《測圓海鏡》之分一十四問之四上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：以下諸題
源自《測圓海鏡?卷十二》，所問者皆與“圓城圖式”有關，主要涉及勾股形之三邊成內接圓之切線，而求圓徑或相關勾股形三邊之問題。本文之問
則涉及“分”，“分”乃指“分數”也。據《測圓海鏡》所云“之分”乃指通分母也。本文涉及數條《測圓海鏡》之相關定理。關鍵詞： 勾圓差
股圓差 之分 小差以下之問取材自《測圓海鏡?卷十二》涉及“分”，所謂“分”乃指條件含“分數”之題也。據《測圓海鏡》所云“之分”乃指
通分母也。《測圓海鏡》之算法為先算出一分所代表之數，然後再算出其他相關之數，可參閱以下之例。筆者已有多篇文章談及已知“圓城圖式”中
之兩條件而求圓徑或勾股形邊長之題。涉及分數之題則有文名為〈《測圓海鏡》之分一十四問之一、之二及之三〉，本文乃以上三文之延續。﹝第一
題﹞至﹝第十一題﹞見以上三文。本文涉及之最大直角三角形為天地乾，天地乾乃最大之勾股形，名為“通”，其弦名為“大弦”或“大斜”(z1
)，其股名為“大股”(y1)，其勾名為“大勾”(x1)。“分”以下為圓城之一般圖式，此圖式各題皆合用：青水心朱以下各題之圖有紅線者
乃已知長或有條件之長。“十四問”指有十四條問題。所有單位為“步”。﹝第十二題﹞或問：股圓差如股五分之三，勾圓差如勾四分之一。又云勾
母每分少于股母每分四十步。問答同前。解：B 南SBQ 股圓差L東QQ坤F 西O CM勾圓差CM 北ED 題意指股圓差BQ ﹝大股和
圓直徑之差﹞等於大股 BD 五分之三，勾圓差 CM ﹝大勾和圓直徑之差﹞等於大勾 CD 四分之一。又云 大股 – 大勾 = 40。
求圓直徑。設大勾CD = x，大股BD = y，設CM = 勾圓差，BQ = 股圓差，圓徑 = d = 2r。依題意可列出以下三方
程式：y – 2r = y ------------------------ (1)x – 2r = x ------------
-------------(2)y – x = 40 ----------------------- (3)從 (1) 可得 y
= 2r y = 5r------------- (4)從 (2) 可得 x = 2rx = r ------------ (5)
將 (4) 及 (5) 代入 (3) 得r – r = 403r – 2r = 120r = 120。r = 120，是為圓半徑，
即得圓直徑為 240 步。將 r = 120 代入 (4) 得y = 5r = 5 × 120 = 600，即大股為 600步。將
r = 120 代入 (5) 得x = r = × 120 = 320，即大勾為 320步。《測圓海鏡》不作以上運算，其法為先
算出勾圓差，今設勾圓差 = x – 2r = u，即：x – 2r = u = xx = 4u -----------------
------------- (6)將 (6) 代入 y – x = 40 得 y – u = 40y = 200 + 5u ---
------------------- (7)從 (1) 及 (2) 得 y = x = 2ry = x8y = 15x ----
---------------------- (8)將 (6) 及 (7) 代入 (8) 得 8(200 + 5u) = 15 ×
4u2(200 + 5u) = 15u400 + 10u = 15u80 + 2u = 3uu = 80，即勾圓差為 80 步。
從 (6) x = 4u 得 x = 4 × 80 = 320，即大勾為320步。從 (7) y = 200 + 5u 得 y
= 200 + 5 × 80 = 200 + 400 = 600，即大股為600步。依勾股定理可算出大弦為680，圓直徑為 60
0 + 320 – 680 = 240。法曰：二之少步實，即 2 × 40 = 80 為被除數。筆者注：原文疑缺一“為”字，即應“
二之少步為實”﹝見以下原文﹞。以股子母﹝與股相關之分子與分母﹞相減數，5 – 3 = 2，勾子母﹝與勾相關之分子與分母﹞相減數，4
– 1 = 3，以股子母相減數，減勾子母﹝與勾相關之分子與分母﹞相減數，即 3 – 2 = 1為法，即為除數。兩數相除得80 ÷
1 = 80，得小差。《測圓海鏡》曰“如法，得小差。”《測圓海鏡》草曰：立天元一u為勾圓差。便為勾母，每分數以天元加四十步得u
+ 40為股母，每分數于上，乃以股子減股母，即5 – 3 = 2，餘二分，以乘上位得 2(u + 40) = 2u + 80 為城
徑，寄左。再置天元在地，以勾子減勾母，即4 – 1 = 3，餘三分，以乗之得 3u 為同數，與左相消得下2u + 80 = 3uu
= 80，即勾圓差為 80 步。《測圓海鏡》曰“上法下實得八十步，即勾圓差也。合問。”《測圓海鏡》之列式以上數為法﹝1﹞為除數，
以下數為實﹝80﹞為被除數。﹝第十三題﹞或問：甲出南門直行，乙出東門直行，望見甲，斜行與甲相?。甲云：“我行不及股圓差二十四分之十
五。”乙云：“我行不及勾圓差五分之四。”又云甲行多于乙行一百一十九。股圓差多于勾圓差二百八十。問答同前。解：題意指甲出南門P直行至
S，乙出東門A直行至R，望見甲，斜行RS與甲相?。甲云：“我行步數加股圓差二十四分之十五等於股圓差BQ。”乙云：“我行步數加勾圓差
五分之四等於勾圓差CM。”又甲行多于乙行119步，即SP與AR之差為119步。又股圓差BQ多于勾圓差CM 280。求圓直徑。設CM
= 勾圓差 = x，BQ = 股圓差 = y，圓徑 = d = 2r。又設甲南行PS = p，乙東行AR = q，B 南SLHP
東QQ坤RF 西AO CM 北E乾D 已知以下兩式：p – q = 119 ---------------------------
-- (1)y – x = 280 ----------------------------- (2)依題意可列出以下方程式：q
+ x = x，即 q = x ------------------ (3)p + y = y，即 p = y ---------
-------- (4) ﹝為配合《測圓海鏡》算法，不約簡﹞從 (4) 可得 y = ----------------- (5)
從 (3) 可得 x = 5q ------------------- (6)將 (5) 與 (6) 代入 (2) 得 – 5q
= 28024p – 45q = 2520 ------------------------ (7)從 (1) 可得 p = q
+ 119 -------------- (8)代 (8) 入 (7) 得 24(q + 119) – 45q = 252024
q + 2856 – 45q = 252024q + 2856 = 45q + 252021q = 336q = 16。即乙東行A
R 為16步。又可知 p = 119 + q = 119 + 16 = 135。即甲南行PS 之長。x = 5q = 5 × 16
= 80。即勾圓差為 80 步。y = = = 360。即股圓差為 360 步。以下為算圓半徑之法：ΔSRO 與 ΔBCD相
似，所以對應邊成比例，即： = 即： = = 5400 + 135r + 40r + r2 = 2880 + 16r + 18
0r + r25400 + 175r = 2880 + 196r21r = 2520r = 120，是為圓半徑，即得圓直徑為 24
0。法曰：以大差母分二十四以乘甲多一百一十九，得數 2856，倍小差母五得一十，2 × 5 = 10，以乘之于上，以小差母五乗，二
之二差相較數，又九之，減上位為實。倍小差母得一十，卻以小差乗之，又九之于上，倍甲分母，以小差母乗之，得數減上位以為法，得小差一分之
數。筆者按：以上之“法”簡單，宜參閱以下之“草”。“小差”即“勾圓差”，共5分。草曰：立天元一q為小差一分之數﹝此一分之數便是乙直
行之數﹞，也以五之得5q為小差，加二百八十得下 5q + 280 為大差，又(十)倍之得 10(5q + 280) = 50q +
2800，以小差乗之得下式 q(50q + 2800) = 50q2 + 2800q 為一个圓徑冪，又九之得450q2 + 25
200q﹝寄左﹞。筆者按：“又倍之得…”缺一“十”字，應為“又十倍之得…”。《測圓海鏡》將式乘以10，又乘以天元得q(50q +
2800) = 50q2 + 2800q ，目的乃令此式成為一个圓徑冪﹝即圓徑之平方﹞。乃又置乙行步加一百一十九q + 119即甲
行步也，以二十四之得24q + 2856為九个大差也。倍小差母得10q以乘之得 240q2 + 28560q為同數，與左相消得：4
50q2 + 25200q = 240q2 + 28560q45q + 2520 = 24q + 285621q = 336q =
16。即乙東行AR 為16步。《測圓海鏡》曰：“上法下實，得一十六步，即小差，一分之數也。既得此數，餘各如法求之。合問。”又“小
差”共5分，即全數共80步。筆者按：筆者所用之《測圓海鏡》版本篇幅安排錯誤，今依題意之連貫改正，見下圖《測圓海鏡》原文：﹝第十四題
﹞或問：大勾、大股、大弦三事和一千六百步，以明勾除大股得八步三分之一，以股除大勾得一十步三分之二，以虛勾明勾相減餘二十四步，以虛股
股相減，餘六十步，問答同前。解：注意以下名稱及勾、股及弦之長﹝用作參考及核實邊長用﹞：月之山為太虛弦，月之水為股，水之山為勾。日之
月為明弦，日之南為股，南之月為勾。山之川為叀弦，山之東為股，東之川為勾。編號Δ名稱弦名稱弦長ci股名稱股長bi勾名稱勾長ai1通天
地680天乾600地乾32013太虛月山102月水90水山4814明日月153日南135南月7215叀山川34山東30東川16太虛
勾股形HKJ，明勾股形SHP，勾股形KRA﹝以上方格內數字與本題有關﹞，以下為本題之相關圖：BS ↑巽UHPQ坤LKzO 半徑
= rRF圓徑 = dAJC艮ME←D乾“三事和”乃指三邊之和。今設大勾CD為x，大股BD為y，大弦BC為z，明勾 HP為u，股K
A為v，虛勾KJ為p，虛股HJ為q，依題意可列出以下方程式：x + y + z = 1600 ---------------- (
1) = 8，y = --------------- (2) = 10，x = ---------------(3)u – p
= 24 -------------------------(4)q – v = 60 --------------------
---- (5)(5) – (4) 得p + q – (u + v) = 60 – 24 = 36(4) + (5) 得 u –
p + q – v = 24 + 60 = 84但因 u – v = q – p﹝見後文之証明﹞，此關係乃重要之導出條件，有此條件
方可列出較簡單之方程式。所以從 (4) + (5) 可知 u – v = (24 + 60) = × 84 = 42u = v
+ 42 -------------------------------- (6)將 (6) 代入 (2) 得 x = ---
(7)從 (1) 得 1600 – x – y = z ------------ (8)依勾股定理得 x2 + y2 = z2，將
(3)、(7) 式代入 (8) 式得：[]2 + []2 = [1600 – – ]2為化簡運算今設 = A 及 = B，
上式可寫成：A2 + B2 = [1600 – A – B]2A2 + B2 = 2560000 + A2 + B2 – 3200
A – 3200B + 2AB2560000 – 3200A – 3200B + 2AB = 01280000 – 1600A –
1600B + AB = 0將 A 和 B 之值代入得：1280000 – 1600[] – 1600[] + [][] = 0
11520000 – 120000(v + 42) – 4800(32v) + 800v(v + 42) = 014400 – 1
50(v + 42) – 6(32v) + v(v + 42) = 014400 – 150v – 6300 – 192v + v
2 + 42v = 0v2 – 300v + 8100 =0(v – 30)(v – 270) = 0取 v – 30，即股KA為
30 步。從 (6) 得 u = v + 42 = 30 + 42 = 72從 (5) 得q – v = 60，q = 60 +
30 = 90從 (4) 得u – p = 24，72 – p = 24p = 72 – 24 = 48從 (2) 得大股 y =
= = 600。從 (3) 得大勾 x = = = 320。從 (1) 得大弦 z = 1600 – 600 – 320
= 680。圓徑 = 600 + 300 – 680 = 240。法曰：六十步加入大三事和，又三之，二而一為實，(60 + 16
00) = 2490。併二云數分母分子內減六步為法，即24 + 60 + 2 + 3 – 6 = 84 – 1 = 83 如法得股
，即 2490 ÷ 83 = 30。﹝筆者注：以上之“法”欠清晰，數字可能屬湊合。﹞草曰：別得六十步與二十四步二數相併而半之得42
，即明勾股差也，又為虛勾虛股差也。若以二數直相減即虛黃方也，其二十四步得二虛勾，即半徑也，其六十步得二股，亦為半徑也。立天元一v為
股，加差步得 v + 42為明勾也，以乗八步三分之一得 為大股也。以天元v乗一十步三分之二得 為大勾也。勾股相併得下 + =
= = 19v + 350為大和﹝即大勾與大股之和﹞也，寄左。然後四之天元加入二之六十步得4v + 120 為小三事和，以小
三事和加入大三事和得4v + 120 + 1600 = 4v + 1720為二个大和也，合折半為大和了。﹝又就三分之為前數，今不折
半三因但身外加五得﹞2v + 860 為同數，與左相消得，19v + 350 = 2v + 86017v = 510v = 30。
《測圓海鏡》曰：“上法下實得三十步，即股也。四之股加入二之六十步得二百四十步，即城徑也。合問。”即 4 × 30 + 2 × 60
= 240。筆者注：証明一：証明“小三事和”= 圓城直徑“小三事和”乃指太虛勾股形三邊之和，其和為 240 步，此亦為圓城之直徑
，証明如下：通勾股形之勾﹝大勾﹞、股﹝大股﹞及弦﹝大弦﹞以a1、b1及c1 表示。已知月之山為太虛弦，月之水為股，水之山為勾。太虛
弦﹝月山﹞：c13 = (c1 – a1)(c1 – b1)，太虛股﹝月水﹞：b13 = = (c1 – a1)(c1 – b1
)，太虛勾﹝水山﹞：a13 = (c1 – a1)(c1 – b1)。三事和：(c1 – a1)(c1 – b1) + (c1 –
a1)(c1 – b1) + (c1 – a1)(c1 – b1)= (c1 – a1)(c1 – b1)= (c12 – a1
c1 – b1c1 + a1b1)= (2c12 – 2a1c1 – 2b1c1 + 2a1b1)= (a12 + b12 + c
12– 2a1c1 – 2b1c1 + 2a1b1)= (a1 + b1 – c1)2= (a1 + b1 – c1)= (a1
+ b1 – c1)= a1 + b1 – c1= d = 圓直徑。証明二：証明小三事和加大三事和 = 2(大勾 + 大股)從証明
二可知小三事和等於圓直徑 = a1 + b1 – c1，小三事和加大三事和 = a1 + b1 – c1 + a1 + b1 +
c1= 2(a1 + b1)= 雙倍大和﹝証畢﹞。另証法：注意大弦 = 大勾半圓徑差 + 大勾半圓徑差 = a1 – + b1
– 小三事和加大三事和 = d + a1 + b1 + c1= d + a1 + b1 + a1 – + b1 – = 2(a1
+ b1)= 雙倍大和﹝証畢﹞。証明三：証明勾股差 = 虛勾虛股差，即証明u – v = q – p。明勾﹝南月﹞：a14 =
(c1 – a1)(– c1 + b1 + a1)。叀股﹝山東﹞：b15 = = (c1 – b1)(– c1 + b1 + a
1) ，太虛股﹝月水﹞：b13 = = (c1 – a1)(c1 – b1) ，太虛勾﹝水山﹞：a13 = (c1 – a1)(
c1 – b1)。明勾股差= (c1 – a1)(– c1 + b1 + a1) – (c1 – b1)(– c1 + b1 +
a1)= (– c1 + b1 + a1)[(c1 – a1) – (c1 – b1)]= (– c1 + b1 + a1)[(c1 – a1) – (c1 – b1)]= (– c1 + b1 + a1)(a1c1 – a12 – b1c1 + b12)= (– c1 + b1 + a1)[(b1 – a1)(b1 + a1) – c1(b1 – a1)]= (– c1 + b1 + a1)2(b1 – a1)= (a12 + b12 + c12– 2a1c1 – 2b1c1 + 2a1b1)(b1 – a1)= (2c12– 2a1c1 – 2b1c1 + 2a1b1)(b1 – a1)= (c12– a1c1 – b1c1 + a1b1)(b1 – a1)= (b1 – a1)(c1 – a1)(c1 – b1)。虛勾虛股差= (c1 – a1)(c1 – b1) – (c1 – a1)(c1 – b1)= (c1 – a1)(c1 – b1)[ – ]= (b1 – a1)(c1 – a1)(c1 – b1)。比較兩結果，所以明勾股差 = 虛勾虛股差，即u – v = q – p。-1- |
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