《御製數理精蘊》之借根方比例之(2)上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：
“借根方比例?體類”其實是涉及體積之方程式及比例，大部分問題均屬淺易，容易明白。本文各題宜注意其名數。本文亦宜注意“相連比例三率”
式﹝《數理精藴》常用此比例﹞。關鍵詞：借根 扁方體 磬折長方體 相連比例三率本文數學題取材自《御製數理精藴?下編?卷三十六?末部六
》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“借根方比例?體類”。筆者已有文名為〈《御製數理精蘊》之借根方比例之(1)〉，本文乃其延續。注意《數
理精藴》尚未有“平方尺”及“立方尺”之單位，故筆者在有須要時作出更正。宜注意多項式之表示法。以下為本文採用之“相連比例三率”式﹝《
數理精藴》常用此比例﹞：首率：中率 = 中率：末率寫成分數式 = ，即 中率2 = 首率 × 末率。借根方比例體類之〈第一題〉至
〈第十題〉見前文。〈第十一題〉設如有帶兩縱不同立方體，其長、闊、髙為相連比例三率，長為首率，闊為中率，髙為末率，共五十七寸，其六面
積共二千零五十二寸。問：長、闊、髙各幾何？解：“帶兩縱不同立方體”指一長立方體，其長、髙、闊皆不相同。本題之線性單位為寸。本題《數
理精藴》之解法頗為精闢，值得學習，筆者亦採用其解法。今設長為 x，依題意可知其 高 + 闊 = 57 – x ，因長闊髙為相連比例
三率，設闊 = xr 及高為 xr2 ，r為公比。即可知x + xr + xr2 = 57 -------------------
------------ (1)從 (1) 得xr + xr2 = 57 – x ------------------------
---- (2)六面之面積 = 2(長×闊 + 髙×長 + 闊×髙) = 2052 方寸長 × 闊 + 髙 × 長 + 闊 × 髙
= 1026，以數值代入得：x2r + x2r2 + x2r3 = 1026xr(x + xr + xr2) = 1026，以
(1) 式代入得：57xr = 1026xr = 18。此即為闊之數也。以 xr = 18 代入 (2) 得：18 + 18r =
57 – x18r = 39 – x ---------------------------------------------
(3)18r = xr2 是為高，所以39 – x亦為高。因長闊髙為相連比例三率，所以 長 × 髙 = 闊2，以下等式成立：x(
39 – x) = 18239x – x2 = 324x2 – 39x + 324 = 0，分解因式得：(x – 12)(x –
27) = 0。取 x = 27，即長立方體之長為27寸。從 (3) 可得 x = 39 – 18r，將 x = 27 代入得：2
7 = 39 – 18r18r = 39 – 27 = 12﹝寸﹞是為高﹝注意高 = xr2 = xr × r = 18r﹞。亦可
算出公比r = = 。闊為 xr = 27 × r = 27 × = 18﹝寸﹞。高為 18 × = 12﹝寸﹞。法：借一根
x為長數，則闊髙之共數為五十七寸少一根，即57 – x。又以六面積共二千零五十二寸折半，即 2052 ÷ 2 得一千零二十六寸，即
1026 為三面積共數，以長闊髙共五十七寸除之得一十八寸為闊數，即 1026 ÷ 57 = 18﹝寸﹞。因長x為首率，闊xr為中率
，髙xr2為末率，故其三面積一為首率乘中率，一為末率乘中率，一為首率乘末率，而首率乘末率之數與中率自乘之數等，則此三而積相合，卽為
首率中率末率之共數乘中率之數矣，故以長闊髙之共數除之，卽得中率為闊也﹝見筆者上文之算式﹞。以闊一十八尺與闊髙之共數五十七寸少一根相
減，餘三十九寸少一根為髙數，(57 – x) – 18 = 39 – x。乃以首率長一根與末率髙三十九寸少一根相乘得三十九根少一平
方與中率闊十八寸自乘之三百二十四寸相等，即 x(39 – x) = 39x – x2 = 182 = 324，乃以三百二十四寸為長
方積，以三十九根作三十九寸為長闊和，用帶縱和數開平方法算之，得長二十七寸為一根之數，卽立方之長數，即：x2 – 39x + 324
= 0(x – 27)(x – 12) = 0取 x = 27，即長立方體之長為27寸。與髙長和三十九寸相減餘一十二寸，卽立方之
髙數，39 – 27 = 12﹝寸﹞，以長二十七寸與闊十八寸之比同於闊十八寸與髙十二寸之比為相連比例三率也，此帶兩縱不同立方邊線面
積相和比例法。以下為本題之相連比例三率： = = 。〈第十二題〉設如有帶兩縱不同立方體，其髙與闊之比例同於一與二，闊與長之比例同
於二與三，以髙自乘再乘之數與闊自乘再乘之數相加，比原體積多一千零二十九寸。問：長、闊、髙各幾何？解：今設高為 x，依題意可知其闊
= 2x ，其長 = 3x ，立方體體積 = x × 2x × 3x = 6x3。依題意可列出以下方程式：x3 + (2x)3 –
x × 2x × 3x = 1029x3 + 8x3 – 6x3 = 10293x3 = 1029x3 = 343x = 7。高
為 7﹝寸﹞，闊 = 2x = 14﹝寸﹞，其長 = 3x = 21﹝寸﹞。法：借一根x為髙數，則闊數為二根，即2x，長數為三根，
即3x。以闊二根與長三根相乘得六平方，2x × 3x = 6x2，再以髙一根乘之得六立方，x × 6x2 = 6x3，為原體積。又
以髙一根自乘再乘得一立方，即x3，以闊二根自乘再乘得八立方，即8x3，相併得九立方，即x3 + 8x3 = 9x3，內減原體積六立
方，餘三立方，即9x3 – 6x3 = 3x3，與一千零二十九寸相等，即3x3 = 1029，三立方旣與一千零二十九寸相等，則一立
方必與三百四十三寸相等，即x3 = 343，乃以三百四十三寸開立方，得七寸為一根之數，即x = 7﹝寸﹞，卽立方之髙數。倍之得十四
寸卽立方之闊數，2 × 7 = 14﹝寸﹞，三因之得二十一寸，3 × 7 = 21﹝寸﹞，卽立方之長數。以長二十一寸與闊十四寸相乘
得二百九十四寸，卽21 × 14 = 294﹝平方寸﹞，再以髙七寸乘之得二千零五十八寸為原體積，即 21 × 14 × 7 = 2
94 × 7 = 2058﹝立方寸﹞。又以髙七寸自乘再乘得三百四十三寸，即 73 = 343﹝立方寸﹞，闊十四寸自乘再乘得二千七百
四十四寸，即 143 = 2744﹝立方寸﹞，相併得三千零八十七寸，即 343 + 2744 = 3087﹝立方寸﹞，與原體積相減
餘一千零二十九寸，3087 – 2058 = 1029﹝立方寸﹞ 以合原數也。此帶兩縱不同立方邊線體積比例法。〈第十三題〉設如有甲
、乙、丙三正方體，甲方邊與乙方邊之比例同於二與三，乙方積比甲方積多一百五十二寸，丙方積比乙方積多七百八十四寸。問：三正方體之邊數各
若干？解：今設甲正立方體每邊長2x，乙正立方體每邊長3x，所以甲方邊與乙方邊之比例 = 2：3，甲正立方體體積為8x3立方寸，乙正
立方體體積為27x3立方寸，依題意可列出以下方程式：27x3 – 8x3 = 15219x3 = 152x3 = 8x = 2。即
可知甲正立方體每邊長2x = 4﹝寸﹞。乙正立方體每邊長3x，即6寸，體積為 63 = 216﹝立方寸﹞。丙正立方體體積 = 21
6 + 784 = 1000﹝立方寸﹞，則丙正立方體每邊長10寸。法：借二根 2x 為甲方毎邊之數，則乙方毎邊之數為三根，即 3x
，以二根自乘再乘得八立方為甲方之體積，即8x3，以三根自乘再乘得二十七立方為乙方之體積，即27x3。兩體積相減餘一十九立方與一百五
十二寸相等，27x3 – 8x3 = 19x3，十九立方旣與一百五十二寸相等，19x3 = 152，則一立方必與八寸相等，即 x3
= 8。乃以八寸開立方得二寸為一根之數，即 x = 2。倍之得四寸，即 2x = 4﹝寸﹞，卽甲方毎邊之數。三因之得六寸，即 3
x = 6，卽乙方毎邊之數。自乘再乘得二百一十六寸加七百八十四寸得一千寸，216 + 784 = 1000﹝立方寸﹞，開立方得十寸
，即 = 10﹝寸﹞，卽丙方毎邊之數也。此三正方體邊線體積比例法。〈第十四題〉設如有帶兩縱不同立方體，髙比闊為五分之一，闊比長亦
為五分之一，體積六十一萬四千一百二十五尺。問：髙、闊、長各幾何？解：今設高為 x，依題意可知其闊 = 5x ，其長 = 5x ×
5 = 25x ，立方體體積 = x × 5x × 25x = 125x3。依題意可列出以下方程式：125x3 = 614125x
3 = 4913x = 17。所以高為 17 尺，闊 = 5x = 85﹝尺﹞，其長 = 25x = 425﹝尺﹞。法：借一根x為
髙數，則闊數為五根，即5x，長數為二十五根，即5x × 5 = 25x。以闊五根與長二十五根相乘得一百二十五平方，即 5x × 2
5x = 125x2，再以髙一根乘之得一百二十五立方，與六十一萬四千一百二十五尺相等，即 125x3 = 614125。一百二十五
立方旣與六十一萬四千一百二十五尺相等，則一立方必與四千九百一十三尺相等，即x3 = 4913。乃以四千九百一十三尺開立方，得十七尺
為一根之數，即 x = 17﹝尺﹞，卽立方之髙。以五乘之得八十五尺，即 5 × 17 = 85﹝尺﹞，卽立方之闊。以二十五乘之得四
百二十五尺，即 25 × 17 = 425﹝尺﹞，卽立方之長也。乃以長闊相乘得三萬六千一百二十五尺﹝方尺﹞，再以髙乘之得六十一萬四
千一百二十五尺，即 17 × 85 × 425 = 614125﹝立方尺﹞，以合原數也。此帶分比例開立方法。〈第十五題〉設如有一大
長方體，其闊三倍於髙，其長三倍於闊；又有一小長方體比大長方體髙為二分之一，闊為三分之二，長為九分之七。小長方體積二萬三千六百二十五
寸。問：大小二長方體之長、闊、髙各幾何？解：今設大長立方體之高為 x，依題意可知其闊 = 3x ，其長 = 3x × 3 = 9x
。又可知小長方體之高為 x，其闊 = × 3x = 2x，其長 = × 9x = 7x 。小長方體之體積 = x × 2x
× 7x = 7x3。依題意可列出以下方程式：7x3 = 23625x3 = 3375x = 15。所以大長方體之高為 15寸，其
闊 = 3x = 3 × 15 = 45﹝寸﹞，其長 = 9x = 9 × 15 = 135﹝寸﹞。小長方體之高為 x = ×
15 = 7.5﹝寸，或7寸5分﹞，其闊 = × 3x = 2x = 2 × 15 = 30﹝寸﹞，其長 = × 9x = 7
× 15 = 105 ﹝寸﹞。法：借一根x為大長方體之髙，則大長方體之闊為三根，即 3x，大長方體之長為九根，即9x，小長方體之
髙為半根，即 x，小長方體之闊為二根，即2x，小長方體之長為七根，即7x。乃以長七根與闊二根相乘得一十四平方，即 7x × 2x
= 14x2，再以髙半根乘之得七立方，即 x × 14x2 = 7x3，為小長方體積，與二萬三千六百二十五寸相等，即7x3 = 2
3625。七立方旣與二萬三千六百二十五寸相等，則一立方必與三千三百七十五寸相等，即x3 = 3375。乃以三千三百七十五寸，開立方
得十五寸為一根之數，x = 15﹝寸﹞，卽大長方體之髙。三因之得四十五寸，3 × 15 = 45﹝寸﹞，卽大長方體之闊。又以三因之
得一百三十五寸，3 × 45 = 135﹝寸﹞，卽大長方體之長。以大長方體之髙折半得七寸五分， × 15 = 7.5﹝寸﹞，卽小長
方體之髙；以大長方體之闊三歸二因，即 × 3 × 15 = 30﹝寸﹞，得三十寸，卽小長方體之闊；以大長方體之長九歸七因，即
× 9 × 15 = 105 ﹝寸﹞，得一百零五寸，卽小長方體之長。以小長方體之長闊相乘，再以髙乘之得二萬三千六百二十五寸，即 7
.5 × 30 × 105 = 23625﹝立方寸﹞，以合原數也。此帶分比例開立方法。〈第十六題〉設如有人買馬三次，第二次比第一次
多一倍，第三次比第二次多一倍，以第三次馬數四分之一與第二次馬數之一半相乘，又與第一次馬數三分之一相乘得六千五百六十一匹。問：三次所
買馬數各若干？解：今設第一次買馬之數為 3x，依題意可知第二次買馬之數為 6x，第三次買馬之數為 12x。依題意可列出以下方程式：
× 12x × × 6x × × 3x = 65613x × 3x × x = 65619x3 = 6561x3 = 729
開立方得x = 9。取第一次買馬之數為 3x = 3 × 9 = 27﹝匹﹞，第二次買馬之數為 6x = 6 × 9 = 54﹝匹
﹞，第三次買馬之數為 12x = 12 × 9 = 108﹝匹﹞。法：借三根即3x為第一次買馬之數﹝3為第一次分母之數﹞，則第二次
買馬之數為六根，即6x，第三次買馬之數為十二根，即12x，以第三次四分之一三根，即3x，與第二次之一半三根，亦即3x，相乘得九平方
，即9x2，又與第一次三分之一一根，即x，相乘，得九立方，與六千五百六十一匹相等，即 9x3 = 6561。九立方旣與六千五百六十
一匹相等，則一立方必與七百二十九匹相等，即x3 = 729，乃以七百二十九匹，開立方得九匹，即x = 9為一根之數。三因之得二十七
匹，即3 × 9 = 27，為第一次買馬之數，倍之得五十四匹為第二次買馬之數，即 2 × 27 = 54，又倍之得一百零八匹為第三
次買馬之數，即 2 × 54 = 108。以第三次四分之一二十七匹﹝即27匹﹞，與第二次一半二十七匹﹝亦即27匹﹞相乘得七百二十九
匹，再以第一次三分之一九匹﹝即9匹﹞乘之，得六千五百六十一匹，即 27 × 27 × 9 = 6561，以合原數也此帶分比例開立方
法。本題只著重數目字，單位宜作適當配合。〈第十六題〉設如有馬、牛、羊各不知數，但知牛數比馬數多四，羊數與馬牛相乘之數等，馬毎匹之價
與牛數等，牛毎頭之價與馬數等，羊毎隻之價比馬毎匹價少十兩，而羊之共價為一百九十二兩。問：馬、牛、羊及價銀各若干？解：今設馬之數為
x，依題意可知牛數為 x + 4，羊數為 x(x + 4)，馬毎匹之價為 (x + 4) 兩，牛毎頭之價為 x 兩，羊毎隻之價為
(x + 4 – 10) 兩 = (x – 6) 兩。依題意可列出以下方程式：x(x + 4)(x – 6) = 192x3 –
2x2 – 24x = 192x3 – 2x2 – 24x – 192 = 0，分解因式得：(x – 8)(x2 + 6x + 2
4) = 0。取 x = 8，即馬數為 8。牛數為 x + 4 = 8 + 4 = 12，羊數為 x(x + 4) = 8 × 1
2 = 96，馬毎匹之價為 (x + 4) = 8 + 4 = 12 ﹝兩﹞，牛毎頭之價為 x = 8﹝兩﹞，羊毎隻之價為 (x
+ 4 – 10) 兩 = (x – 6) 兩 = (8 – 6) 兩 = 2兩。法：借一根x為馬數，則牛數為一根多四，即x +
4。以馬數一根與牛數一根多四相乘，即 x(x + 4)，得一平方多四根為羊數，即 x2 + 4x。馬價與牛數等為一根多四兩，即 (
x + 4) 兩，則羊價為一根少六兩，即(x – 6) 兩。以羊數一平方多四根與羊價一根少六兩，相乘得一立方少二平方少二十四根為羊
之共價，即 x(x + 4)(x – 6) = x3 – 2x2 – 24x，與一百九十二兩相等，即 x3 – 2x2 – 24x
= 192。乃以一百九十二兩為磬折扁方體積，用帶縱開立方法算之，得八為一根之數，卽馬數，亦卽牛毎頭之價為八兩也。x3 – 2x2
– 24x – 192 = 0，分解因式得：(x – 8)(x2 + 6x + 24) = 0取 x = 8，即馬數為 8。加牛
比馬多四得十二為牛數，即 8 + 4 = 12，亦卽馬毎匹之價為十二兩也。以馬數八與牛數十二相乘得九十六為羊數，即 8 × 12
= 96，以羊數九十六歸除羊共價一百九十二兩，得二兩為羊毎隻價，即 = 2﹝兩﹞，比馬一匹之價少十兩也。此磬折扁方體求邊法。〈第
十七題〉設如有馬、騾運重，其共馬數比馬毎匹所?之數多二十，騾毎匹所?之數比共馬數多三十，其共騾數與馬所?之共數等，但知騾共?一千一
百萬斤。問：馬數、騾數及所?之斤數各若干？解：“?”，粵音駝。背負也。今設馬之數為 x，依題意可知馬毎匹所?之數為 (x – 20
) 斤，騾毎匹所?之數為 (30 + x) 斤，所以：騾數 = ，又可知馬所?之共數 = x(20 – x) 斤，騾數與馬所?之共
數等，即 = x(x – 20)x(x – 20)(x + 30) = 11000000x3 + 10x2 – 600x = 1
1000000x3 + 10x2 – 600x – 11000000 = 0，分解因式得：(x – 220)(x2 + 230x
– 50000) = 0取x = 220，即馬數為 220，馬毎匹所?之數為 (220 – 20) 斤 = 200 斤，騾毎匹所?
之數為 (30 + 220) 斤 = 250 斤。騾數 = = = = 44000，馬所?之共數即總數 = x(x – 20
) = 220(220 – 20) = 44000﹝斤﹞。法：借一根x為共馬數，即馬之總數。則馬毎匹所?之斤數為一根少二十斤，即
(x – 20) 斤，騾毎匹所?之數為一根多三十斤，即 (x + 30)斤。以共馬數一根與馬毎匹?一根少二十斤相乘得一平方少二十根
，即 x(x – 20) = x2 – 10x，為馬所?之共數，亦卽共騾數。再以騾毎匹?一根多三十斤 (x + 30) 乘之得一立
方多十平方少六百根，即 (x + 30)(x2 – 10x) = x3 + 10x2 – 600x，為騾所?之共數，與一千一百萬斤
相等，即x3 + 10x2 – 600x = 11000000。乃以一千一百萬斤為磬折長方體積，用帶縱開立方法算之，得二百二十為一
根之數，卽共馬數。即：x3 + 10x2 – 600x – 11000000 = 0，分解因式得：(x – 220)(x2 + 2
30x – 50000) = 0取 x = 220，即馬數為 220。減二十餘二百斤為馬毎匹所?之數，即 (220 – 20) 斤
= 200 斤，以共馬二百二十匹與馬毎匹所?之二百斤相乘，得四萬四千斤，即 220(220 – 20) = 44000，為馬所?
之共數，亦卽共騾數。以共騾四萬四千匹歸除一千一百萬斤，得二百五十斤為騾毎匹所?之數，即 = 250，比共馬數二百二十多三十也，即
250 – 220 = 30。此磬折長方體求邊法。〈第十八題〉設如有大小二正方體邊數共二尺六寸，體積共五千零九十六寸。問：二正方體
邊數、體積各幾何？解：今設小正立方之邊長為 x寸，依題意可知大正立方之邊長為 (26 – x) 寸，依題意可列出以下方程式：x3
+ (26 – x)3 = 5096x3 + 17576 – 2028x + 78x2 – x3 = 509617576 – 20
28x + 78x2 = 509678x2 – 2028x + 12480 = 0移項及以78約簡得x2 – 26x + 160
= 0，分解因式得：(x – 10)(x – 16) = 0。取 x = 10為小正立方之邊長寸數，大正立方之邊長為 26 – 1
0 = 16 ﹝寸﹞，小正立方體積為 103 = 1000 ﹝立方寸﹞。大正立方體積為 163 = 4096 ﹝立方寸﹞。法：借一
根x為小方毎邊之數，則大方毎邊之數為二十六寸少一根，即26 – x，以一根自乘再乘得一立方x3為小方之體積，以二十六寸少一根自乘再
乘 (26 – x)3 得一萬七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方少一立方為大方之體積，即 (26 – x)3 = 175
76 – 2028x + 78x2 – x3。兩體積相加得一萬七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方，與五千零九十六寸相等，
即17576 – 2028x + 78x2 = 5096。兩邊各加二千零二十八根得一萬七千五百七十六寸多七十八平方與五千零九十六寸
多二千零二十八根相等，17576 + 78x2 = 5096 + 2028x兩邊各減五千零九十六寸得一萬二千四百八十寸多七十八平方
與二千零二十八根相等，即 12480 + 78x2 = 2028x一萬二千四百八十寸多七十八平方旣與二千零二十八根相等，則一百六十
寸多一平方必與二十六根相等，即 160 + x2 = 26x。乃以一百六十寸為長方積，以二十六根作二十六寸為長闊和，用帶縱和數開平
方法算之，得闊十寸為一根之數，卽小方毎邊之數。x2 – 26x + 160 = 0，分解因式得：(x – 10)(x – 16)
= 0取 x = 10為小正立方之邊長寸數。與共邊二十六寸相減，餘一十六寸卽大方毎邊之數，即26 – 10 = 16 ﹝寸﹞。以十
寸自乘再乘得一千寸卽小方之體積，即103 = 1000 ﹝立方寸﹞，以十六寸自乘再乘得四千零九十六寸，即163 = 4096 ﹝立
方寸﹞卽大方之體積，兩體積相加共五千零九十六寸，即 1000 + 4096 = 5096 ﹝立方寸﹞以合原數也。此二正方體有邊和積
和求邊法。〈第十九題〉設如有大小二正方體，大方邊比小方邊多四尺，大方積比小方積多一千二百一十六尺。問：二正方體邊數、體積各幾何？解
：今設小正立方之邊長為 x尺，依題意可知大正立方之邊長為 (x + 4) 尺，依題意可列出以下方程式：(x + 4)3 – x3
= 1216x3 + 12x2 + 48x + 64 – x3 = 121612x2 + 48x – 1152 = 0以12約簡得
x2 + 4x – 96 = 0，分解因式得：(x – 8)(x + 12) = 0。取 x = 8 為小正立方之邊長尺數，大正立
方之邊長為 8 + 4 = 12 ﹝尺﹞，小正立方體積為 83 = 512 ﹝立方尺﹞。大正立方體積為 123 = 1728 ﹝立
方尺﹞。法：借一根x為小方毎邊之數，則大方毎邊之數為一根多四尺，即 (x + 4) 尺，以一根自乘再乘得一立方x3為小方之體積，以
一根多四尺自乘再乘 (x + 4)3 得一立方多十二平方多四十八根多六十四尺，即 x3 + 12x2 + 48x + 64為大方之
體積，兩體積相減得十二平方多四十八根多六十四尺，即 12x2 + 48x + 64 與一千二百一十六尺相等，即12x2 + 48x
+ 64 = 1216。兩邊各減六十四尺得十二平方多四十八根與一千一百五十二尺相等，即 12x2 + 48x = 1152。十二
平方多四十八根旣與一千一百五十二尺相等，則一平方多四根必與九十六尺相等，則x2 + 4x = 96 。乃以九十六尺為長方積，以四根
作四尺為長闊較，用帶縱較數開平方法算之，得闊八尺為一根之數，卽小方每邊之數。x2 + 4x – 96 = 0，分解因式得：(x –
8)(x + 12) = 0。取 x = 8 為小正立方之邊長尺數。加四尺得一十二尺卽大方毎邊之數。以八尺自乘再乘得五百一十二尺
，卽小方之體積，即 83 = 512 ﹝立方尺﹞。以一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺，即 123 = 1728 ﹝立方尺﹞。卽大
方之體積兩體積相減餘一千二百一十六尺以合原數也，即1728 – 512 = 1216﹝立方尺﹞。此二正方體有邊較積較求邊法。〈第二
十題〉設如有大小二正方體，大方邊比小方邊多二尺，體積共一千零七十二尺。問：二正方體邊數、體積各幾何？解：今設小正立方之邊長為 x尺
，依題意可知大正立方之邊長為 (x + 2) 尺，依題意可列出以下方程式：(x + 2)3 + x3 = 1072x3 + 6x2
+ 12x + 8 + x3 = 10722x3 + 6x2 + 12x + 8 = 10722x3 + 6x2 + 12x –
1064 = 0x3 + 3x2 + 6x – 532 = 0，分解因式得：(x – 7)(x2 + 10x + 76) = 0。取 x = 7 為小正立方之邊長尺數，大正立方之邊長為 7 + 2 = 9 ﹝尺﹞，小正立方體積為 73 = 343 ﹝立方尺﹞。大正立方體積為 93 = 729 ﹝立方尺﹞。可得343 + 729 = 1072﹝立方尺﹞。法：借一根x為小方毎邊之數，則大方毎邊之數為一根多二尺，即 x + 2。以一根自乘再乘得一立方x3為小方之體積，以一根多二尺自乘再乘，即(x + 2)3得一立方多六平方多十二根多八尺，即x3 + 6x2 + 12x + 8為大方之體積。兩體積相加得二立方多六平方多十二根多八尺，即 2x3 + 6x2 + 12x + 8與一千零七十二尺 1072 相等。兩邊各減去八尺，得二立方多六平方多十二根，與一千零六十四尺相等2x3 + 6x2 + 12x = 1064二立方多六平方多十二根旣與一千零六十四尺相等，則一立方多三平方多六根必與五百三十二尺相等，即x3 + 3x2 + 6x = 532。乃以五百三十二尺為磬折長方體積，用帶縱開立方法算之，得七尺為一根之數，卽小方毎邊之數。分解因式得：(x – 7)(x2 + 10x + 76) = 0。取 x = 7 為小正立方之邊長尺數。加二尺得九尺，卽大方每邊之數。以七尺自乘再乘得三百四十三尺，即73 = 343 ﹝立方尺﹞。卽小方之體積，以九尺自乘再乘得七百二十九尺，即93 = 729 ﹝立方尺﹞，卽大方之體積，兩體積相加得一千零七十二尺，即343 + 729 = 1072﹝立方尺﹞以合原數也。此二正方體有邊較積和求邊法。以上各題宜注意其名數。(1) |
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