《測圓海鏡》之雜糅一十八問之五上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：以下諸
題源自《測圓海鏡?卷十一》，所問者皆與“圓城圖式”有關，主要涉及勾股形之三邊成內接圓之切線，而求圓徑之問題。本文之問則涉及“雜糅”
之問，“雜糅”乃指雜題也。本文尚涉及新形成之三邊為整數之勾股形。三邊為整數之勾股形值得重視。關鍵詞： 皇極 三事和 弦和較以下之問
取材自《測圓海鏡?卷十一》涉及“雜糅”，“雜糅”乃指條件混雜之題也。以下為圓城之一般圖式：青水心朱筆者已有多篇文章談及已知“圓城圖
式”中之兩條件而求圓徑之題。本文涉及之最大直角三角形為天地乾，天地乾乃最大之勾股形，名為“通”，其弦名為“大弦”或“大斜”(z)，
其股名為“大股”(y)，其勾名為“大勾”(x)。以下各題之圖有紅線者乃已知長或有條件之長。 “十八問”指有十八條問題。所有單位為“
步”。筆者已有文名為〈《測圓海鏡》之雜糅一十八問之一、之二、之三及之四〉，本文乃以上四文之延續。﹝第十四題﹞或問：皇極三事和六百八
十步，太虛弦和較三十六。問答同前。題意指皇極勾股形三邊之和為680 步，太虛弦和較指太虛勾 + 太虛股 – 太虛弦 = 36，“和
”指“勾股和”，“較”指勾股和與弦之較。求圓直徑d。解：B注意皇極弦SRSY太虛弦HK巽UHPQ坤LKzO 半徑 = rRF圓徑
= dA2r = dJCN艮ME←D乾今設圓直徑為 d，半徑 = r，d，即 d = 2r。皇極三事和﹝即皇極勾股形SRO三邊之
和﹞= SR + RO + OS = 680步。因為全等三角形關係，所以RO = RC，SO = SB，所以SR + RO + O
S = SR + RC + SB = BC = 680 = 大弦BC。通和 ﹝大直角三角形之勾股和﹞＝ BD + CD = BF
+ r + CE + r = 大弦 ＋ 2r ＝ 680 + d。若HP = u，KA = v，則太虛弦 KH = u + v，太
虛勾 KJ = r – u ，太虛股HJ = r – v 。於是太虛弦和較﹝勾 + 股 – 弦﹞ = r – u + r – v
– u – v = 362r – 2(u + v) = 362(u + v) = d – 36太虛弦 HK = u + v =
– 18 。又可知太虛勾 + 太虛股 = KJ + HJ = r – u + r – v = d – ( – 18) = + 1
8。以下為筆者之算法：ΔBCD 與ΔHKJ相似，所以對應邊或對應邊之和成比例，即： = 即： = ﹝代入以上之式或數字﹞340d
+ 12240 = 340d – 12240 + – 18d24480 = – 18dd2 – 36d – 48960 =
0，分解因式得：(d – 240)(d + 204) = 0。取 d = 240 為圓直徑。法曰：二數相得為實，680 × 36
= 24480，此即為方程式常數。“相得”即相乘。半之後數為益從， = 18，此即為方程式含d項之係數。五分常法，0.5即為方程式
含d 2項之係數。故所得之方程式為：0.5d2 – 18d – 24480 = 0d2 – 36d – 48960 = 0，分解因
式得：(d – 240)(d + 204) = 0。取 d = 240，即城徑為 240 步。上式與筆者所得相同。草曰：別得皇極三
事和即大弦也。立天元一d為城徑，減三个後數 d – 3 × 36 = d – 108 而半之得 – 54為太虛大小差併也。卻加入
兩个後數72，得下 – 54 + 72 = + 18 為虛和也。又以虛和減天元得下d – ( + 18) = – 18 為虛
弦也。置通弦即皇極三事和也，內加天元得下式 680 + d 即通和也。乃置通和以虛弦乘之得下式，(680 + d)( – 18)
= 340d – 12240 + – 18d = 322d – 12240 + 寄左。再置虛和以通弦乘之得下680( + 18
) 為同數，與左相消得322d – 12240 + = 340d + 12240–18d – 24480 + = 0d2 –
36d – 48960 = 0，分解因式得：(d – 240)(d + 204) = 0。取 d = 240 為圓直徑。《測圓海鏡
》曰“開平方得二百四十步，即城徑也。合問。”上式與筆者所得相同。﹝第十五題﹞或問：出南門行一百三十五步有樹，出北門行一十五步折而東
行二百八步望見。問答同前。解：題意指出南門P行 135 步至S有樹，又出北門E行 15步至G，再折而東行即轉右行208步至Z望見S
之樹。求圓半徑。B南樹SLHP東KQQ坤RF 西AO ECGZM 北乾D 今設圓半徑為r。注意勾股形SZG﹝三邊亦為整數﹞。從圖可
知：SG = 135 + 15 + 2r，GZ = 208，今先求SC弦之長。因為ΔSOL與ΔSZG相似，所以對應邊成比例，即：
= 即 = SZ = 。依勾股定理得 SG2 + GZ2 = SZ2，即：(135 + 15 + 2r)2 + 2082 =
()2(150 + 2r)2 + 2082 = ()2(75 + r)2 + 10816 = r4 + 150r3 + 5625
r2 + 10816r2 = 197121600 + 2920320r + 10816r2r4 + 150r3 + 5625r2
– 2920320r – 197121600 = 0，分解因式得：(r – 120)(r3 + 270r2 + 38025r +
1642680) = 0取 r = 120 為圓半徑。法曰：以東行步乘南行步，即 208 × 135 = 28080，得數又自乘為
實，即280802 = 788486400，此即為方程式之常數。以東行步自乘，乘南行步，又倍之為從，即2082 × 135 × 2
= 11681280，此即為方程式含r項之係數。東行步自乘于上，即2082 = 43264併南北二行步，即15 + 135 =
150以減于東行步，即208 – 150 = 58，餘數自之為冪，即582 = 3364以減上再寄位，即43264 – 3364
= 39900又併南北二行步以東行步乘而倍之，即2 × (15 + 135) × 208 = 62400，內減再寄為第一益亷，即6
2400 – 39900 = 22500，此即為方程式含r2項之係數。四之東行步于上，即4 × 208 = 832，又併南北二行步
減于東行步即208 – 150 = 58，又四之減上位為第二益亷，即832 – 4 × 58 = 600，此即為方程式含r3項之係
數。四步虛隅，4即為方程式含r4項之係數。故所得之方程式為：4r4 + 600r3 + 22500r2 – 11681280r –
788486400 = 0約簡得r4 + 150r3 + 5625r2 – 2920320r – 197121600 = 0，分
解因式得：(r – 120)(r3 + 270r2 + 38025r + 1642680) = 0。取 r = 120 為圓半徑。
《測圓海鏡》曰“開三乘方得半徑。”此處之“開三乘方”即解一元四次方程式。草曰：立天元一r為半徑﹝即髙勾也﹞。置南行步加天元得 r
+ 135為髙弦也，置大勾208以髙弦乘之得 208(r + 135) = 208r + 28080，復以髙勾除之得下式 (208
r + 28080)/r 為大弦也，令之自乘得 (43264r2 + 11681280r + 788486400)/r2，寄左。又
置二之天元加南北行併得2r + (135 + 15) = 2r + 150為大股SG，復用大勾二百八ZG減之得2r + 150 –
208 = 2r – 58 為較﹝大股與大勾之差﹞也，以自乘得：4r2 – 232r + 3364 為較冪，以減寄左得(4326
4r2 + 11681280r + 788486400 – 4r4 + 232r3 – 3364r2) /r2= (– 4r4 +
232r3 + 39900r2 + 11681280r + 788486400) /r2 為二直積，寄左。再置大股2r + 15
0以大勾208乘之得416r + 31200為直積，又倍之得832r + 62400為同數，與左相消得(– 4r4 + 232r3
+ 39900r2 + 11681280r + 788486400) /r2 = 832r + 62400– 4r4 + 232
r3 + 39900r2 + 11681280r + 788486400 = 832r3+ 62400r24r4 + 600r3
+ 22500r2 – 11681280r – 788486400 = 0以4約簡得：r4 + 150r3 + 5625r2 –
2920320r – 197121600 = 0，分解因式得：(r – 120)(r3 + 270r2 + 38025r + 16
42680) = 0。取 r = 120 為圓半徑。《測圓海鏡》曰“翻法開三乘方得一百二十步，即城徑之半也。合問。”上式與筆者所得相同。注意本題涉及一擴張勾股形SZG及一小勾股形CZW，注意勾股形SZG與CZW三邊亦為整數。SCE乃為底勾股形。SCZWGE注意下表及各邊之長：Δ名稱弦名稱弦長股名稱股長勾名稱勾長SCE日地SC425日北SE375北地EC200SZGSZ442SG390GZ208CZWCZ17CW15ZW8以下為《測圓海鏡》原文：-1- |
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