《測圓海鏡》之分一十四問之三上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：以下諸題
源自《測圓海鏡?卷十二》，所問者皆與“圓城圖式”有關，主要涉及勾股形之三邊成內接圓之切線，而求圓徑或相關勾股形三邊之問題。本文之問
則涉及“分”，“分”乃指“分數”也。據《測圓海鏡》所云“之分”乃指通分母也。本文尚涉及解“二元一次方程式”，值得留意。關鍵詞： 大
差 小差 勾圓差 之分以下之問取材自《測圓海鏡?卷十二》涉及“分”，所謂“分”乃指條件含“分數”之題也。據《測圓海鏡》所云“之分”
乃指通分母也。本文尚涉及解“二元一次方程式”之步驟，值得留意。《測圓海鏡》之算法為先算出一分所代表之數，然後再算出其他相關之數，可
參閱以下之例。筆者已有多篇文章談及已知“圓城圖式”中之兩條件而求圓徑或勾股形邊長之題。涉及分數之題則有文名為〈《測圓海鏡》之分一十
四問之一、之二〉，本文乃以上兩文之延續。﹝第一題﹞至﹝第八題﹞見以上兩文。本文涉及之最大直角三角形為天地乾，天地乾乃最大之勾股形，
名為“通”，其弦名為“大弦”或“大斜”(z1)，其股名為“大股”(y1)，其勾名為“大勾”(x1)。“分”以下為圓城之一般圖式：青
水心朱以下各題之圖有紅線者乃已知長或有條件之長。 “十四問”指有十四條問題。所有單位為“步”。﹝第九題﹞或問：甲出西門南行，不知步
數而立，乙出北門東行，望見之。既而乙謂甲云：“我取汝六分之五得六百步。”甲謂乙云“我取汝五分之三亦得六百步。”問答同前。解：B 甲
南BF = yL東QQ坤CE + BF = 680F 西甲圓徑 = dO 乙CCE = xM 乙北E乾D題意指甲出西門F南行，不知
步數而立於B，乙出北門E東行，至C望見甲。已知乙若取甲六分之五之步數加上原有步數則等於六百步，甲若取乙五分之三之步數加上原有步數亦
得六百步。求圓徑。今設圓徑 = d，CE = x，BF = y，由全等三角形性質可知，CE = CL，BF = BL，又因為 BC
= BL + CL，所以 BC = BF + CE。依題意可列出以下二方程式：x + y = 600 -------------
---------- (1)y + x = 600 ----------------------- (2) × (2) 得 y +
x = 500 ------- (3)(1) – (3) 得 x = 100x = 200。即EC之長，亦為乙行之步數。代x =
200 入 (1) 得200 + y = 600y = 400y = 480。即FB之長，亦為甲行之步數。亦為股半圓差。以下為求
圓徑法：依勾股定理 (200 + d)2 + (480 + d)2 = 680240000 + 200d + d 2 + 2304
00 + 480d + d 2 = 462400d 2 + 680d + 270400 = 462400d 2 + 680d –
192000 = 0d 2 + 1360d – 384000 = 0(d – 240)(d + 1600) = 0取 d = 24
0 為全圓徑。法曰：求得各行步﹝按見後草﹞相併，以自之于上﹝上即上位，即備用之式﹞，併甲南行冪，乙東行冪，以減上為實。今假設已算出
甲行 480 步，乙行200步。(480 + 200)2 = 6802 = 462400，462400 – 4802 – 2002
= 192000，此即為方程式常數。併各行為從，480 + 200 = 680，此即為方程式含d項之係數。半步常法，即 為方程
式含d2項之係數。故所得之方程式為：d 2 + 680d – 192000 = 0d 2 + 1360d – 384000 = 0
(d – 240)(d + 1600) = 0取 d = 240 得全徑。《測圓海鏡》之“法”難以完全說明本題之解法，因涉及“二元
一次方程式”，以上只為求圓徑之法，所以須要細看以下之“草”為合。草曰：置﹝乙取甲六分之五六百步，甲取乙五分之三六百步﹞以上六分、五
分各自直乗步數訖得人﹝ 三千六百步， 三千步﹞，别得左行三千六百步為六乙行五甲行也，右行三千步為五甲行三乙行也﹝見以下之(4) 及
(5) 式﹞，以“方程法”入之，乃再置五甲行/六乙行/三千六百步；五甲行/三乙行/三千步﹝見以下之 (6) 及 (5) 式﹞﹞。
乙 + 甲 = 600 ，6乙 + 5甲 = 3600 ----------------------- (4)甲 + 乙 = 60
0 ，5甲 + 3乙 = 3000 ----------------------- (5)重列 (4) 式得5甲 + 6乙 = 3
600 ----------------------- (6)先以左行直減右行，右上空，中餘三，乙行下餘六百步，上法下實，得二百步
，即乙行也﹝見以下兩式﹞。(6) – (5) 得 3乙 = 600乙 = 200。即乙行也。却以今右行減于元左行，上餘五，甲行空，
中下餘二千四百步，上法下實，得四百八十步，即甲行也﹝見以下式﹞。重列 (5) 式得5甲 + 3乙 = 3000代乙 = 200 入
(5) 得5甲 + 600 = 30005甲 = 2400 甲 = 480。即甲行也。以上即解“方程”﹝二元一次方程式﹞之法也。
既得此數，乃立天元一d為城徑，以半之r副置二位上，以加甲行得480 + r為通股，以自之得230400 + 960r + r2為大
股冪。下位加乙行得200 + r為通勾，以自之得40000 + 400r + r2為大勾冪，二冪相併得40000 + 400r +
r2 + 230400 + 960r + r2 = 2r2 + 1360r + 270400為大弦冪。寄左。乃併甲行乙行200
+ 480 = 680，以自乗得下式 6802 = 462400，亦為大弦冪，與左相消得下：2r2 + 1360r + 27040
0 = 4624002r2 + 1360r – 192000 = 0r2 + 680r – 96000 = 0，分解因式得：(r
– 120)(r + 800) = 0。取r = 120，是為圓半徑，即得圓直徑為 240。《測圓海鏡》曰“開平方得二百四十步，即
城徑也。合問。”依上文及上圖可知：CD = 200 + r 及 BD = 480 + r。大弦BC = 200 + 480 = 6
80。依勾股定理得：(200 + r)2 + (480 + r)2 = 680240000 + 400r + r2 + 23040
0 + 960r + r2 = 4624002r2 + 1360r – 192000 = 0r2 + 680r – 96000 =
0(r – 120)(r + 800) = 0取r = 120，是為圓半徑，即得圓直徑為 240。以下為《測圓海鏡》原文：﹝第十
題﹞或問：甲從坤隅南行，不知步數而立，乙從艮隅東行，望見之。既而乙謂甲云：“我所行取汝所行三分之一得二百步。”甲謂乙云：“我所行內
減汝所行四分之三得三百步。”問答同前。解：B 甲南設BQ = yL東QQ坤甲F 西圓徑 = d = 2rO 乙C設CM = x艮M
乙北E乾D題意指甲從坤隅Q南行，不知步數而立於B，乙從艮隅M東行，至C望見甲。乙取甲所行之三分之一加上原步數CM得二百步。甲所行內
減乙所行四分之三得三百步。求圓之直徑。今設圓徑 = d，CM = x，BQ = y，由全等三角形性質可知，CE = CL，BF =
BL，又因為 BC = BL + CL，所以 BC = BF + CE。BF = y + r，CE = x + r，所以 BC
= x + y + 2r。依題意可列出以下二方程式：x + y = 200 ----------------------- (1)
y – x = 300 ----------------------- (2)(1) × 3 得 3x + y = 600 ---
------ (3)(3) – (2) 得 3x = 300x = 300 × = 80。即乙行也。代 x = 80 入 (3)
得 240 + y = 600y = 600 – 240 = 360。即甲行也。以下為求圓徑法：依勾股定理CD2 + BD2 =
BC2(x + d)2 + (y + d)2 = (x + y + d)2，將 x 及 y 之值代入得：(80 + d)2 +
(360 + d)2 = (80 + 360 + d)26400 + 160d + d 2 + 129600 + 720d + d
2 = 193600 + 880d + d2d 2 = 57600d = 240取 d = 240 為全圓徑。法曰：如法求得各行
﹝按見後草﹞以相乗，又二之，開平方得全徑。即先算出甲行360步及乙行80步，圓直徑 = √(2 × 360 × 80) = √ 5
7600 = 240。草曰：置﹝乙取甲 / 200步，甲減乙 / 300步﹞以上三分、四分，置乗步數訖得﹝ / 600， /
1200步﹞。别得右行六百步為三乙行，一甲行也，左行一千二百步為四甲行內少三之乙行步也，以方程法入之，乃再置﹝一甲行/三乙行/60
0步，四甲行/三乙行負/1200步。即：乙 + 甲 = 200，即3乙 + 甲 = 600------------- (4)甲 –
乙 = 300，即4甲 – 3乙 = 1200----------- (5)先以左行直加右行右上，得五甲行，中空，下一千八百步，
上法下實，得三百六十步，即甲行也。“中空”指消去乙數。(4) + (5) 兩式相加得 5甲 = 1800甲 = 360。即甲行也。
次以一甲行減元右行六百步，餘二百四十步，以中三除之，得八十步，即乙行步也。代甲 = 360入 (4) 之3乙 + 甲 = 600，
得 3乙 + 360 = 6003乙 = 240乙 = 80。以下為求圓徑之法：甲行乙行二數相乘，得數又倍之，開平方即城徑也。合問
。今用公式：半徑(弦 + 股 + 勾) = 股 × 勾。BD = 360 + 2r CD = 80 + 2r BC = 360
+ r + 80 + r三邊和 = 880 + 6r，遂可得：r(880 + 6r) = (360 + 2r)(80 + 2r)
880r + 6r2 = 28800 + 720r + 160r + 4r22r2 = 28800r2 = 14400r = 12
0。取 r = 120，是為圓半徑，即得圓直徑為 240 步。﹝第十一題﹞或問：股圓差如股五分之三，勾圓差如勾四分之一。又云其大小
差相減餘二百八十步。問答同前。解：題意指股圓差﹝大股與圓徑之差﹞BQ等於股長五分之三，勾圓差﹝大勾與圓徑之差﹞等於勾長四分之一。又
云其大小差﹝大差與小差﹞相減餘二百八十步。求圓徑。設大勾CD = x，大股BD = y，設CM = 勾圓差，BQ = 股圓差。設z
為大弦，於是大差 = z – x ，小差 = z – y，圓徑 = d = 2r。大小差相減 = (z – x) – (z – y
) = y – x = 280，是為中差，亦為勾股差。B南設BQ = 股圓差，BD = yL東QQF 西圓徑 = d = 2rO
乙C乾D設CM = 勾圓差，CD = xM北E依題意可列出以下三方程式：y – 2r = y ------------------
------ (1)x – 2r = x -------------------------(2)y – x = 280 ----
--------------------- (3)從 (1) 可得 y = 2r y = 5r------------- (4)從
(2) 可得 x = 2rx = r ------------ (5)將 (4) 及 (5) 代入 (3) 得5r – r =
28015r – 8r = 8407r = 840r = 120，是為圓半徑，即得圓直徑為 240 步。將 r = 120 代入
(4) 得y = 5r = 5 × 120 = 600，即大股為 600步。將 r = 120 代入 (5) 得x = r =
× 120 = 320，即大勾為 320步。《測圓海鏡》不作以上運算，其法為先算出勾圓差，今設勾圓差 = x – 2r = u，即
：x – 2r = u = xx = 4u ------------------------------ (6)將 (6) 代入
y – x = 280 得 y – 4u = 280y = 280 + 4u ---------------------- (7)
從 (1) 及 (2) 得 y = x = 2ry = x8y = 15x ---------------------------
(8)將 (6) 及 (7) 代入 (8) 得 8(280 + 4u) = 15 × 4u560 + 8u = 15u7u =
560u = 80，即勾圓差為 80 步。法曰：二之中差為實，即2 × 280 = 560，此處之“實”為被除數。置股子以勾母乗之，內減股母為法，即3 × 4 – 5 = 7，此處之“法”為除數。兩數相除得560 ÷ 7 = 80，得小差。草曰：别得勾圓差即小差，股圓差即大差，云步即中差。乃立天元一u為小差，以四之得4u為勾，勾上加中差得 4u + 280為股。又三之得3(4u + 280) = 12u + 840為五个大差也，內減五个天元得12u + 840 – 5u = 7u + 840為五个中差也，寄左。乃以五之相減步5 × 280 = 1400與左相消得7u + 840 = 14007u = 560u = 80，即勾圓差為 80 步。《測圓海鏡》曰：“上法下實得八十步，即小差也。合問。”《測圓海鏡》之列式以上數為法為除數，以下數為實為被除數。上文之細草未必容易理解，宜參閱筆者之列式。-1- |
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