2025 年九年级学业水平第二次模拟考试数学试题（2025.4）考试时间 120 分钟 满分 150 分第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）一
、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.?的绝对
值是（ ）A. 7 B. -7 C. D. ?2.如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和
左视图，则该几何体可能是（ ）3.中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产 28 nm 浸没式 DUV 光刻机，填补国内空白
。已知 28 nm = 0.000000028 m。将 0.000000028 用科学记数法表示为（ ）A. 28×10?7
B. 2.8×10?8 C. 2.8×10?7 D. 0.28×10?84.如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，OE⊥O
C，OF 平分∠BOE。若∠COF = 32°，则∠AOD 的度数为（ ）A. 24° B. 26° C. 28° D. 3
0°5.花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式。下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）6.实数
a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）A. a+c>a+b B. (b?a)(b?c)>
0 C. ac>ab D. c?b>c?a7.小亮和爸爸计划乘动车外出旅游。在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余
座（如图）。若此时 C 座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ）A. B. C. D.
8.若关于 x 的一元二次方程2x2?3x?m?1=0有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）A. m≥? B. m≤?
C. m≥? D. m≤?9.如图，将折线O?A1?A2?A3?A4绕点A4顺时针旋转 180° 得到一段新的折线A4?A5?
A6?A7?A8，再将新的折线绕点A8顺时针旋转 180°…… 以此类推，得到一段连续的折线。则点A2025的坐标为（ ）A
. (1265, 0) B. (,) C. (1266,) D. (,0)10.已知点A(x1,y1)，B
(x2,y2)是二次函数y=x2?bx+c的图象上任意两点，设x2?x1=t，若当?2y1，
则 t 的取值范围是（ ）A. t7 B. t8 C. t7 D
. ?t8第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分
。）11. 若二次根式有意义，则实数x 的取值范围是 。12.如图 1，在边长为 8 cm 的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部
分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如
图 2 所示。小亮由此估计阴影部分面积约为 cm2。13.如图，⊙O的内接正六边形 ABCDEF 的边长为 6，点 P 是弧CD的
中点，则弧AP的长为 。14.七巧板是中国传统数学文化的重要载体，将图 1 所示的七巧板，拼成图 2 所示的图形，则tan∠BAC
= 。15.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，点 E 为 AD 上一点，且BE=BC，作∠EBC的角平分线 BF 交边 CD
于点 F，作于点 P，分别与 AB 和 BF 交于点 G 和点 Q，若AG=AB，则 PQ 的长度为 。三、解答题（本大题共 10
个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16. （本小题满分 7 分）计算：2cos30°+()?2+∣1?
∣?(π?2025)0。17.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：(a+)÷，其中a=?4。18.（本小题满分 7 分）如图，在
菱形ABCD 中，点E，F分别在BC，CD 上，且∠AEC=∠AFC。求证：AE=AF。19.（本小题满分 8 分）为促进学生健康
成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼。为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时
间用 x 表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理。数据分成 4 组：A 组：0≤x<3；B 组：3≤x<6；C 组：6≤x<9
；D 组：9≤x<12。下面给出了部分信息：a. C 组数据：6, 6, 6, 6.2, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8,
7, 7, 7, 7.3, 7.6, 7.8, 8, 8, 8, 8.2, 8.4, 8.4, 8.5, 8.8b. 不完整的学生
每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下：请根据以上信息完成下列问题：（1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中 A 组
对应扇形的圆心角为 °；（2）请补全条形统计图；（3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是 h；（4）该校计划成立体育社团，
为每周校外锻炼时间不足 6 小时的同学提供训练指导。目前九年级共 600 名学生，计划每 15 名同学配 1 名指导教师，请估计九
年级所需指导教师的人数。20.（本小题满分 8 分）如图1，墙壁上的点 A 处装有一个壁挂式吊灯，已知支架AB 长度为40 cm，
且 AB 与墙壁 AE 所成夹角∠BAE=40°，壁灯吊杆 BC 长 30 cm，AB 与 BC 的夹角可调节。吊灯连接杆 CD
垂直于地面，CD=5cm。（1）如图 2，当∠ABC=90°时，求灯口 D 与墙壁的距离；（2）如图 3，现有一靠墙放置的学习桌
FH，FH 与地面平行，其距离地面的高度 FG 为 80 cm。为了日常使用方便，当 AB 与 BC 夹角调整至∠ABC=120°
时，灯口 D 需距离桌面 70 cm。求点 A 距离地面的高度。（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan
40°≈0.84，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）21.（本小题满分 9 分）如图，在中，
AC=BC，⊙O与边 AB，CB 分别交于点 D，G，AG 是⊙O的直径，连接 CO，DG，过点 D 作，交 BC 于点 E。（1
）求证：DE 是⊙O的切线；（2）若tan∠EDG=，AD=3，求 EG 的长。（本小题满分 10 分）22.（本小题满分10分）
23.（本小题满分10 分）直线y=x+b与双曲线y=(x>0)交于点A(2,3)，与y 轴交于点B。（1）求 k，b 的值；（2
）如图 1，点 C 是直线y=x+b上第一象限内的一点，过点 C 作轴，垂足为点 E，交双曲线于点 D，当=时，求的值；（3）如图
2，已知点 P 是双曲线上一动点，连接 OA，OP，当∠AOP=∠BAO时，求点 P 的坐标。24.（本小题满分 12 分）二次
函数y=ax2+bx的图象过点A(?4,4)，B(,)，连接 AB，点 C 是抛物线上一个动点。（1）求二次函数的表达式；（2）如
图 1，若点C 在 y 轴左侧的抛物线上运动，平移线段 AB，使其一个端点与点 C 重合，另一个端点恰好落在 x 轴上，求点 C
的坐标；（3）如图 2，若点C 在 y 轴右侧的抛物线上运动，作直线 AC，交 x 轴于点 E，将直线 AC 绕点 A 逆时针旋转
45°得直线AG，交y 轴于点F，连接 EF。若EF=FO，直接写出点 C 的坐标。25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，∠
A=90°，AB=AC，点 D 在边 AC 上（点 D 不与点 A，点 C 重合），连接 BD 并将 BD 绕点 D 逆时针旋转
90° 得到 DE。（1）如图 1，连接 CE。① CE 与 BC 的位置关系为 ，∠ABD与∠CED的数量关系是 ；②请用等式表
示 BC，CD 和 CE 的数量关系，并说明理由；（2）如图 2，将△ABD沿 BD 翻折，得到△A’BD，连接A’E，若A’E的
最小值为 2，求 AB 的长。答案一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。）1.?的绝对值是（ C ）A. 7 B. -7 C. D. ?2.如图是由若干
个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（ A ）3.中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产 28 n
m 浸没式 DUV 光刻机，填补国内空白。已知 28 nm = 0.000000028 m。将 0.000000028 用科学记数
法表示为（ B ）A. 28×10?7 B. 2.8×10?8 C. 2.8×10?7 D. 0.28×10?84.如图，已知
直线 AB 与 CD 交于点 O，OE⊥OC，OF 平分∠BOE。若∠COF = 32°，则∠AOD 的度数为（ B ）A.
24° B. 26° C. 28° D. 30°5.花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式。下列花窗图案中，既是轴对称图
形，又是中心对称图形的是（ D ）6.实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ D ）A. a+
c>a+b B. (b?a)(b?c)>0 C. ac>ab D. c?b>c?a7.小亮和爸爸计划乘动车外
出旅游。在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）。若此时 C 座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概
率是（ D ）A. B. C. D. 8.若关于 x 的一元二次方程2x2?3x?m?1=0有实数根，则实数 m 的
取值范围是（ A ）A. m≥? B. m≤? C. m≥? D. m≤?9.如图，将折线O?A1?A2?A3?A4绕点
A4顺时针旋转 180° 得到一段新的折线A4?A5?A6?A7?A8，再将新的折线绕点A8顺时针旋转 180°…… 以此类推，得
到一段连续的折线。则点A2025的坐标为（ B ）A. (1265, 0) B. (,) C. (1266,)
D. (,0)10.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=x2?bx+c的图象上任意两点，设x2?x1=
t，若当?2y1，则 t 的取值范围是（ B ）A. t7 B. t
8 C. t7 D. ?t8第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）二、
填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）11. 若二次根式有意义，则实数x 的取值范围是 x≥3。12.如图
1，在边长为 8 cm 的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在
正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图 2 所示。小亮由此估计阴影部分面积约为 22.4cm2。13.
如图，⊙O的内接正六边形 ABCDEF 的边长为 6，点 P 是弧CD的中点，则弧AP的长为 5π。14.七巧板是中国传统数学文化
的重要载体，将图 1 所示的七巧板，拼成图 2 所示的图形，则tan∠BAC= 。15.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，点
E 为 AD 上一点，且BE=BC，作∠EBC的角平分线 BF 交边 CD 于点 F，作于点 P，分别与 AB 和 BF 交于点
G 和点 Q，若AG=AB，则 PQ 的长度为 。三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或
演算步骤。）16. （本小题满分 7 分）计算：2cos30°+()?2+∣1?∣?(π?2025)0。=+9+﹣1﹣1=2+71
7.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：(a+)÷，其中a=?4。解原式=× =a+2将a=﹣4代入得﹣218.（本小题满分 7
分）如图，在菱形ABCD 中，点E，F分别在BC，CD 上，且∠AEC=∠AFC。求证：AE=AF。证明：∵菱形ABCD∴∠B=
∠D，AB=AD，BC=CD又∵∠AEC=∠AFC∴∠AEB=∠AFD∴△ABE≌△ADF（AAS）∴AE=AF。19.（本小题满
分 8 分）为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼。为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分
学生每周的校外锻炼时间（时间用 x 表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理。数据分成 4 组：A 组：0≤x<3；B 组：3≤
x<6；C 组：6≤x<9；D 组：9≤x<12。下面给出了部分信息：a. C 组数据：6, 6, 6, 6.2, 6.5, 6.
6, 6.7, 6.8, 7, 7, 7, 7.3, 7.6, 7.8, 8, 8, 8, 8.2, 8.4, 8.4, 8.5,
8.8b. 不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下：请根据以上信息完成下列问题：（1）该校此次调查共抽取了 名
学生，扇形统计图中 A 组对应扇形的圆心角为 °；（2）请补全条形统计图；（3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是 h；（
4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足 6 小时的同学提供训练指导。目前九年级共 600 名学生，计划每 15 名同学配
1 名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数。（1）40，18°（2）D组12人，图略（3）7.1（4）600×÷15=620
.（本小题满分 8 分）如图1，墙壁上的点 A 处装有一个壁挂式吊灯，已知支架AB 长度为40 cm，且 AB 与墙壁 AE 所成
夹角∠BAE=40°，壁灯吊杆 BC 长 30 cm，AB 与 BC 的夹角可调节。吊灯连接杆 CD 垂直于地面，CD=5cm。（
1）如图 2，当∠ABC=90°时，求灯口 D 与墙壁的距离；（2）如图 3，现有一靠墙放置的学习桌 FH，FH 与地面平行，其距
离地面的高度 FG 为 80 cm。为了日常使用方便，当 AB 与 BC 夹角调整至∠ABC=120°时，灯口 D 需距离桌面 7
0 cm。求点 A 距离地面的高度。（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin80
°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）（1）过B作BM⊥AE于M，过C作CN⊥BM于N∵在Rt△ABM中，
根据正弦和余弦的定义，sin∠BAE=，cos∠BAE=已知AB=40cm，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77∴BM=
ABsin40°≈40×0.64=25.6cm，AM=ABcos40°≈40×0.77=30.8cm。∵∠ABC=90°，∠ABM
+∠MBC=90°，∠BCN+∠MBC=90°∴∠BCN=∠BAE=40°在Rt△BCN中，sin∠BCN=，已知BC=30cm∴
CN=BCsin40°≈30×0.64=19.2cm∴灯口D与墙壁的距离为AM+CN≈30.8+19.2=50cm。（2）过B作B
P⊥AE于P，过C作CQ⊥BP交BP延长线于Q。在Rt△ABP中，BP=ABsin40°≈40×0.64=25.6cm，AP=AB
cos40°≈40×0.77=30.8cm。∵∠ABC=120°，∠ABP=50°∴∠CBQ=30°在Rt△BCQ中，sin∠CB
Q=，cos∠CBQ=∵BC=30cm∴CQ=BCsin30°=15cm，BQ=BCcos30°≈30×≈25.98cm。∴灯口D
距离桌面70cm，桌面距离地面80cm，CD=5cm∴C到地面的高度为70+80?5=145cm∴B到地面的高度为145?CQ=1
45?15=130cm∴点A距离地面的高度为130+BP≈130+25.6=155.6cm。21.（本小题满分 9 分）如图，在中
，AC=BC，⊙O与边 AB，CB 分别交于点 D，G，AG 是⊙O的直径，连接 CO，DG，过点 D 作，交 BC 于点 E。（
1）求证：DE 是⊙O的切线；（2）若tan∠EDG=，AD=3，求 EG 的长。（本小题满分 10 分）（1）证明：连接OD∵A
C=BC，OA=OG∴CO是△ABC的中线根据等腰三角形三线合一性质，∴CO⊥AB∵DE∥CO∴DE⊥AB∵OA=OD∴∠A=∠O
DA∵AC=BC∴∠A=∠B∴∠ODA=∠B∴OD∥BC∵DE⊥AB，OD∥BC∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线。
（2）解：连接AD，DG∵AG是⊙O的直径∴∠ADG=90°∵AC=BC，CO⊥AB∴D是AB中点。∵AD=3∴AB=2AD=6∵
∠EDG+∠BDG=∠BDE=90°，∠B+∠BDG=90°∴∠EDG=∠B∵tan∠EDG=∴tanB=在Rt△ABD中，AD=
3，AB=6根据勾股定理可得BD=3∵tanB==设CO=x，则BO=3x在Rt△BOC中，根据勾股定理BC2=CO2+BO2∴B
C=x∵AB=6，D是AB中点，BD=3，且BC=，CD=CO=x∴BC==x解得x=3，即CO=3，BO=9∵∠EDG=∠B，t
an∠EDG=设EG=y，则DE=3y∵DE∥CO∴△BDE∽△BOC则=BC=3，BE=BG?EG，BG=在Rt△ADG中，ta
n∠DAG=tanB=，AD=3∴DG=，AG=2，BG=2∴=解得y=1∴EG=122.（本小题满分10分）项目任务1：设两车行
驶里程为s千米。∵A车每千米行驶费用为a元，总行驶费用7.5元，所以s=；B车每千米行驶费用为(a+0.45)元，总行驶费用18.
75元，所以s=由于行驶里程相同，则=解得a=0.3经检验a=0.3是原方程的根∴B车每千米行驶费用为0.3+0.45=0.75元
。项目任务 2：∵A车一年总费用yA=6500+1230+0.3x=7730+0.3x；B车一年总费用yB=2900+0.075x
+0.75x=2900+0.825x。当yA=yB时，7730+0.3x=2900+0.825x解得x=9200yA>yB时，77
30+0.3x>2900+0.825x解得x<9200yA9200∴当
x=9200时，购买A车和B车费用相同；当x<9200时，购买B车更划算；当x>9200时，购买A车更划算。23.（本小题满分10
分）直线y=x+b与双曲线y=(x>0)交于点A(2,3)，与y 轴交于点B。（1）求 k，b 的值；（2）如图 1，点 C 是
直线y=x+b上第一象限内的一点，过点 C 作轴，垂足为点 E，交双曲线于点 D，当=时，求的值；（3）如图 2，已知点 P 是双
曲线上一动点，连接 OA，OP，当∠AOP=∠BAO时，求点 P 的坐标。（1）将A(2,3)代入y=得k=3×2=6将A(2,3
)代入y=x+b得3=+b×2+b解得b=2（2）由（1）知直线y=x+b，B(0,2)，A(2,3)∵=设C点横坐标为m，则C(
m,m+2)根据两点间距离公式得=且C在第一象限，m>0解得m=3∴C(3,)，D(3,2)则=（3）过A作AH⊥x轴于H，A(2
,3)，B(0,2)，tan∠BAO=∵∠AOP=∠BAO∴设P(n,)，直线OP的斜率kOP=∴tan∠AOP=，又tan∠AO
P=tan∠BAO=则=解得n=3或n=?3（舍去）∴P(3,2)24.（本小题满分 12 分）二次函数y=ax2+bx的图象过点
A(?4,4)，B(,)，连接 AB，点 C 是抛物线上一个动点。（1）求二次函数的表达式；（2）如图 1，若点C 在 y 轴左侧
的抛物线上运动，平移线段 AB，使其一个端点与点 C 重合，另一个端点恰好落在 x 轴上，求点 C 的坐标；（3）如图 2，若点C
在 y 轴右侧的抛物线上运动，作直线 AC，交 x 轴于点 E，将直线 AC 绕点 A 逆时针旋转45°得直线AG，交y 轴于点
F，连接 EF。若EF=FO，直接写出点 C 的坐标。把A (-4.4), B(,)代入二次函数y=ax2+bx得解得∴二次函数的
表达式为 y=x2+3x(2）设C(a,a2+3a)，D（b,0).①当点 B 与点 C 重合，∵DC是由 AB 平移所得．则有解得将 a =-代入y=x2+3x得y=﹣∴点C坐标为（-，﹣）②当点 A 与点 C 重合则有解得a1=﹣（舍去），a2=﹣﹣∴点C（﹣﹣，）(3）C（，）25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点 D 在边 AC 上（点 D 不与点 A，点 C 重合），连接 BD 并将 BD 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到 DE。（1）如图 1，连接 CE。① CE 与 BC 的位置关系为 ，∠ABD与∠CED的数量关系是 ；②请用等式表示 BC，CD 和 CE 的数量关系，并说明理由；（2）如图 2，将△ABD沿 BD 翻折，得到△A’BD，连接A’E，若A’E的最小值为 2，求 AB 的长。（1）① CE⊥BC；∠ABD=∠CED过D作DF⊥DC交BC于F∵∠A=90°，AB=AC∴∠ACB=45°，△DFC为等腰直角三角形，DF=DC又∵BD=DE，∠BDF=∠EDC∴△BDF≌△EDC（SAS）。∴∠DFB=∠DCE=135°故∠BCE=135°?45°=90°即CE⊥BC；且∠ABD=∠DEC=∠CED。②BC=CE+CD由△BDF≌△EDC得BF=CE。又∵△DFC是等腰直角三角形根据勾股定理FC=CD∴BC=BF+FC=CE+CD（2）AB=21 |
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