《御製數理精蘊》之借根方比例之(3)上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：
“借根方比例?體類”其實是涉及體積之方程式及比例，大部分問題均屬淺易，容易明白。本文尚涉及直角三角形之問及經典之題“圜內容十八邊法
”，此題尚涉及一元三次方程式之三角函數解法。關鍵詞：借根 相連比例三率 十八邊法本文數學題取材自《御製數理精藴?下編?卷三十六?末
部六》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“借根方比例?體類”。“借根”之意乃為“設XX為x”，因為x之解稱為“根”，所以稱預設之未知數為
“借根”。筆者已有文名為〈《御製數理精蘊》之借根方比例之(1)〉及〈之(2)〉，本文乃以上兩文之延續。注意《數理精藴》尚未有“平方
尺”及“立方尺”之單位，故筆者在有須要時作出更正。以下為本文採用之“相連比例三率”式﹝《數理精藴》常用此比例﹞：首率：中率 = 中
率：末率寫成分數式 = ，即 中率2 = 首率 × 末率。借根方比例體類之〈第一題〉至〈第二十題〉見前兩文。本文有題涉及“圜內容
十八邊法”。“圜”即“圓”，即知一圓之半徑而求其內接十八邊形一邊之長。此題尚涉及一元三次方程式之三角函數解法。〈第二十一題〉設如有
大小二正方體，邊數共十四尺，大方比積小方積多二百九十六尺。問：二正方體邊數、體積各幾何？解：“正方體”指“正立方體”。今設小正立方
之邊長為 x尺，依題意可知大正立方之邊長為 (14 – x) 尺。又依題意可列出以下方程式：(14 – x)3 – x3 = 29
62744 – 588x + 42x2 – x3 – x3 = 2962744 – 588x + 42x2 – 2x3 = 296
2x3 – 42x2 + 588x – 2448 = 0x3 – 21x2 + 294x – 1224 = 0，分解因式得：(x
– 6)(x2 – 15x + 204) = 0。取 x = 6 為小正立方之邊長尺數，大正立方之邊長為 14 – 6 = 8﹝尺
﹞。小正立方之體積為 63 = 216立方尺，大正立方之體積為 83 = 512立方尺。法：借一根x為小方每邊之數，則大方每邊之數
為十四尺少一根 (14 – x) 尺。以一根自乘再乘得一立方x3為小方之體積，以十四尺少一根自乘再乘 (14 – x)3 得二千七
百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少一立方為大方之體積，即 2744 – 588x + 42x2 – x3，兩體積相減得二千七百
四十四尺少五百八十八根多四十二平方少二立方，即 2744 – 588x + 42x2 – 2x3，與二百九十六尺相等，即：2744
– 588x + 42x2 – 2x3 = 296。兩邊各加二立方又加五百八十八根，得二立方多五百八十八根多二百九十六尺，與二千
七百四十四尺多四十二平方相等，即：2744 + 42x2 = 296 + 2x3 + 588x兩邊各減去二百九十六尺又各減去四十二
平方得二立方少四十二平方多五百八十八根與二千四百四十八尺相等，即：2x3 – 42x2 + 588x = 2448二立方少四十二平
方多五百八十八根旣與二千四百四十八尺相等，則一立方少二十一平方多二百九十四根必與一千二百二十四尺相等，即：x3 – 21x2 +
294x – 1224 = 0，乃以一千二百二十四尺為磬折扁方體積，用帶縱開立方法算之得六尺為一根之數，卽小方毎邊之數，與共邊數十
四尺相減餘八尺，即14 – 6 = 8﹝尺﹞，卽大方每邊之數。以六尺自乘再乘得二百一十六尺為小方之體積，即63 = 216﹝立方尺
﹞，以八尺自乘再乘得五百一十二尺為大方之體積，即83 = 512﹝立方尺﹞，兩體積相減餘二百九十六尺，即512 – 216 = 2
96﹝立方尺﹞，以合原數也。此二正方體有邊和積較求邊法。〈第二十二題〉設如勾股積二百四十尺，股弦較四尺。問：勾、股、弦各幾何？解：
股弦yy + 4x勾勾股積指直角三角形面積。今設股長為y 尺，弦長為 (y + 4) 尺，勾長為 x = 。依勾股定理得：y2 +
= (y + 4)2y2 + = y2 + 8y + 16 = 8y + 16230400 = 8y3 + 16y2y3 +
2y2 – 28800 = 0，分解因式得：(y – 30)(y2 + 32y + 960) = 0取 y = 30，即股之長。
弦長為 (y + 4) 尺 = 34尺，勾長 = = 16﹝尺﹞。故勾股形面積 = = 240﹝方尺﹞。法：借一根y為股數，則
弦為一根多四尺，即 (y + 4) 尺，以一根自乘得一平方y2為股自乘之數，以一根多四尺自乘得一平方多八根多十六尺為弦自乘之數，即
y2 + 8y + 16，內減去股自乘之一平方餘八根多十六尺為勾自乘之數，即8y + 16。凡勾自乘之數與勾股相乘之數及股自乘之
數為相連比例三率，即 = 。乃以首率勾自乘之八根多十六尺與末率股自乘之一平方相乘得八立方多十六平方，即8y3 + 16y2，又以勾
股積二百四十尺倍之得四百八十尺為中率，即 2 × 240 = 480，自乘得二十三萬零四百尺，即 4802 = 230400，是為
八立方多十六平方與二十三萬零四百尺相等，即：8y3 + 16y2 = 230400。即八立方多十六平方旣與二十三萬零四百尺相等，即
則一立方多二平方必與二萬八千八百尺相等，上式以8約簡即得：y3 + 2y2 = 28800乃以二萬八千八百尺為長方體積，用帶縱開立
方法算之，得三十尺為一根之數，卽股數。上式移項得y3 + 2y2 – 28800 = 0，分解因式得：(y – 30)(y2 +
32y + 960) = 0取 y = 30，即股之長。加股弦較四尺得三十四尺，即 (y + 4) 尺 = 34尺，卽弦數。又以股
三十尺除倍積四百八十尺，得十六尺，卽 = 16﹝尺﹞卽勾數也。此有勾股積有股弦較求勾股弦法。本題所用之“勾股定理法”所得之結果與
“相連比例三率法”相同。〈第二十三題〉設如勾股積二百四十尺，勾弦和五十尺。問：勾、股、弦各幾何？解：本題與上題相若。y50 – x
x勾股積指直角三角形面積。今設勾長為x 尺，弦長為 (50 – x) 尺，股長 y = 。依勾股定理得：x2 + = (50 –
x)2x2 + = x2 – 100x + 2500 = – 100x + 2500230400 = – 100x3 + 25
00x2x3 – 25x2 + 2304 = 0，分解因式得：(x – 16)(x2 – 9x – 144) = 0取 x = 1
6，即勾之長。所以弦長為 (50 – x) 尺 即 (50 – 16)尺 = 34尺，而股長 = = 30﹝尺﹞。法：借一根x為
勾數，則弦為五十尺少一根，即 (50 – x) 尺，以一根自乘得一平方x2為勾自乘之數，以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一
平方為弦自乘之數，即 (50 – x)2 = x2 – 100x + 2500。內減去勾自乘之一平方餘二千五百尺少一百根為股自乘之
數，即 – 100x + 2500。凡勾自乘之數與勾股相乘之數及股自乘之數為相連比例三率。則以首率勾自乘之一平方x2與末率股自乘之
二千五百尺少一百根，即 – 100x + 2500相乘得二千五百平方少一百立方，即：x2(– 100x + 2500) = – 1
00x3 + 2500x2又以勾股積二百四十尺倍之得四百八十尺 (2 × 240 = 480) 為中率，自乘得二十三萬零四百尺，是
為二千五百平方少一百立方與二十三萬零四百尺相等，即：4802 = – 100x3 + 2500x2– 100x3 + 2500x2
= 230400二千五百平方少一百立方旣與二十三萬零四百尺相等，則一平方少二十五分立方之一必與九十二尺一十六寸相等，即：– x3
+ 25x2 = 2304x3 – 25x2 + 2304 = 0，分解因式得：(x – 16)(x2 – 9x – 144)
= 0。取 x = 16，即勾之長。乃以九十二尺一十六寸為扁方體積，用帶縱開立方法算之得一十六尺為一根之數，卽勾數﹝見上式﹞。與勾
弦和五十尺相減餘三十四尺卽弦數，即 (50 – 16)尺 = 34尺，。又以勾十六尺除倍積四百八十尺得三十尺，即 = 30﹝尺﹞
，卽股數也。此有勾股積有勾弦和求勾股弦法。如上題，本題所用之“勾股定理法”所得之結果與“相連比例三率法”相同。〈第二十四題〉設如有
數十萬為一率，作相連比例四率，使一率與四率相加，與二率三倍等。問：二率、三率、四率各幾何？解：本題乃經典之題，值得留意。筆者已有文
提及此題，現再作補充。相連比例四率指 = ，即 一率 × 四率 = 二率 × 三率。已知一率為100000，今設二率為 x，三率
為 y，四率為 z，依題意可列出以下二方程式：100000 + z = 3x ------------------- (1)100
000z = xy又一率、二率、及三率有以下關係：100000y = x2故三率y = 。又二率、三率、及四率有以下關係：y2 =
xz即 ()2 = xzxz = 故四率z = 。今將各率乘以 1000002，即一率為1000003，二率為1000002x，
三率為100000x2，四率為x3，(1) 式可寫成：1000003 + x3 = 30000000000xx3 – 300000
00000x +1000003 = 0 解x = 34729。法：借一根x為二率，以二率一根自乘得一平方x2，以一率十萬除之得十萬
分平方之一為三率，故三率 = 。又以二率一根與三率十萬分平方之一相乘得十萬分立方之一，以一率十萬除之得一百億分立方之一為四率，故四
率 = 。將四率俱以百億乘之，則一率為一千兆1000003，二率為一百億根10000000000x，三率為一十萬平方100000x
2，四率為一立方x3。因四率為百億分立方之一，以百億乘之則得一整立方，故將餘三率俱以百億乘之，其比例始相當也。乃以一率與四率相加得
一千兆多一立方，又以二率三倍之得三百億根，是為三百億根與一千兆多一立方相等。即：1000003 + x3 = 3000000000
0x兩邊各減去一立方得三百億根少一立方與一千兆相等，1000003 = 30000000000x – x3乃以一千兆為實以三百億根
為法，用割圜內新增益實歸除法算之得三萬四千七百二十九為一根之數，卽相連比例之第二率也。解x 得 34729，卽第二率。以二率自乘一
率除之，得一萬二千零六十一為相連比例之第三率。即三率 = = 12061。又以二率與三率相乘，一率除之，得四千一百八十七為相連比
例之第四率。即四率 = = 4187。乃以一率與四率相加得一十萬零四千一百八十七，與二率之三倍相等也。此卽求圜內容十八邊法。即
已知一圓之半徑，求圓內接正十八邊形一邊之長，以下為其圖：半圓心角為10oO 圓心角為20o。AMB本題即圓半徑為 100000，求
圓內接18邊形一邊之長。圓內接18邊形一邊之長x為本題之二率，即ΔAOB之底AB，OM為其中垂線。AB = 2MB = 2OB s
in 10o = 2 × 100000 × 0.173648177 = 34729，此即為二率。今將四率重列一次如下：一率 = 1
00000二率 = 34729三率 = 12061四率 = 4187O以下為其一般情況﹝見右圖﹞：一率 = r (OB)二率 =
2r sin 10o (AB)三率 = 4r sin2 10o (AC)C四率 = 8r sin3 10o (AD)ADBΔOAB
乃形成正18邊形其中之一之三角形，∠AOB = 20o，作CB線使∠ABC = 20o，又作CD線使∠ACD = 20o，從圖可知
若OB = OA 為一率，則AB = CB 為二率，CA = CD 為三率，AD 為四率。注意ΔOAB、ΔABC 與ΔCAD 均相
似。一率與四率相加，得 100000 + 4187 = 104187，二率之三倍，得 34729 × 3 = 104187。可知兩
數相等。一率 + 四率 = r + 8r sin3 10o，二率之三倍為 6r sin 10o即 r + 8r sin3 10o
= 6r sin 10o若 r = 1，sin 10o = v，上式可寫成：1 + 8v3 = 6v8v3 – 6v + 1 =
0 ------------------------------- (2)故v = sin 10o 必為一解。而sin 10o =
0.173648177。試看以下之問題及算法：若cos 3θ = ，求2sin 。又3θ < 90o。顯然，3θ = 60o，因
為 cos 60o = 。所以 θ = 20o，2sin = 2sin 10o = 2 × 0.173648177 = 0.34
7296355。又依三角恒等式可知：cos 3θ = cos3θ – 3cosθ sin2θ = ，今設 cosθ = w，方程式
cos3θ – 3cosθ sin2θ = 可寫成：w3 – 3w(1 – w2) = w3 – 3w + 3w3 = 4w3
– 3w = 8w3 – 6w – 1 = 0--------------------------------------- (3
)從以上之說明可知 w = cos 20o 必為一解，即 w = 0.93969262。x = 2sin = 2sin 10o
= 0.347296355。試比較 (2) 和 (3) 式相似之處。〈第二十六題〉設如有大小二正方面，大方毎邊為小方毎邊之二倍，若
以兩面積相乘得五萬八千五百六十四尺。問：二方邊面積各幾何？解：題意指有兩個正方形，一大一小。設x尺為小正方形毎邊之長，又設2x尺為
大正方形毎邊之長。小正方形面積為x2方尺及大正方形面積為4x2方尺。依題意可列出以下方程式：x2 × 4x2 = 585644x4
= 58564x4 = 14641開方得x2 = 121再開方得x = 11。小正方形毎邊長11尺，面積為121平方尺。大正方形
毎邊長22尺，面積為484平方尺。法：借一根x為小方毎邊之數，則大方毎邊數為二根2x。以一根自乘得一平方x2為小方之面積，以二根自乘得四平方4x2為大方之面積。以一平方與四平方相乘得四三乘方4x4為兩方面積相乘之數，與五萬八千五百六十四尺相等，即：4x4 = 58564。四三乘方旣與五萬八千五百六十四尺相等，則一三乘方必與一萬四千六百四十一尺相等，即x4 = 14641。乃以一萬四千六百四十一尺為三乘方積用開三乘方法算之得十一尺為一根之數，即x = 11。卽小方每邊之數，倍之得二十二尺，即22尺，卽大方每邊之數，以十一尺自乘得一百二十一尺，112 = 121，卽小方之面積。以二十二尺自乘得四百八十四尺，222 = 484，卽大方之面積。兩面積相乘得五萬八千五百六十四尺，即 121 × 484 = 58564 尺4﹝注意單位﹞，以合原數也。此開三乘方法。(1) |
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