兩式相加得：b
15 + a15 = (c1 – b1)(– c1 + b1 + a1) + (c1 – b1)(– c1 + b1 + a1)
= 46--- (2)又c12 = (– c1 + b1 + a1) = 289 ------------------------
----------------------- (3)式 (1) – (2) 得：(b1 – a1)(– c1 + b1 + a1
) + (b1 – a1)(– c1 + b1 + a1) = 207 – 46 = 161上式左方化簡得：(b1 – a1)(–
c1 + b1 + a1)[ + ] = (b1 – a1)(– c1 + b1 + a1)= (– c1 + b1 + a1
) -------------------------------------------- (4)又以 (3) – (4) 式
得： (– c1 + b1 + a1) – (– c1 + b1 + a1) = 289 – 161(– c1 + b1 + a1
) = 128，以勾股定化簡可寫成：(– c1 + b1 + a1) = 128(– c1 + b1 + a1) = 128(–
c1 + b1 + a1) = 128。(– c1 + b1 + a1) 即為平勾RX之雙倍，所以z = RX = 64。注意川地
夕﹝下平﹞﹝可參閱“圓城圖式”﹞川之地為下平弦，川之夕為股，夕之地為勾。下平弦﹝川地﹞：c9 = (– c1 + b1 + a1)
，下平股﹝川夕﹞：b9 = (– c1 + b1 + a1) ，下平勾﹝夕地﹞：a9 = (– c1 + b1 + a1) 。所
以《測圓海鏡》之法曰：以二共相減數，即207 – 46 = 161，又以減距數為實﹝為被除數﹞，即289 – 161 = 128，
二為法﹝為除數﹞，即：2z = 128z = z = 64。得平勾RX為64 步。得平勾後再算其他之長。從上圖可知ΔSHP 與ΔH
RX 相似，所以以下比例成立： = rx = 207z – xzrx = 13248 – 64x﹝以z = 64 代入﹞x(r +
64) = 13248x = ----------------------------------------- (5)又可知
ΔKRA 與ΔHRX 相似，所以以下比例成立： = = zy = rz – r2 + rx64y = 64r – r2 + r
x﹝以z = 64 代入﹞------- (6)ΔSHP 與ΔKRA 相似，所以以下比例成立： = 9522 – 207y –
46x + xy = xy46x = 9522 – 207y2x = 414 – 9yy = (414 – 2x) -------
--------------------------- (7)將 (7) 代入 (6) 得：64 × (414 – 2x) = 6
4r – r2 + rx26496 – 128x = 576r – 9r2 + 9rx26496 – 128×= 576r – 9
r2 + 9r×﹝將 (5) 式代人﹞26496r + 1695744 – 1695744 = 576r2 + 36864 r –
9r3 – 576r2 + 119232r9r3 + 26496r = 36864 r + 119232r9r3 – 12960
0r = 0r2 – 14400 = 0r = 120，即圓城半徑為120 步。本題之竅門為先求出平勾 RX 之 z。草曰：識別得
丙丁共，即明和也，甲乙共，即和也。相距步即極弦也，二共相併即極弦內少个虛黃也，又為極和內少个虛和也。二共相減餘為平勾髙股差也，又為
虛差極差共也，又為通差內減極差也。立天元z為平勾，加入二共相減數得z + 207 – 46 = z + 161為髙弦，又加天元得2
z + 161為極弦，寄左。以相距步289與左相消得：2z + 161 = 2892z = 128z = 64。上法下實，如法得六
十四，即平勾也。以二共相減數加平勾得二百二十五為髙股，即z + (207 – 46) = 64 + 161= 225為髙股SZ。復
以平勾乘之得 225 × 64 = 14400一萬四千四百步，開平方得一百二十步，即城半徑也。合問。又法：二共數併以減相距數餘者半
為“泛率”，即 289 – (207 + 46) = 289 – 253 = 36。泛率 = 36/2 = 18 。以泛率加丙丁共
為長 18 + 207 = 225。以泛率加甲乙共為闊長 18 + 46 = 64。長闊相乘為平方實，開方得半徑。即√ (225
× 64) = √ 14400 = 120。草曰：置極弦內減二共併數，餘三十六步，即虛黃也，即 289 – (207 + 46)
= 289 – 253 = 36。半之，即得 18 ，副置二位上，以加明和得二百二十五步為髙股也，即207 + 18 = 225。
下以加和 18 + (30 + 16) = 64 得六十四步為平勾也，二位相乘得一萬四千四百步，開平方得一百二十步，即半徑也合問。
即√ (225 × 64) = √ 14400 = 120。與筆者所得之結果相同。﹝第二題﹞或問：依前見丙丁共二百七步，甲乙共四十
六步。又云二樹相去一百二步，問答同前。題意指出南門P向東有槐樹H一株、出東門A向南有柳樹K一株。丙、丁同出南門，丙直行至S，丁東行
至槐樹H下。甲、乙同出東門A，甲直行至R，乙南行至柳樹K下。四人互相遙相望見，但各不知所行步數，只知丙、丁共行 207步，甲、乙共
行 46 步，而二樹KH相距 102步。求圓徑。今將圖之重要部分放大如下：丙SU丁HPQSP = 105 + LPH = 102
– y乙KzOKH = 102甲RFAK = yAAR = 46 – yCME←D今連HO及KO，注意ΔHPO 與ΔHLO 全等，
ΔKLO與ΔKAO 亦全等。今設AK = y，AR = 46 – y，KL = KA = y。LH = HP = 102 – y
，SP = 207 – (102 – y) = 105 + 。從上圖可知 ΔSPH 與ΔKAR 相似，所以 = ，即： = 10
2y – y2 = 4830 + 46y – 105y – y2161y = 4830y = 30。即 KL = KA = 30，
LH = HP = 102 – 30 = 72 ，SP = 105 + y = 105 + 30 = 135。AR = 46 –
y = 46 – 30 = 16。依勾股定理 KR = √(302 + 162) = √1156 = 34。今設圓半徑為 r，從圓
即可知 UH = r – 72，UK = r – 30，在直角三角形HUK中，依勾股定理可得：HU2 + UK2 = KH2 即(
r – 72)2 + (r – 30)2 = (72 + 30)2r2 – 144r + 5184 + r2 – 60r + 90
0 = 10222r2 – 204r + 6084 = 104042r2 – 204r – 4320 = 0r2 – 102r –
2160 = 0，分解因式得：(r – 120)(r + 18) = 0。取r = 120 ﹝步﹞，即圓城半徑為120 步。《測
圓海鏡》之法為先求KR，即弦。法曰：以甲乙共乘樹相去步得數 46 × 102 = 4692，又以自之為平實，即 46922 = 2
2014864，此即為方程式之常數。從空，即方程式x項之係數為0。併二共數為冪於上，即 (207 + 46)2 = 2532 =
64009，內減甲乙共自之數，即462 = 2116，丙丁共自之數，即2072 = 42849，64009 – 2116 – 42
849 = 19044﹝按或云二共數相乘倍之亦同﹞為益隅，得叀弦。可得方程式：19044x2 – 22014864 = 0x2 =
1156x = 34。草曰：識別得兩樹相去步即虛弦也。餘數具前。立天元一x為弦，置明和以天元乘之，207x合和除，不除，便以20
7x為明弦也，內帶和分母，乃置虛弦以分母叀和乘之得102 × 46 = 4692，加入明弦得 4692 + 207x為極股也﹝內帶
和分母﹞，以自之得下式：42849x2 + 1942488x + 22014864為極股冪內寄和羃為分母。又以天元加虛弦得 x +
102 為極勾，以自之得x2 + 204x + 10404，又以和冪 462 = 2116乘之得2116x2 + 431664x
+ 22014864為勾冪也。勾股相併得：42849x2 + 1942488x + 22014864 + 2116x2 + 43
1664x + 22014864= 44965x2 + 2374152x + 44029728為兩積一較冪也，內有和冪分母寄左。然
後置明弦207x於上，以和乘天元得46x，加上位得46x + 207x = 253x為二弦併。又置虛弦以和乘之得 102 × 46
= 4692併入上位得下式：4692 + 253x 為極弦，以自之得64009x2 + 2374152x + 22014864為
同數與左相消得：44965x2 + 2374152x + 44029728 = 64009x2 + 2374152x + 2201
486419044 x2= 22014864x2 = 1156x = 34。開平方，得三十四步，即弦也。又法：以樹相去步自之，即1
022 = 10404又以甲乙共乘之為平實，即10404 × 46 = 478584，此即為方程式之常數。從空，即為方程式x項之係
數為0。倍丙丁共為虛隅，2 × 207 = 414。可得方程式：414x2 – 478584 = 0x2 = 1156x = 34
。得弦。以下為筆者之另法：今設RK = u，HS = v。注意ΔSHP、ΔKRA相似，所以對應邊或對應邊之和成比例： = ，即：
= 即可得v =，即ΔSHP與ΔKRA三邊之比為9：2，從上文可知： = = 204 – 2y = 414 – 9y7y = 2
10y = 30，即AK股為30 步。又可得AR勾為46 – 30 = 16﹝步﹞。明勾股形三邊之長亦可依次算出。﹝第三題﹞或問：
皇極大小差共一百八十七步，明黃、叀黃共六十六步。問答同前。此題應為求虛黃。SUHPQZLNnNKzO RFXACME←D先注以下
勾股形之名稱：SR為皇極弦，SO為皇極股，RO為皇極勾，SRO為皇極勾股形。SH為明弦，SP為明股，HP為明勾，SHP為明勾股形。
KR為弦，KA為股，RA為勾，KRA為勾股形。HK為太虛弦，HN為太虛股，KN為太虛勾，HKN為太虛勾股形。“皇極”可簡稱為“極”
，“太虛”可簡稱為“虛”。題意指勾股形日川心是為皇極，其大差加小差共 187步，明黃、叀黃共 66步。勾股形月山水為太虛。求太虛黃
﹝可參閱首頁之“圓城圖式”﹞。注意“黃” = 勾 + 股 – 弦。勾股形日川心之皇極弦289，勾 136，股255，大差 = 弦
– 勾 = 289 – 136 = 153。小差 = 弦 – 股 = 289 – 255 = 34。和 = 大差 + 小差 = 1
53 + 34 = 187。勾股形日月南之日月為明弦，日南為股，南月為勾。若明弦153 ，明勾72 ，明股135，所以明黃 = 7
2 + 135 – 153 = 54。又弦34，叀勾16，叀股30。所以黃 = 16 + 30 – 34 = 12。所以明黃 +
黃 = 66。今先証明太虛黃= (叀黃 + 明黃)2 ÷ [皇極大小差之和 – (叀黃 + 明黃)]。今先求皇極大小差。皇極之弦、
股及勾如下：皇極弦﹝日川﹞：c12 = (– c1 + b1 + a1) ，皇極股﹝日心﹞：b12 = (– c1 + b1 +
a1) ，皇極勾﹝心川﹞：a12 = (– c1 + b1 + a1) 。即可知：皇極大差 = 皇極弦 – 皇極勾= (– c1
+ b1 + a1) – (– c1 + b1 + a1) = (– c1 + b1 + a1)。皇極小差 = 皇極弦 – 皇極股
= (– c1 + b1 + a1) – (– c1 + b1 + a1) = (– c1 + b1 + a1) 。所以大小差之和
= (– c1 + b1 + a1)。再求明黃。明之弦、股及勾如下：明弦﹝日月﹞：c14 = (c1 – a1)(– c1 +
b1 + a1) ，明股﹝日南﹞：b14 = = (c1 – a1)(– c1 + b1 + a1) ，明勾﹝南月﹞：a14 =
(c1 – a1)(– c1 + b1 + a1)。明黃 = 明勾 + 明股 – 明弦，即：(c1 – a1)(– c1 + b
1 + a1) + (c1 – a1)(– c1 + b1 + a1) – (c1 – a1)(– c1 + b1 + a1) =
(c1 – a1)(– c1 + b1 + a1) 。又求黃。之弦、股及勾如下：弦﹝山川﹞：c15 = (c1 – b1)(–
c1 + b1 + a1)，股﹝山東﹞：b15 = = (c1 – b1)(– c1 + b1 + a1)，勾﹝東川﹞：a15
= (c1 – b1)(– c1 + b1 + a1)。黃 = 勾 + 股 – 弦，即：(c1 – b1)(– c1 + b1 +
a1) + (c1 – b1)(– c1 + b1 + a1) – (c1 – b1)(– c1 + b1 + a1) = (c
1 – b1)(– c1 + b1 + a1) 。二黃共 = (c1 – a1)(– c1 + b1 + a1) + (c1 –
b1)(– c1 + b1 + a1)= (– c1 + b1 + a1)(c1 – a1+ c1 – b1)。= (– c1
+ b1 + a1)2 (2c1 – b1 – a1)。二黃共自乘為實，即 []2(– c1 + b1 + a1)4 (2c1
– b1 – a1)2 -------- (A)前後兩數差 (– c1 + b1 + a1) – (– c1 + b1 + a1)
2 (2c1 – b1 – a1)= (– c1 + b1 + a1)(2c1 – b1 – a1)[c1+ c1 – b1 –
a1]= (– c1 + b1 + a1)(2c1 – b1 – a1)2 ------------------------ (B
) 得： []2(– c1 + b1 + a1)4 (2c1 – b1 – a1)2 ÷ (– c1 + b1 + a1)(2c
1 – b1 – a1)2= (– c1 + b1 + a1)3= (– c1 + b1 + a1)2= (c12 + b12 +
a12– 2c1b1 + 2b1a1 – 2c1a1)= (2c12 – 2c1b1 + 2b1a1 – 2c1a1)= (c1
2 – c1b1 + b1a1 – c1a1)= (c1 – a1)(c1 – b1) --------------------------------------- (C)求太虛黃。太虛之弦、股及勾如下：太虛弦﹝月山﹞：c13 = (c1 – a1)(c1 – b1)，太虛股﹝月水﹞：b13 = = (c1 – a1)(c1 – b1)，太虛勾﹝水山﹞：a13 = (c1 – a1)(c1 – b1)。太虛黃 = 叀勾 + 叀股 – 叀弦，即：(c1 – a1)(c1 – b1) + (c1 – a1)(c1 – b1) – (c1 – a1)(c1 – b1)= (c1 – a1)(c1 – b1)。此式與 (C) 式相同。所以本題太虛黃求法如下：。法曰：後數自乘為實，662 = 4356，前後數相減餘為法，187 – 66 = 121，得虛黃方， = 36。以下為驗算：太虛弦102，太虛勾48，太虛股90。大差 = 102 – 48 = 54，小差 = 102 – 90 = 12， 大小差和= 66。虛黃 = 48 + 90 – 102 = 36。故以上算法正確。本題之解法與其他題不同，李冶可能先有答案而依答案而擬出問題。-1- |
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