《測圓海鏡》之分一十四問之二上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：以下諸題
源自《測圓海鏡?卷十二》，所問者皆與“圓城圖式”有關，主要涉及勾股形之三邊成內接圓之切線，而求圓徑或相關勾股形三邊之問題。本文之問
則涉及“分”，“分”乃指“分數”也。據《測圓海鏡》所云“之分”乃指通分母也。關鍵詞： 大弦 大勾 大股 副置 上位以下之問取材自《
測圓海鏡?卷十二》涉及“分”，所謂“分”乃指條件含“分數”之題也。但據《測圓海鏡》所云“之分”乃指通分母。《測圓海鏡?卷十二》涉及
分數題之算法為先算出一分所代表之數，然後再算出其他相關之數，可參閱以下之例。筆者已有多篇文章談及已知“圓城圖式”中之兩條件而求圓徑
或勾股形邊長之題。涉及分數之題則有文名為〈《測圓海鏡》之分一十四問之一〉，本文乃其延續。﹝第一題﹞至﹝第四題﹞見上文。本文涉及之最
大直角三角形為天地乾，天地乾乃最大之勾股形，名為“通”，其弦名為“大弦”或“大斜”(z1)，其股名為“大股”(y1)，其勾名為“大
勾”(x1)。以下各題之圖有紅線者乃已知長或有條件之長。“十四問”指有十四條問題。所有單位為“步”。以下為圓城之一般圖式，各題皆適
用：青水心朱﹝第五題﹞或問：甲、丙二人俱在西北隅，甲向東行不知步數而立，丙向南行望見甲，與之相?。丙語甲云：“我行既多于汝，又城徑
少于我四十分之十六”﹝按四十為股分十六為徑當云“徑少於我，為四十分之十六”，原文脫“為”字似“十六為股圓差分”矣。﹞甲云：“然則吾
二人共行了九百二十步。”問答同前。按語正確，宜參閱筆者之列式及算法。B 丙南BQ = xL東QQ坤CD + DB = 920F 西
圓半徑 = 8uO 甲←甲丙↑CM 北E乾D題意指甲、丙二人俱在西北隅D點，甲向東行不知步數至C而立，丙向南行至B望見甲，與之相?
。丙行之路多于甲，又城徑等於丙南行之 。又甲丙二人共行了920步。今設一分之長為 u﹝即 所代表之數﹞，BD = 40u，又圓
直徑 = × BD = 16u。﹝注意 其實可約簡為 ，但為配合《測圓海鏡》算法，故仍用 。《測圓海鏡》用16，為方便配合平方
數。﹞即可知圓半徑 = 8u，又已知 CD + DB = 920，所以CD = 920 – DB = 920 – 40u。因為CD
= 920 – 40u，BD = 40u 及BC = BL + CL = BD – 8u + CD – 8u = 920 – 1
6u，依勾股定理可知BC2 = CD2 + BD2，(920 – 16u)2 = (920 – 40u)2 + (40u)2256
u2 – 29440u + 846400 = 1600u2 + 1600u2 – 73600u + 846400256u2 – 2
9440u = 3200u2 – 73600u44160u = 2944u22944u = 44160u = 15。即一分之長為
15，所以BD = 40 × 15 = 600，即大股。圓直徑 = × BD = 16 × 15 = 240。CD = 920
– 40u = 920 – 600 = 320，即大勾及BC = 920 – 16u = 920 – 240 = 680，即大弦。
法曰：倍子以減倍母，即 80 – 32 = 48，又乘共行步為實，即48 × 920 = 44160，此“實”為被除數。倍子減倍母
以乘子母併數于上，即 (80 – 32)(40 + 16) = 48 × 56 = 2688，又以子冪加上位為法，即162 + 2
688 = 2944，此“法”為除數。兩數相除得44160/2944 = 15。《測圓海鏡》曰：“如法得一十五步，即一分之數也。”
上式與筆者所得相同。草曰：别得共行步即通和﹝通勾股形之勾股和﹞也。又别得四十分之十六或作二十分之八，或作十分之四﹝筆者按：此分數並
非最簡，最簡之分數應為 ﹞亦得，但所得分數不同耳。乃立天元一u為一分之數，以十六之為城徑，即16u，以四十之為丙行，即40u，丙行
減和步得920 – 40u為通勾。勾內減徑，餘得 920 – 40u – 16u = 920 – 56u為小差于上，以分母分子相減
，餘 40 – 16 = 24，又倍之得 48 為兩个大差，以乘上位，得 48(920 – 56u) = 44160 – 2688
u，為圓徑冪，寄左。然後以分子十六分自之得下 256u，與左相消得44160 – 2688u = 256u2944u = 4416
0u = 15。即一份之長為 15 步。上法下實得一十五步，即一分之數也。以十六之得二百四十步，即城徑也。合問。即城徑 = 15
× 16 = 240。﹝第六題﹞或問：甲乙俱立于城中心，乙出東門直行不知步數而立，甲出南門直行，亦不知步數，望見乙。向乙斜行，與之
相?，乙云：我居汝南行十五分之八。又云：斜行步內若減甲直行，餘三十四步。若減乙直行，餘一百五十三步。問答同前。解：B 南甲SLp設
RS = z，RO = xQ東乙RF 西SO = y， AO乙甲圓半徑 = r CM 北E題意指甲與乙同立于城中心O，乙出東門A直
行不知步數而立於R，甲出南門P直行，亦不知步數而立於S，從S可望見乙。甲向乙斜行SR，與乙相?於R，乙行之距離為甲南行十五分之八。
又斜行SR內減甲直行，餘三十四步。若斜行SR減乙直行，餘一百五十三步。求圓徑。注意SRO 乃為皇極勾股形。今設皇極弦RS = z，
皇極勾RO = x ，皇極股SO = y，圓半徑 = r，依題意可列出以下三方程式：x = y -----------------
----- (1)z – y = 34 ------------------- (2)z – x = 153 ----------
------- (3)從 (2) 得 z = 34 + y 及從 (3) 得 z = 153 + x得 34 + y = 153
+ x ------ (4)將 (1) 式代入 (4) 式得 34 + y = 153 + yy = 119y = 255，是為皇
極股SO。x = y = × 255 = 136，是為皇極勾RO。z = 153 + x = 153 + 136 = 289，是
為皇極弦RS。從上圖又由相似三角形可知 = ，即 = ，即 289r = 255 × 136289r = 34680r = 1
20，是為圓半徑，即得圓直徑為 240。又每分所佔之數為 × 255 = 17﹝步﹞。另解：設 所代表之數為u，所以皇極股SO
= 15u，皇極勾RO = 8u，皇極弦 – 皇極股 = 皇極弦 – 15u = 34，是為小差；皇極弦 – 皇極勾 = 皇極弦
– 8u = 153，是為大差。兩種方式表達皇極弦，可得：皇極弦 = 34 + 15u = 153 + 8u7u = 119u
= 17。又另法：皇極弦 = √ [(8u)2 + (15u)2] = √ (64u2 + 225u2) = √ (289u2)
= 17u，又皇極弦 – 15u = 34，即 17u – 15u = 34，2u = 34u = 17。或又皇極弦 – 8u =
153，即 17u – 8u = 153，9u = 153u = 17。求 r 法，同上理由：皇極弦 × r = 皇極勾 × 皇
極股17ur = 8u × 15u 17r = 120u17r = 120 × 17r = 120。是為圓半徑，即得圓直徑為 24
0 步。法曰：以云數二減步為小差、大差，以相乘倍之，開平方加入大小差併，以自之於上，又以大小差相較，數以自之，減上位為實。因為2
× 小差 × 大差 = 皇極勾股形內圓直徑平方皇極勾股形內圓直徑平方 = 2 × 34 × 153 = 10404開平方得 102
= 勾 + 股 – 弦 得 102開平方加入大小差併 勾 + 股 – 弦 + 弦 – 勾 + 弦 – 股 = 弦所以102 +
34 + 153 = 289 是為皇極弦。以自之於上即 弦2，即 83521。大小差相較即 (弦 – 勾) – (弦 – 股) =
股 – 勾 ，即153 – 34 = 119。自乘之得 股2 – 2勾股 + 勾2，即 1192 = 14161減上位為實 弦2
– (股2 – 2勾股 + 勾2) = 2勾股，即 83521 – 14161 = 69360。甲行分、乙行分相乘，又倍之為隅法
，得一分之數。即 2 × 8 × 15 = 240 ， = 289，√289 = 17。或作如下運算：2勾股 + 弦2 = 2勾股
+ 勾2 + 股2 = 83521 + 69360 = 152881 = (勾 + 股)2，開平方之得 391 乃勾股和，但勾股
和共 15 + 8 = 23 分，則每分佔 = 17﹝步﹞。草曰：別得云步相併得一百八十七，即34 + 153 = 187是于皇
極弦內少一个皇極黄方靣也。又別得三十四步是个小勾圓差，其一百五十三步是一个小股圓差，此二差又相減餘一百一十九 即153 – 34
= 119，即中差﹝皇極勾股差﹞也。乃立天元一u為一分之數，以八之得 8u為乙東行數，以十五之得15u為甲南行數。以二數相乘又倍之
得2 × 8u × 15u = 240u2為二直積于上，寄左。然後以云步三十四乘一百五十三得五千二百二，又倍之得一萬四百四為平方實
，即2 × 34 × 153 = 10404，開之得一百二102步，即小黄方也。加入相併數一百八十七得二百八十九為小弦﹝皇極弦﹞也
，即102 + 187 = 289。以自之得八萬三千五百二十一，即2892 = 83521為弦冪于上，以中差冪，即 (153 –
34)2 = 1192 = 14161一萬四千一百六十一，減上位餘 83521 – 14161 = 69360。與左相消得240u
2 = 69360u2 = 289u = 17。平方開之得一十七步，即一分之數也。副置一分之數上位以八之得一百三十六即乙東行也，即
17 × 8 = 136，下位以十五之得二百五十五即甲東行也，即 17 × 15 = 255，二位相乘得三萬四千六百八十，即25
5 × 136 = 34680，又倍之得六萬九千三百六十為實，即2 × 34680 = 69360，以弦二百八十九為法，即 289
，如法得二百四十步， = 240，即城徑也。合問。﹝第七題﹞或問：甲出西門南行，乙出北門東行，各不知逺近，兩相望見。復相斜行，各行
了三百四十步相?。甲云：“城徑居我南行二分之一。”乙云：“我東行居城徑六分之五。”問答同前。解：題意指甲出西門F南行至B，乙出北門
E東行至C，各不知逺近，兩人可相望見。兩人復相斜行，各行了三百四十步而相?於BC之中點。又知城徑等於甲南行FB二分之一。而乙東行E
C之長等於城徑六分之五。求城徑。今設圓徑 = d，CE = x，BF = y，由全等三角形性質可知，CE = CL，BF = BL
，又因為 BC = BL + CL，所以 BC = BF + CE = 2 × 340 = 680。B 甲南BF = yL東QQ坤
CE + BF = 680F 西甲圓徑 = dO 乙CCE = xM 乙北E乾D依題意可列出以下三方程式：d = y ------
------------------ (1)x = d ------------------------ (2)x + y = 2
× 340 = 680 ------ (3)將 (1) 及 (2) 代入 (3) 得 d + 2d = 680d = 680d
= 240，即得圓直徑為 240。可知 y = 2d = 480，x = d = × 240 = 200。大勾 = x + 半徑
= 200 + 120 = 320。大股 = y + 半徑 = 480 + 120 = 600。另法：今設 即1分所佔之長為
u，d = 6u，x = 5u，y = 12u，將 x 及 y 代入 (3) 得5u + 12u = 68017u = 680u
= 40，即一分佔40步。d = 6u = 6 × 40 = 240，x = 5u = 5 × 40 = 200，y = 12u
= 12 × 40 = 480。法曰：以二之斜行步自之為實，以各行分數自之為冪﹝按此語未詳，當云以城徑六分乘甲南行二分得十二分，加
半城徑三分得十五分為大股分，乙東行五分加半城徑三分得八分為大勾分，各自之為冪﹞又相併為隅法，開平方得一分之數。以按語之說為是，即：
CD大勾 = x + d = 5u + 3u = 8uBD大股 = 12x + d = 12u + 3u = 15uBC大弦 =
2 × 340 = 680。依勾股定理並代入相關數字得：6802 = (8u)2 + (15u)2462400 = 64u2 +
225u2289u2 = 462400u2 = 1600u = 40，即一分佔40步。《測圓海鏡》之算法不及筆者簡潔。草曰：別得倍
斜行為大弦，又别得乙行五分，城徑六分，甲行十二分。乃立天元一u為一分之數，以六之得6u為城徑，以五之得5u，為乙行分，以十二之得1
2u為甲行分。乃副置半城徑3u上位，加甲行步得12u + 3u = 15u，以自之得225u2為甲行冪下位，加乙行步得5u + 3
u = 8u，以自之得64u2為乙行冪。二冪又相併得64u2 + 225u2 = 289u2為大弦冪，寄左。然後置大弦六百八十步以
自之得6802 = 462400，與左相消得289u2 = 462400u2 = 1600u = 40，即一分佔40步。平方開之得
四十步，即一分之數也。以六之得二百四十步，即城徑也。合問。以下為《測圓海鏡》原文：﹝第八題﹞或問：甲出西門南行不知步數而立，乙出北
門東行見之，乙斜行與甲相?。甲乙二人共行了一千三百六十步，其甲南行居斜十七分之十二，其乙東行居斜十七分之五。問答同前。解：B 甲南
BF = yL東QQ坤BC + CE + BF = 1360F 西甲圓徑 = dO 乙CCE = xM 乙北E乾D題意指甲出西門F
南行不知步數而立於B，乙出北門E東行至C見甲，乙斜行CB與甲相?。甲乙二人共行了 1360 步，又已知甲南行 FB = BC，又
乙東行EC = BC。求城徑。今設圓半徑 = r，CE = x，BF = y，由全等三角形性質可知，CE = CL，BF = B
L，又因為 BC = BL + CL = y + x，又依題意可知 BC + BF + CE = (y + x) + y + x
= 1360。上圖勾股紅線部分和等於弦之長。所以2BC = 1360，即兩個大弦。即BC = 680，又即2(y + x) = 1
360y + x = 680。又依題意可知：EC = x = BC = × 680 = 200，CD = 200 + r。BF
= y = BC = × 680 = 480，BD = 480 + r。依勾股定理可知；(200 + r)2 + (480
+ r)2 = 680240000 + 400r + r2 + 230400 + 960r + r2 = 4624002r2 + 1360r – 192000 = 0r2 + 680r – 96000 = 0(r – 120)(r + 800) = 0取r = 120，是為圓半徑，即得圓直徑為 240。即可知大勾CD = 200 + r = 200 + 120 = 320。大股BD = 480 + r = 480 + 120 = 600。法曰：别得共步即二弦也，半共步得六百八十步。副置上位，以五之得三千四百，以十七而一得二百步，即乙東行也。乙東行即EC = x = BC = × 680 = 200。下位以十二之得八萬一千六百，以十七而一，得四百八十，即甲南行也。即 BF = y = BC = × 680 = 480。二行相減餘二百八十即勾股差也，即 480 – 200 = 280。其餘各依法求之，合問。 粵音“遇”，陽去聲﹝非陽上聲﹞，用作動詞，告訴也。 你也。-1- |
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