《御製數理精蘊》之借根方比例之(4)

《御製數理精蘊》之借根方比例之(4)上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：
“借根方比例?體類”其實是涉及體積之方程式及比例，大部分問題均屬淺易。本文尚涉及經典之題“圜內容十四邊法”，此題尚涉及一元三次方程
式之三角函數解法。此外尚涉及高次方之未知數。關鍵詞：借根 連比例四率 銀鞘 解錢糧船本文數學題取材自《御製數理精藴?下編?卷三十六
?末部六》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“借根方比例?體類”。“借根”之意乃為“設XX為x”，因為x之解稱為“根”，所以稱預設之未知
數為“借根”。筆者已有文名為〈《御製數理精蘊》之借根方比例之(1)〉、〈之(2)〉及〈之(3)〉，本文乃以上三文之延續。注意《數理
精藴》尚未有“平方尺”、“立方尺”或更高次方之單位，故筆者在有須要時作出更正。以下為本文採用之“相連比例三率”式﹝《數理精藴》常用
此比例﹞：首率：中率 = 中率：末率寫成分數式 = ，即 中率2 = 首率 × 末率。借根方比例體類之〈第一題〉至〈第二十四題〉
見前三文。〈第二十五題〉設如有數十萬為一率，作相連比例四率，使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率之數等。問：二率、三率、四率各幾何
？解：相連比例四率指 = ，即 一率 × 四率 = 二率 × 三率。已知一率為100000，今設二率為 x，三率為 y，四率為
z，依題意可列出以下二方程式：100000 + z = 2x + y ------------------- (1)100000z
= xy又一率、二率、及三率有以下關係：100000y = x2故三率y = 。又二率、三率、及四率有以下關係：y2 = xz即
()2 = xzxz = 故四率z = 。今將各率乘以 1000002，即一率為1000003，二率為1000002x，三率為1
00000x2，四率為x3，(1) 式可寫成：1000003 + x3 = 20000000000x + 100000x2x3 –
100000x2 – 20000000000x + 1000003 = 0解 x 得 44504，即二率。法：借一根x為二率，以
二率一根自乘得一平方x2，以一率十萬除之得十萬分平方之一為三率，即 ；以二率一根與三率十萬分平方之一相乘得十萬分立方之一，即 ；以
一率十萬除之得一百億分立方之一為四率，即 。將四率俱以百億乘之則一率為一千兆1000003，二率為一百億根1000002x，三率為
一十萬平方100000x2，四率為一立方x3。乃以一率與四率相加得一千兆多一立方，即1000003 + x3，又以二率倍之得二百億
根加一三率得二百億根多十萬平方，即20000000000x + 100000x2。是為二百億根多十萬平方與一千兆多一立方相等，兩邊
各減去一立方得二百億根多十萬平方少一立方，與一千兆相等。1000003 + x3 = 20000000000x + 100000x
2x3 – 100000x2 – 20000000000x + 1000003 = 0x = 44504。乃以一千兆為實，以二百億
根為法，用割圜內益實兼減實歸除法算之，得四萬四千五百零四 44504 為一根之數，卽相連比例之第二率也。以二率自乘一率除之得一萬九
千八百零六 19806 為相連比例之第三率，又以二率與三率相乘，一率除之得八千八百一十四 8814 為相連比例之第四率。乃以一率與
四率相加得一十萬零八千八百一十四，與二率兩倍加一三率之數相等也。此卽求圜內容十四邊法。即已知一圓之半徑，求圓內接正十四邊形一邊之長
，以下為其圖：O圓心角為25 度。AMB本題即圓半徑為 100000，求圓內接14邊形一邊之長。一邊之長即為二率。圓內接14邊形一
邊之長x為本題之二率，即ΔAOB之底AB，OM為其中垂線。∠MOA = ∠MOB = 12o = 12.8571429o。AB =
2MB = 2OB sin 12o = 2 × 100000 × 0.222520934 = 44504，此即為二率。今將四率重
列一次如下：一率 = 100000二率 x = 44504三率 = = = 19806。四率 = = = 8814。以下為
其一般情況﹝見右圖﹞：O一率 = r (OB)二率 = 2r sin 12o (AB)三率 = 4r sin2 12o (AC)C
四率 = 8r sin3 12o (AD)ADB若一率 = 1 (OB)，二率 = 2sin 12o (AB) = 0.44504
1867，三率 = 4r sin2 12o (AC) = 0.198062264，四率 = 8r sin3 12o (AD) =
0.088145999。ΔOAB乃形成正14邊形其中之一之三角形，∠AOB = 25o，作CB線使∠ABC = 25o，又作CD線
使∠ACD = 25o，從圖可知若OB = OA 為一率，則AB = CB 為二率，CA = CD 為三率，AD 為四率。注意ΔO
AB、ΔABC 與ΔCAD 均相似。從以上結果可知：一率 + 四率，得 100000 + 8814 = 108814，二率之兩倍
+ 三率，得 44504 × 2 + 19806 = 89008 + 19806 = 108814。可知兩數相等。換成另一種形式寫
法：一率 + 四率 = r + 8r sin3 12o，二率之兩倍 + 三率 = 4r sin 12o + 4r sin2 12o
即 r + 8r sin3 12o = 4r sin 12o + 4r sin2 12o若 r = 1，sin 12o = v，上
式可寫成：1 + 8v3 = 4v + 4v2﹝左右兩方均等於 1.088146﹞移項得8v3 – 4v2 – 4v + 1 =
0 ------------------------------- (2)故v = sin 12o 必為 (2) 之一解。而sin
12o = 0.222520934。筆者已有文名為〈《數理精藴》之圓內容十四邊形法與一元三次方程式關係〉，本文作補充。〈第二十七
題〉設如有解錢糧船不言數，但知每船所載銀鞘之數比船數加一倍，每鞘內銀數與共鞘數等，其共銀數為五百三十四萬五千三百四十四兩。問：船數
、鞘數各若干？解：“解錢糧船”指押送官餉之船。“鞘”用以裝載銀兩之長形堅硬之筒。今設船數為 x，則每船所載銀鞘之數為2x，則共銀鞘
之數為2x2，又因每鞘內銀數為2x2，則共銀數為 2x2 × 2x2 = 4x4，依題意可列出以下方程式：4x4 = 534534
4x4 = 1336336開方得x2 = 1156再開方得x = 34。即船數為 34，每船所載銀鞘之數為2x 即 68，則共銀鞘
之數為2x2 = 2312，共銀數為 2x2 × 2x2 = 4x4 = 23122 = 5345344﹝兩﹞。法：借一根x為船數
，則每船所載鞘數為二根，即2x，以一根與二根相乘得二平方為共鞘數，即2x2，亦為每鞘內銀數。自乘得四三乘方，即4x4 ﹝注意三乘方
之說法﹞，與五百三十四萬五千三百四十四兩相等，即4x4 = 5345344。四三乘方旣與五百三十四萬五千三百四十四兩相等，則一三乘
方必與一百三十三萬六千三百三十六兩相等，即以4約得 x4 = 1336336。乃以一百三十三萬六千三百三十六兩為三乘方積，用開三乘
方法算之，得三十四為一根之數，卽船數，即x = 34。倍之得六十八，即68，卽每船之鞘數。以船數三十四與每船所載鞘數六十八相乘得二
千三百一十二為共鞘數，卽 34 × 68 = 2312，亦卽每鞘內之銀數，自乘得五百三十四萬五千三百四十四兩，卽 23122 =
5345344﹝兩﹞，以合原數也。此開三乘方法。〈第二十八題〉設如有一正方又有一長方，二方面積共二十三萬六千一百九十六尺，長方之長
比正方面積多二十四尺，長方之闊比正方面積少二十尺。問：二方邊面積各幾何？解：設一正方形一邊之長為 x 尺，長方之長為 (x2 +
24) 尺，長方之闊為 (x2 – 20) 尺。依題意可列出以下方程式：x2 + (x2 + 24)(x2 – 20) = 236
196x2 + x4 + 4x2 – 480 = 236196x4 + 5x2 – 236676 = 0，分解因式得：(x2 –
484)(x2 + 489) = 0。取x2 – 484 = 0即 x2 = 484取x = 22。即正方形一邊之長為 22 尺。
法：借一根x為正方每邊之數，自乘得一平方，即x2，為正方之面積。則長方之長為一平方多二十四尺，即x2 + 24，長方之闊為一平方少
二十尺，即 x2 – 20，長闊相乘得一三乘方多四平方少四百八十尺，為長方面積，即：(x2 + 24)(x2 – 20) = x4
+ 4x2 – 480。加正方面積之一平方得一三乘方多五平方少四百八十尺為二方之共面積，與二十三萬六千一百九十六尺相等。即：x2
+ x4 + 4x2 – 480 = 236196。兩邊各加四百八十尺，得一三乘方多五平方與二十三萬六千六百七十六尺相等，即x4
+ 5x2 – 236676 = 0。乃以二十三萬六千六百七十六尺為帶縱三乘方積，用帶縱開三乘方法算之，得二十二為一根之數，即x
= 22，卽正方每邊之數。自乘得四百八十四尺為正方面積，222 = 484，加二十四尺得五百零八尺為長方之長，即484 + 24
= 508﹝尺﹞，減二十尺得四百六十四尺為長方之闊，即484 – 20 = 464﹝尺﹞。長闊相乘得二十三萬五千七百一十二尺為長
方面積，兩面積相加得二十三萬六千一百九十六尺，即 508 × 464 + 484 = 235712 + 484 = 236196﹝
方尺﹞，以合原數也。此帶縱開三乘方法。〈第二十九題〉設如有一長方其面積五百二十七丈，又有大小二正方其面積共一千二百五十丈，大正方邊
與長方之長等，小正方邊與長方之闊等。問：長方之長、闊各幾何？解：設大正方形一邊之長為 x 丈，長方之長亦為x 丈，長方之闊為 丈
，依題意可列出以下方程式：x2 + ()2 = 1250x2 + = 1250x4 + 277729 = 1250x2x4 –
1250x2 + 277729 = 0，分解因式得：(x2 – 961)(x2 – 289) = 0。取x2 – 961 = 0即
x2 = 961再開方得x = 31。取x = 31﹝丈﹞。即大正方形一邊之長為 31 丈。小正方形一邊之長為 丈 = 17丈
。大小二正方形面積和 = (312 + 172) 方丈 = (961 + 289) 方丈 = 1250 方丈。注意方程式之另一解即
為小正方形之邊長，亦為長方形之闊。法：借一根x為大方每邊之數，自乘得一平方x2為大方之面積，則小方之面積為一千二百五十丈少一平方
1250 – x2。此大方面積與長方面積及小方面積為相連比例三率，乃以首率大方面積一平方與末率小方面積一千二百五十丈少一平方相乘，
得一千二百五十平方少一三乘方，又以長方面積五百二十七丈為中率，自乘得二十七萬七千七百二十九丈，此兩數為相等。即：x2(1250 –
x2) = 52721250x2 – x4 = 277729乃以二十七萬七千七百二十九丈為帶縱三乘方積，用帶縱開三乘方法算之，得
三十一為一根之數，卽大方每邊之數，亦卽長方之長。x4 – 1250x2 + 277729 = 0，分解因式得：(x2 – 961)
(x2 – 289) = 0(x – 31)(x + 31)(x – 17)(x + 17) = 0。取x = 31﹝丈﹞。即大正
方形一邊之長為 31 丈。以長三十一丈除長方面積五百二十七丈得十七丈，即 丈 = 17丈，卽長方之闊，亦卽小正方每邊之數。乃以三
十一丈自乗得九百六十一丈為大方面積，即 312 = 961﹝方丈﹞，以十七丈自乘得二百八十九丈為小方面積，172 = 289﹝方丈
﹞，兩面積相加得一千二百五十丈，即 (961 + 289) 方丈 = 1250 方丈，以合原數也。此帶縱開三乘方法。〈第三十題〉設
如有一方臺，俱係正方石砌成，其用石之塊數與每一石之面積等，其共石之體積為五十三萬七千八百二十四寸。問：用石之塊數及每一石之邊數若干
？解：設每一正立方石之邊長為 x 寸，用石之塊數為 x2，一正立方石之體積為 x3 立方寸，總體積為x3 × x2 = 53782
4x5 = 537824x = 14。所以每一石之邊長為14寸，14自乘得 196 為所用石之塊數。一石之體積為 2744 立方寸
，總體積 = 2744 × 196 = 537824﹝立方寸﹞。法：借一根x為每一石之邊數，自乘得一平方x2為每一石之面積，亦卽所
用石之塊數，再乘得一立方x3為每一石之體積，與所用石之塊數一平方相乘，得一四乘方x5為共石之體積，與五十三萬七千八百二十四寸﹝立方
寸﹞相等。x5 = 537824解x = 14。乃以五十三萬七千八百二十四寸為四乘方積，用開四乘方法算之，得一十四寸為一根之數，卽
每一石之邊數，即x = 14﹝寸﹞。142自乘得一百九十六寸196 方寸為每一石之面積，亦卽所用石之塊數。再乘得二千七百四十四寸為
每一石之體積，即143 = 2744，與所用石之塊數相乘得五十三萬七千八百二十四寸，即143 × 142 = 537824，以合原
數也。此開四乘方法。〈第三十一題〉設如有二十四正方體，又有一扁方體，共積八百二十九萬四千四百寸，扁方體之髙與正方體之邊數等，扁方體
之長與闊俱與正方體之面積等。問：正方體、扁方體之邊數各若干？解：設每一正立方體之邊長為 x 寸，亦卽扁方體之髙。扁方體之長與闊俱為
x2 寸，24個正立方體之體積為 24x3 立方寸，扁方體之體積為 x(x2)(x2) = x5立方寸，依題意所得之方程式為：24
x3 + x5 = 8294400x5 + 24x3 – 8294400 = 0，分解因式得：(x – 24)(x4 + 24x3
+ 600x2 + 14400x + 345600) = 0。取 x = 24 。即每一正立方體之邊長為 24 寸，亦卽扁方體之
髙。扁方體之長與闊俱為x2 寸，即242 = 576 寸。24正立方體之體積為 24x3 = 331776﹝立方寸﹞，又扁方體之體
積為 x(x2)(x2) = x5 = 245 = 7962624﹝立方寸﹞。法：借一根x為正方體每邊之數，亦卽扁方體之髙數。以一
根自乘x2得一平方為正方體之面積，亦卽扁方體之長與闊。再乘得一立方x3為正方體之積，以二十四乘之得二十四立方為二十四正方體之共積，
即24x3。又以扁方體之長闊一平方自乘得一三乘方x4，再以髙一根乘之得一四乘方為扁方體之積x5。兩積數相加得一四乘方多二十四立方，
即x5 + 24x3，與共體積八百二十九萬四千四百寸相等。即：24x3 + x5 = 8294400。乃以八百二十九萬四千四百寸為
帶縱四乘方積，用帶縱開四乘方法算之，得二十四寸為一根之數，卽正方體之每邊亦卽扁方體之髙。x5 + 24x3 – 8294400 =
0，分解因式得：(x – 24)(x4 + 24x3 + 600x2 + 14400x + 345600) = 0。取 x =
24 。即正方體每邊之長為24寸。自乘得五百七十六寸為正方體之面積，即242 = 576 寸，亦卽扁方體之長與闊。再乘得一萬三千八
百二十四寸為一正方體之積，即 243 = 13824﹝立方寸﹞。以二十四乘之得三十三萬一千七百七十六寸，為二十四正方體之共積，即
24 × 13824 = 331776﹝立方寸﹞。又以扁方體之長闊五百七十六寸自乘再以髙二十四寸乘之，得七百九十六萬二千六百二十四
寸為一扁方體積，即 24 × 5762 = 7962624﹝立方寸﹞。兩積相加得八百二十九萬四千四百寸，以合原數也。即 (3317
76 + 7962624) 立方寸 = 8294400立方寸。此帶縱開四乘方法。〈第三十二題〉設如有商人貿易，第一次之銀數比原本銀
加一倍，第二次之銀數與第一次銀自乘再乘之數等。第三次之銀數與第一次銀自乘又乘第二次銀之數等，將第三次之銀數與第二次之銀數相加得三萬
三千二百八十兩。問：原本銀數及每次銀數各若干？解：有商人以貿易獲取利潤，設x兩為原本銀數﹝即本金﹞，則第一次所得之銀數為二根，即
2x。自乘再乘得八立方，即 (2x)3 = 8x3為第二次所得之銀數。第三次之銀數與第一次銀自乘又乘第二次銀之數等，即 (2x)2
× 8x3 = 32x5，依題意可列出以下方程式：32x5 + 8x3 = 332804x5 + x3 = 41604x5 +
x3 – 4160 = 0x5 + x3 – 1040 = 0，分解因式得：(x – 4)(x4 + 4x3 + 16.25x2
+ 65x + 260) = 0。取 x = 4 。即 4 兩為原本銀數，則第一次所得之銀數為 2x，即 8 兩。即 (2x)3
= 8x3= 8 × 64 = 512﹝兩﹞為第二次所得之銀數。第三次之銀數為 32x5 = 32 × 45 = 32768﹝兩﹞
。第三次之銀數與第二次之銀數相加得 32768 + 512﹝兩﹞= 33280﹝兩﹞。法：借一根x為原本銀數，則第一次之銀數為二根
，即 2x，自乘再乘得八立方為第二次之銀數。以第一次自乘之四平方4x2與第二次之八立方8x3相乘得三十二四乘方32x5﹝兩﹞為第三
次之銀數。與第二次之銀數八立方相加得三十二四乘方多八立方與三萬三千二百八十兩相等，即 32x5 + 8x3 = 33280﹝兩﹞。
三十二四乘方多八立方旣與三萬三千二百八十兩相等，則一四乘方多四分立方之一必與一千零四十兩相等。即 x5 + x3 – 1040 =
0。乃以一千零四十兩為帶縱四乘方積，用帶縱開四乘方法算之，得四兩為一根之數，卽原本銀數也。(x – 4)(x4 + 4x3 +
16.25x2 + 65x + 260) = 0。取 x = 4 ﹝兩﹞為原本銀數。倍之得八兩為第一次之銀數。自乘再乘得五百一十二
兩，即 83 = 512﹝兩﹞為第二次之銀數，又以第一次銀數八兩自乘之六十四兩，即 82 = 64﹝兩﹞，與第二次之銀數五百一十二
兩相乘得三萬二千七百六十八兩，即 64 × 512 = 32768﹝兩﹞為第三次之銀數，與第二次之銀數相加，得三萬三千二百八十兩以
合原數也，即 32768 + 512﹝兩﹞= 33280﹝兩﹞。此帶縱開四乘方法。〈第三十三題〉設如有一小長方體，闊為髙之二倍，長
為髙之三倍。又有一大長方體，其每邊之比例與小長方體同，其髙數與小長方體長闊相乘之數等，體積八萬二千九百四十四尺。問：二長方體長、闊
、髙各幾何？解：設x為小長立方體之髙，則闊為2x，長為3x。長闊相乘得 6x2為大長立方體之髙，倍之得 12x2為大長立方體之闊，
18x2為大長立方體之長，長闊相乘再以髙乘之得：6x2 × 12x2 × 18x2 = 829441296x6 = 82944x6
= 64x3 = 8開立方得x = 2。小長立方體之髙為2尺，則闊為2x = 4﹝尺﹞，長為3x = 6﹝尺﹞。長闊相乘得 6x
2= 24﹝尺﹞為大長立方體之髙，倍之得 48尺為大長立方體之闊，18x2 = 72﹝尺﹞為大長立方體之長，體積為 82944 立
方尺。法：借一根x為小長方體之髙，則闊為二根2x，長為三根3x。長闊相乘得六平方2x × 3x = 6x2為大長方體之髙，倍之得十
二平方12x2為大長方體之闊，三因之得十八平方18x2為大長方體之長。長、闊相乘再以髙乘之得一千二百九十六五乘方為大長方體積，與八
萬二千九百四十四尺相等。即：6x2 × 12x2 × 18x2 = 82944。一千二百九十六五乘方旣與八萬二千九百四十四尺相等，
則一五乘方必與六十四尺相等。即：1296x6 = 82944x6 = 64。乃以六十四尺為五乘方積，用開五乘方法算之，得二尺為一根
之數，卽小長方體之髙，先開平方得：x3 = 8再開立方得x = 2。倍之得四尺，卽小長方體之闊，三因之得六尺，卽小長方體之長。長闊
相乘得二十四尺，卽大長方體之髙，倍之得四十八尺，卽大長方體之闊，三因之得七十二尺，卽大長方體之長。長、闊相乘再以髙乘之得八萬二千九
百四十四尺，卽 24 × 48 × 72 = 82944﹝立方尺﹞，以合原數也。此開五乘方法。〈第三十四題〉設如有大小二正方體，大
方體積比小方體積多一千七百四十四寸，以小方邊與大方邊相乘得一百四十寸。問：二正方體之邊數、體積各幾何？解：設x寸為小立方體一邊之長
，大立方體一邊之長為 寸，小立方體體積為 x3，大立方體體積為 ()3 = ，依題意可列出以下方程式： – x3 = 17442
744000 – x6 = 1744x3x6 + 1744x3 – 2744000 = 0，分解因式得：(x3 – 1000)(x
3 + 2744) = 0取 x3 – 1000 = 0x3 = 1000開立方取x = 10。故小立方體一邊之長為10寸，大立方
體一邊之長為 寸，即14寸。小立方體體積為 103 = 1000﹝立方寸﹞，大立方體體積為 143 = 2744﹝立方寸﹞，相差
1744立方寸。法：借一根x為小方體每邊之數，以一根除一百四十寸得一根之一百四十寸 為大方體每邊之數，以一根自乘再乘得一立方x
3為小方體積數。以一根之一百四十寸自乘再乘得一立方之二百七十四萬四千寸 為大方體積，內減小方體積一立方，餘一立方之二百七十四萬四
千寸少一立方，與一千七百四十四寸相等，即 – x3 = 1744。兩邊各以立方乘之，得一千七百四十四立方，與二百七十四萬四千寸少
一五乘方相等，即2744000 – x6 = 1744x3。兩邊各加一五乘方得一五乘方多一千七百四十四立方，與二百七十四萬四千寸相
等，即 x6 + 1744x3 = 2744000。乃以二百七十四萬四千寸為帶縱五乘方積，用帶縱開五乘方法算之得十寸為一根之數，卽
小方體每邊之數，即 x = 10。以十寸除一百四十寸得一十四寸，x = 14，卽大方體每邊之數，以小方體每邊十寸自乘再乘得一千寸為
小方體積，即 103 = 1000﹝立方寸﹞。以大方體每邊十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸為大方體積，即 143 = 2744﹝立
方寸﹞。兩體積相減餘一千七百四十四寸，即 (2744 – 1000) 立方寸 = 1744 立方寸，以合原數也。此帶縱開五乘方法。
〈第三十五題〉設如有大、小二正方體，共積四千一百二十三寸。以小方邊與大方邊相乘得四十八寸。問二正方體之邊數、體積各幾何？解：設x寸
為小立方體一邊之長，大立方體一邊之長為 寸，小立方體體積為 x3，大立方體體積為 ()3 = ，依題意可列出以下方程式： + x
3 = 4123x6 + 110592 = 4123x3x6 – 4123x3 + 110592 = 0，分解因式得：(x3 –
27)(x3 – 4096) = 0取 x3 – 27 = 0x3 = 27開立方取x = 3。即小立方體一邊之長為3寸，大立方體
一邊之長為 寸 = 16寸，小立方體體積為 33 = 27﹝立方寸﹞，大立方體體積為 163 = 4096﹝立方寸﹞，其和為27
+ 4096 = 4123﹝立方寸﹞。法：借一根為小方體每邊之數，以一根除四十八寸得一根之四十八寸，即 寸，為大方體每邊之數。以
一根自乘再乘得一立方x3立方寸為小方體積，以一根之四十八寸自乘再乘得一立方之一十一萬零五百九十二寸 立方寸為大方體積。兩體積相加
得一立方多一立方之一十一萬零五百九十二寸與四千一百二十三寸相等，即： + x3 = 4123。兩邊各以立方乘之得四千一百二十三立方
與一五乘方多一十一萬零五百九十二寸相等，即：x6 + 110592 = 4123x3。兩邊各減一五乘方得四千一百二十三立方少一五乘
方與一十一萬零五百九十二寸相等，即：4123x3 – x6 = 110592。乃以一十一萬零五百九十二寸為帶縱五乘方積，用帶縱開五
乘方法算之，得三寸為一根之數，卽小方體每邊之數。以三寸除四十八寸得十六寸為大方體每邊之數，即 = 16﹝寸﹞，以小方體每邊三寸自
乘再乘得二十七寸為小方體積數，即 33 = 27﹝立方寸﹞，以大方體每邊十六寸自乘再乘得四千零九十六寸為大方體積數，即 163 =
4096﹝立方寸﹞。兩體積相加得四千一百二十三寸，即 27 + 4096 = 4123﹝立方寸﹞，以合原數也。此帶縱開五乘方法。
〈第三十六題〉設如有一長方體積二千一百八十七尺，其髙數自乘與闊等，闊數自乘與長數等。問：髙、闊、長各若干？解：設x尺為長立方體之高
，其闊為x2尺，其長為x4尺，則其體積為：x × x2 × x4 = 2187x7 = 2187x = 3。所以長方體之高為3尺，
其闊為9尺，其長為81尺。法：借一根x為髙，自乘得一平方x2為闊，以闊自乘得一三乘方x4為長。長闊相乘得一五乘方，即x2 × x4
= x6，再以髙乘之得一六乘方，即x × x6 = x7，為長方體積，與二千一百八十七尺相等。即 x7 = 2187﹝立方尺﹞。
乃以二千一百八十七尺為六乘方積，用開六乘方法算之，得三尺為一根之數，卽長方之髙。x7 = 2187x = 3。自乘得九尺，卽32
= 9﹝尺﹞，卽長方之闊，以闊自乘得八十一尺為長方之長，卽92 = 81﹝尺﹞，乃以長闊相乘再以髙乘之得二千一百八十七尺，卽3 ×
9 × 81 = 2187﹝立方尺﹞，以合原數也。此開六乘方法。〈第三十七題〉設如甲、丙正方花園二所，園中各有正方水池一面，甲池
每邊為丙池每邊之三倍，甲園每邊與甲池之面積等；丙園每邊與丙池之面積等，若以兩園之面積相乘得五百三十萬八千四百一十六尺。問：園池每邊
各若干？解：設x尺為丙池每邊之長，則甲池每邊之長為3x尺，丙池之面積為x2尺，卽丙園每邊之長。丙園之面積為x4平方尺。依題意可列出
以下方程式：(9x2)2 × (x2)2 = 530841681x4 × x4 = 530841681x8 = 5308416x8
= 65536x = 4。所以丙池每邊長4尺，甲池每邊長12尺。法：借一根x為丙池每邊之數，則甲池每邊之數為三根3x。以一根自乘
得一平方x2為丙池之面積，卽丙園每邊之數。自乘得一三乘方x4為丙園之面積，以三根自乘得九平方9x2為甲池之面積，卽甲園每邊之數自乘
得八十一三乘方81x4為甲園之面積。兩園之面積相乘得八十一七乘方與五百三十萬八千四百一十六尺相等，即：81x8 = 5308416
。八十一七乘方旣與五百三十萬八千四百一十六尺相等，則一七乘方必與六萬五千五百三十六尺相等，即：x8 = 65536。乃以六萬五千五
百三十六尺為七乘方積，用開七乘方法算之，得四尺為一根之數，即x = 4，卽丙池每邊之數，三因之得十二尺，卽甲池每邊之數。以甲池每邊
十二尺自乘得一百四十四尺，即 122 = 144﹝方尺﹞為甲池之面積，卽甲園每邊之數。以丙池每邊四尺自乘得一十六尺為丙池之面積，卽
丙園每邊之數。以甲園每邊一百四十四尺自乘得二萬零七百三十六尺，即 1442 = 20736，卽甲園之面積，以丙園每邊十六尺自乘得二
百五十六尺，即 162 = 256，卽丙園之面積。乃以兩園面積相乘得五百三十萬八千四百一十六尺，即 256 × 20736 = 5
308416，以合原數也。此開七乘方法。〈第三十八題〉設如有甲、乙、丙三長方體，甲方之髙為闊二分之一，乙方之髙與闊為甲方之二倍，丙
方之髙與闊為甲方之三倍，俱不知長。甲方體積與面積自乘之數等乙方之體積與髙闊相併乘，甲方面積之數等丙方之體積與乙方體積自乘再乘之數等
。今但知丙方體積八十八萬四千七百三十六丈。問：三方髙、闊、長各若干？解：設x丈為甲方之髙，則甲方之闊為2x丈，乙方之髙亦為2x丈，
乙方之闊為4x丈。丙方之髙為3x丈，丙方之闊為6x丈。甲方之面積 = x × 2x = 2x2，甲方體積 = (2x2)2 = 4
x4，乙方體積 = 2x2(2x + 4x) = 2x2 × 6x = 12x3，丙方之體積 = (12x3)3 = 1728x9
，依題意可列出以下方程式：1728x9 = 884736x9 = 512開立方得 x3 = 8再開立方得x = 2。本題頗為複雜，
宜注意以下之算法。法：借一根x為甲方之髙，則甲方之闊為二根，即2x，乙方之髙亦為二根，亦即2x，乙方之闊為四根，即4x，丙方之髙為
三根，即3x，丙方之闊為六根，即6x。以甲方髙一根x與闊二根2x相乘得二平方，即2x2，卽甲方之面積，自乘得四三乘方，即 (2x2
)2 = 4x4卽甲方之體積。乙方髙二根2x與闊四根4x相併得六根，即 6x，與甲方面積二平方相乘得十二立方，即 2x2 × 6x
= 12x3，卽乙方之體積，自乘再乘得一千七百二十八八乘方，即 (12x3)3 = 1728x9，卽丙方之體積，與八十八萬四千七
百三十六丈相等。即：1728x9 = 884736。一千七百二十八八乘方旣與八十八萬四千七百三十六丈相等，則一八乘方必與五百一十二
丈相等。即x9 = 512。乃以五百一十二丈為八乘方積，用開八乘方法算之，得二丈為一根之數，即x = 2，卽甲方之髙，倍之得四丈，
即2x = 4，卽甲方之闊。髙闊相乘得八丈，即 2 × 4 = 8﹝方丈﹞，卽甲方之面積，自乘得六十四丈，即 82 = 64﹝立方
丈﹞，卽甲方之體積。又將甲方髙二丈倍之得四丈，即4丈，卽乙方之髙，將甲方闊四丈倍之得八丈，即8丈，卽乙方之闊。髙闊相併得一十二丈，
即 4 + 8 = 12，與甲方面積八丈相乘，得九十六丈，即 12 × 8 = 96﹝立方丈﹞，卽乙方之體積。又以髙四丈闊八丈相乘
得三十二丈，即 4 × 8 = 32﹝方丈﹞，以除體積九十六丈，得三丈，即 = 3丈，卽乙方之長。又將甲方髙二丈，三因之得六丈，即 6丈，卽丙方之髙。將甲方闊四丈，三因之得一十二丈，即 12丈，卽丙方之闊，以乙方體積九十六丈自乘再乘得八十八萬四千七百三十六丈，卽丙方之體積，即 963 = 884736，又髙六丈闊十二丈相乘得七十二丈，即 6 × 12 = 72丈，以除體積八十八萬四千七百三十六丈，即 = 12288 丈，得一萬二千二百八十八丈，卽丙方之長也。此開八乘方法。以下為三長方體三邊之長﹝單位：丈﹞立方體高闊長甲248乙483丙61212288〈第三十九題〉設如有客船不言數，但云每船之人數與船數等，每人之本銀數與船數自乘再乘之數等，其共銀自乘之數為六千零四十六萬六千一百七十六兩。問：船數人數各若干？解：設x為船數，每船有x 人。總人數為x2 。每人有銀 x3 兩，所以共銀數為 x2 × x3 = x5 兩。依題意可列出以下方程式：(x5)2 = 60466176x10 = 60466176x5 = 7776x = 6。可知船數為6，每船有 6 人。總人數為62 = 36 。每人有銀 x3 = 216 兩，所以共銀數為 (x2 × x3)2 = x10 = (36 × 216)2 = (7776)2 = 60466176兩。法：借一根x為船數，亦為每船之人數，以一根自乘得一平方x2為共人數，再乘得一立方為每人本銀數，即x3 兩。與一平方相乘得一四乘方為共銀數，即總銀數為 x5 兩。以一四乘方，即x5自乘得一九乘方，即x10為本銀自乘之數，與六千零四十六萬六千一百七十六兩相等，即x10 = 60466176乃以六千零四十六萬六千一百七十六為九乘方積，用開九乘方法算之，得六為一根之數，卽船數，亦卽每船之人數。先開方得x5 = 7776x = 6。自乘得三十六為共人數，即 62 = 36，再乘得二百一十六為每人之銀數，即 63 = 216，以三十六人乘之得七千七百七十六兩為共銀數，即 36 × 216 = 7776，自乘得六千零四十六萬六千一百七十六兩，即 77762 = 60466176，以合原數也。此開九乘方法。(1)