《御製數理精蘊》之借根方比例之(1)上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：
“借根方比例?體類”其實是涉及正立方或長立方體積之方程式及比例，大部分問題均屬淺易，容易明白。關鍵詞：借根 扁方體 降二位本文數學
題取材自《御製數理精藴?下編?卷三十六?末部六》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“借根方比例?體類”。“借根”之意乃為“設XX為x”，
因為x之解稱為“根”，所以稱預設之未知數為“借根”，即天元術之“天元”。“體類”指立體圖形之類。“借根方比例?體類”之“方”字應指
“正方形”，分題應指涉及體積之方程式及比例，大部分問題均屬淺易，相當於現代數學科之初中程度，各題均容易明白，故本文宜作數學史閱讀。
注意《數理精藴》尚未有“平方尺”及“立方尺”之單位，故筆者在有需時作出更正。〈第一題〉設如有扁方體髙十八尺，若將體積加六倍，則髙與
長闊皆相等。問：長、闊之各一邊及體積幾何？解：扁方體指扁立方體，其底為正方形，正方形一邊之長比高大。今設其底之長與闊皆為x 尺，高
18尺，所以扁立方體體積為18x2立方尺，“加六倍”即增加成六倍，即6 × 18x2 立方尺 = 108x2立方尺，體積增加後即成
一正立方體，即三邊皆為x尺﹝見下頁之圖﹞，即：108x2立方尺 = x3立方尺x = 108。即正立方體三邊皆長108尺，體積為1
083立方尺，即1259712立方尺。x法：x借一根為長闊之各一邊數，即設底正方形之長與闊皆為x 尺，此即為“天元術”之“天元”，
《數理精藴》則稱之為“根”。以一根x自乘得一平方x2為扁方體之面積，即以 x2 平方尺為底正方形之面積。再以髙十八尺乘之得十八平方
為扁方體之體積，即18x2 立方尺。又以一根與一平方相乘得一立方為扁方體積之六倍，即 x2 × x = x3 乃為扁立方體積之6倍
。乃以扁方體之體積十八平方六因之得一百零八平方，即 6 × 18x2 = 108x2立方尺。是為一立方與一百零八平方相等，即108
x2 = x3。兩邊各降二位，得一根與一百零八尺相等，即 x = 108。“降二位”指左右方約去x2。卽扁方體之長闊各一邊數也，即
扁方體之長闊各為108尺。細草：以一百零八尺自乘得一萬一千六百六十四﹝平方﹞尺 (即1082 = 11664) ，再以十八尺乘之得
二十萬零九千九百五十二﹝立方﹞尺 (即18 × 11664 = 209952) 為扁方體積，六因之得一百二十五萬九千七百一十二﹝立
方﹞尺 (即6 × 209952 = 1259712) ，與毎邊一百零八尺自乘再乘之立方積相等 (即1083 = 1259712)
，此“扁方體邊線比例法也”。葢兩體之底面積旣同，則其體積之比例同於其髙之比例。今扁方體之長闊各一邊旣與正方體之毎一邊等，而正方體積
為扁方體積之六倍，則其髙亦必為六倍，故以扁方體之髙數六因之，卽得長闊之各一邊數也。本題之要點乃為以下定理：若兩立體體積之底面積相同
，則其體積之比例等於其髙之比例。設有兩立體V1 及 V2，其高分別為h1 及 h2，底面積同為A，即V1 = h1A 及 V2 =
h2A，所以 = = 。本題兩立體V1 及 V2之比為 = = ，即兩立體高之比。以上定理成立。〈第二題〉設如有一長方體髙
三尺五寸，又有一正方體其每一面積與長方體之底面積等，而長方體積為正方體積之五倍。問：正方體之一邊及體積各幾何？解：長方體即長立方體
，正方體即正立方體。今設其底之長與闊皆為x 寸，故底面積為x2方寸，正立方體體積為x3立方寸，長方體體積為35x2立方寸，依題意可
知下式成立：35x2 = 5x3x = 7。卽正方體之毎一邊之長為0.7尺即7寸。法：借一根x為正方體毎邊之數。以一根自乘得一平方
x2為正方體之面積，亦卽長方體之底面積，以一平方與髙三十五寸相乘得三十五平方，即 35x2 立方寸，為長方體之體積。又以一根自乘再
乘得一立方為正方體之體積x3立方寸，長方體積旣為正方體之五倍，乃以一立方五因之得五立方而與三十五平方為相等兩邊，得：35x2 =
5x3各降二位﹝即兩邊約去x2﹞得五根與三十五寸相等，得5x = 35。五根旣與三十五寸相等，則一根必與七寸相等，即x = 7 ，
卽正方體之毎一邊之數也。即正立方體之毎一邊之長為7寸。細草：以七寸自乘再乘得三百四十三寸，即 73 = 343﹝立方寸﹞卽正立方體
之體積。又以七寸自乘得四十九寸再以三十五寸乘之得一千七百一十五﹝立方﹞寸，即72 × 35 = 1715，又 343 × 5 =
1715，卽長方體之體積為正方體積之五倍。此一長方體一正方體同底比例法也，葢兩體之底面積旣同，則其體積之比例同於其髙之比例。今正方
體之每一面積旣與長方體之底面積等，而長方體積為正方體積之五倍，則其髙亦必為五倍，故長方體之髙之五分之一，卽正方體之毎一邊之數也。本
題兩立體V1 及 V2之比為 = = ，即兩立體高之比。〈第三題〉設如有一正方面形，又有一正方體形，但知正方面毎邊為正方體毎邊之
八倍，而正方面積與正方體積相等。問：邊線積數各若干？解：正方面形即正方形。正方體形，指正立方體。設正立方體毎邊之長為 x 尺，其體
積為x3立方尺，正方面毎邊長8x尺，面積為64x2方尺，依題意可知：x3 = 64x2﹝數目相等，不涉及單位﹞x = 64。卽正立
方體毎邊之尺數。法：借一根x為正方體毎邊之數，則正方面毎邊之數為八根，即 8x。以一根自乘再乘得一立方為正方體積，即x3 。以八根
自乘得六十四平方為正方面積，即64x2 。是為一立方與六十四平方相等，即 x3 = 64x2兩邊各降二位，即左右方約去 x2，得一
根與六十四尺相等，即x = 64，卽正方體毎邊之數。八因之得五百一十二尺，即 8 × 64 = 512，卽正方面毎邊之數，以五百一
十二尺自乘得二十六萬二千一百四十四﹝平方﹞尺為正方面積，即 5122 = 262144﹝平方尺﹞。以六十四尺自乘再乘亦得二十六萬二
千一百四十四尺為正方體積，即 643 = 262144﹝立方尺﹞。兩數相等也，此一平方一立方邊數積數比例法。注意等式之單位不相同。
〈第四題〉設如有帶兩縱不同立方體，其髙與闊之比例同於四與六，闊與長之比例同於六與九，其髙與闊相乘之數為長數之四倍。問：髙、闊、長各
幾何？“帶兩縱不同立方體”指一長立方體，其長、髙、闊皆不相同。依題意可列出以下三條方程式： = ----------------
----------- (1) = --------------------------- (2)髙 × 闊 = 4長 ----
----------- (3)今設高為 4x，代入 (1) 得闊 = 6x，代入 (2) 得長 = 9x，將髙與闊代入 (3) 得
4x × 6x = 4 × 9x24x2 = 36x24x = 36x = = 。即可得高為 4 × = 6﹝尺﹞。闊 = 6
× = 9﹝尺﹞。長 = 9 × = 13.5﹝尺﹞。法：借四根4x為髙數，六根6x為闊數，九根 9x為長數。以髙四根與闊六
根相乘得二十四平方24x2為長數之四倍，乃以長數九根四因之，4 × 9x得三十六根36x，是為二十四平方與三十六根相等，即：24x
2 = 36x兩邊各降一位，即 24x = 36得二十四根與三十六尺相等，即24x = 36，二十四根旣與三十六尺相等，即：x =
= = 1.5﹝尺﹞。則四根必與六尺相等，4x = 6；卽髙數六根必與九尺相等，6x = 9；卽闊數九根必與一十三尺五寸相等
，即 9x = = = 1.5﹝尺﹞。卽長數。以髙六尺與闊九尺相乘得五十四尺，四歸之得一十三尺五寸，即 6 × 9 ÷ 4 =
13.5﹝尺﹞；與長數相等，也此帶兩縱不同立方邊線面積比例法。〈第五題〉設如有帶兩縱不同立方體長二十四尺，髙與闊和五十二尺，其髙
與闊相乘之積與長自乘之積等。問：髙闊各若干？解：今設高為 x，闊必為 52 – x ，依題意可列出以下方程式：x(52 – x)
= 24252x – x2 = 576x2 – 52x + 576 = 0，分解因式得：(x – 16)(x – 36) = 0。
取x = 16，即高為 16 尺。闊為 52 – 16 = 32﹝尺﹞。法：借一根為髙數，即x，則闊數為五十二尺少一根，即 52
– x。以髙一根與闊五十二尺少一根相乘得五十二根少一平方，即 x(52 – x) = 52x – x2。又以長二十四尺自乘得五百七
十六尺，即 242 = 576，此二數為相等。即：52x – x2 = 576乃以五百七十六尺 (576) 為長方積，以五十二根
(52x) 作五十二尺為長闊和，用帶縱和數開平方法算之，得闊十六尺為一根之數，卽立方之髙數。將上式移項及分解因式得： (x – 1
6)(x – 36) = 0，與髙闊和五十二尺相減，餘三十六尺，卽立方之闊數，即 52 – 16 = 36。以髙十六尺與闊三十六尺
相乘得五百七十六尺與長二十四尺自乘之數相等也，即 16 × 36 = 576，又 242 = 576，兩結果相等。以上為驗算。此帶
兩縱不同立方邊線與面積比例法，〈第六題〉設如有帶兩縱不同立方體髙十二寸，長比闊多十寸，其長與闊相乘之積與髙自乘之積等。問：長、闊各
若干？解：今設闊為 x，其長必為 10 + x ，依題意可列出以下方程式：x(10 + x) = 12210x + x2 = 14
4x2 + 10x – 144 = 0，分解因式得：(x – 8)(x + 18) = 0。取x = 8，即闊為 8 寸。法：借一
根x為闊數，則長數為一根多十寸，即 x + 10。以闊一根與長一根多十寸相乘得一平方多十根，x(10 + x) = 10x + x
2。以髙十二寸自乘得一百四十四寸，122 = 144﹝方寸﹞，此二數為相等，乃以一百四十四寸為長方積，以十根作十寸為長闊較，用帶縱
較數開平方法算之，得闊八寸為一根之數，卽立方之闊數。10x + x2 = 144x2 + 10x – 144 = 0，分解因式得：
(x – 8)(x + 18) = 0。取x = 8，即闊為 8 寸。加長比闊多十寸得十八寸，卽 8 + 10 = 18﹝寸﹞。立
方之長數以闊八寸與長十八寸相乘得一百四十四寸，即 8 × 18 = 144﹝方寸﹞。與髙十二寸自乘之數相等，即 122 = 144
﹝方寸﹞。也此帶兩縱不同立方邊較與面積比例法。〈第七題〉設如有帶兩縱不同立方體，長比闊多四寸，闊比髙多二寸，其體積比髙自乘再乘之正
方體多一百七十六寸。問：長、闊、髙各幾何？解：今設高為 x，其闊必為 2 + x，其長為 4 + 2 + x = 6 + x，依題
意可列出以下方程式：x(2 + x)(6 + x) – x3 = 176x3 + 8x2 + 12x – x3 = 1768x2
+ 12x – 176 = 02x2 + 3x – 44 = 0，分解因式得：(x – 4)(2x + 11) = 0。取x =
4，即高為 4 寸。所以其闊為 2 + x = 6﹝寸﹞，其長為 6 + x = 8﹝寸﹞。法：借一根x為髙數，則闊數為一根多二寸
，即2 + x﹝寸﹞，長數為一根多六寸，即 6 + x﹝寸﹞，以髙一根與闊一根多二寸相乘，x(2 + x) = 2x + x2得一
平方多二根，再以長一根多六寸乘之得一立方多八平方多十二根 (2x + x2)(6 + x) = x3 + 8x2 + 12x，內減
髙數一根自乘再乘之一立方，餘八平方多十二根與一百七十六寸相等，八平方多十二根旣與一百七十六寸相等，即8x2 + 12x = 176
，則一平方多一根半，必與二十二寸相等，即：將上式以8約得 x2 + 1.5x – 22 = 0，分解因式得：(x – 4)(x +
5.5) = 0取x = 4，即高為 4 寸。乃以二十二寸為長方積，以一根半作一寸五分為長闊較﹝即多項式x2 + 1.5x –
22﹞，用帶縱較數開平方法算之得闊四寸為一根之數，卽立方之髙數﹝見上式﹞。加闊比髙多二寸得六寸，卽立方之闊數，再加長比闊多四寸得十
寸，卽立方之長數。以長闊相乘以髙再乘得二百四十寸為立方體積，即 4 × 6 × 10 = 240。內減髙四寸自乘再乘之六十四寸，即
43 = 64，240 – 64 = 176，餘一百七十六寸，以合原數也。此帶兩縱不同立方邊較與積較比例法。〈第八題〉設如一長方池
深二十尺，長闊和六十尺，其體積一萬七千二百八十尺。問：長、闊各若干？解：今設闊為 x，其長必為 60 – x，依題意可得：20 ×
x(60 – x) = 1728060x – x2 = 864x2 – 60x + 864 = 0，分解因式得：(x – 24)
(x – 36) = 0。取x = 24 為闊，即其闊為 24 尺。其長必為 60 – x = 60 – 24 = 36﹝尺﹞。法
：借一根x為闊數，則長數為六十尺少一根，即 60 – x，以闊一根與長六十尺少一根相乘得六十根少一平方，即x(60 – x) =
60x – x2，以深二十尺再乘得一千二百根少二十平方，即 20(60x – x2) = 1200x – 20x2與一萬七千二百八
十尺相等。1200x – 20x2 = 17280一千二百根少二十平方旣與一萬七千二百八十尺相等，則六十根少一平方必與八百六十四尺
相等。即將上式以20約得 60x – x2 = 864。乃以八百六十四尺為長方積，以六十根作六十尺為長闊和，用帶縱和數開平方法算之
。即 x2 – 60x + 864 = 0(x – 24)(x – 36) = 0。取x = 24 為闊，即其闊為 24 尺。得闊
二十四尺為一根之數，卽池之闊數，與長闊和六十尺相減，餘三十六尺，卽池之長數。以長闊相乘，以深再乘得一萬七千二百八十尺，以合原數也。
即 24 × 36 × 20 = 17280。以上為驗算之數。此帶兩縱不同立方知一邊與兩邊和相求法。〈第九題〉設如一長方池深三十尺
，長比闊多十尺，其體積七萬一千二百八十尺。問：長、闊各若干？解：今設闊為 x，其長必為 10 + x，依題意可得：30 × x(1
0 + x) = 7128010x + x2 = 2376x2 + 10x – 2376 = 0，分解因式得：(x – 44)(x
+ 54) = 0。取x = 44 為闊，即其闊為 44 尺。其長必為 10 + 44 = 54﹝尺﹞。法：借一根x為闊數，則長
數為一根多十尺，即10 + x，以闊一根與長一根多十尺相乘，即x(10 + x) = 10x + x2 得一平方多十根，再以深三十
尺乘之，30(10x + x2) = 30x2 + 300x，得三十平方多三百根，與七萬一千二百八十尺相等，即 30x2 + 30
0x = 71280三十平方多三百根旣與七萬一千二百八十尺相等，則一平方多十根必與二千三百七十六尺相等。即將上式以30約得10x
+ x2 = 2376x2 + 10x – 2376 = 0，分解因式得：(x – 44)(x + 54) = 0。取x = 44
為闊，即其闊為 44 尺。池之長數為44 + 10 = 54﹝尺﹞。乃以二千三百七十六尺為長方積，以十根作十尺為長闊較，用帶縱較
數開平方法算之，得闊四十四尺為一根之數，卽池之闊數加長比闊多十尺，得五十四尺卽池之長數也。以長闊相乘以深再乘得七萬一千二百八十尺，
以合原數也。即 44 × 54 × 30 = 71280。以上為驗算之數。此帶兩縱不同立方知一邊與兩邊較相求法。〈第十題〉設如有帶
兩縱不同立方體，長闊髙共五十八尺，長比闊多六尺，其對角斜線自乘之數為一千一百五十六尺。問：長、闊、髙各幾何？解：今設闊為 x，其長
為 x + 6，其高必為58 – x – x – 6 = 52 – 2x，對角斜線平方為 1156﹝見第12頁之圖﹞。依題意可得以
下方程式：x2 + (x + 6)2 + (52 – 2x)2 = 1156x2 + x2 + 12x + 36 + 4x2 +
2704 – 208x = 11566x2 + 2740 – 196x = 11566x2 – 196x + 1584 = 03x
2 – 98x + 792 = 0，分解因式得：(x – 18)(3x – 44) = 0。取x = 18 為闊，即其闊為 18
尺。其長為 x + 6 = 24﹝尺﹞，其高為 52 – 2x = 52 – 36 = 16﹝尺﹞。法：借一根x為闊數，則長數為一
根多六尺，即x + 6，以長闊兩數相加得二根多六尺，即2x + 6，與長闊髙共五十八尺相減，餘五十二尺少二根，即 58 – (2x
+ 6) = 52 – 2x。為髙數x以闊一根自乘得一平方，為闊自乘之數，即x2。以長一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺為
長自乘之數，即 (x + 6)2 = x2 + 12x + 36。以髙五十二尺少二根自乘得二千七百零四尺少二百零八根多四平方，即
(52 – 2x)2 = 4x2 + 2704 – 208x。為髙自乘之數。三自乘數相加得二千七百四十尺少一百九十六根多六平方，
即 x2 + x2 + 12x + 36 + 4x2 + 2704 – 208x = 6x2 + 2740 – 196x，與對角線
自乘之一千一百五十六尺相等，即6x2 + 2740 – 196x = 1156。兩邊各加一百九十六根得二千七百四十尺多六平方與一千
一百五十六尺多一百九十六根相等，即6x2 + 2740 = 1156 + 196x。兩邊各減一千一百五十六尺得一千五百八十四尺多六
平方與一百九十六根相等，即 6x2 + 1584 = 196x。一千五百八十四尺多六平方旣與一百九十六根相等，則二百六十四尺多一平方必與三十二根又六分根之四相等，即上式以6約得：x2 + 264 = 32x。分數不約簡以配合原文。乃以二百六十四尺為長方積，以三十二根六分根之四作三十二尺又六分尺之四為長闊和，用帶縱和數開平方法算之得長十八尺為一根之數，卽立方之闊。將上式移項得x2 – 32x + 264 = 0，分解因式得：(x – 18)(x – 14) = 0﹝注意 = ﹞。取x = 18 為闊，即其闊為 18 尺。加長比闊多六尺得二十四尺，卽立方之長，即 18 + 6 = 24﹝尺﹞。長闊相加得四十二尺，即 18 + 24 = 42﹝尺﹞。與長闊髙共五十八尺相減，餘十六尺，卽立方之髙也，即 58 – 42 = 16﹝尺﹞。以髙十六尺自乘得二百五十六尺，即 162 = 256，以闊十八尺自乘得三百二十四尺，即182 = 324，以長二十四尺自乘得五百七十六尺，即242 = 576，三自乘數相加得一千一百五十六尺，即 256 + 324 + 576 = 1156，即與對角斜線自乘之數相等也。注意以下之圖：長24闊18高16紅線為對角線。此帶兩縱不同立方邊線面積和較相求法。(1) |
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