8.6 三角形内角和定理（2）外角定义：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.∠1是△ABC的∠ ACB的
外角.你能在图中画出△ABC的其他外角吗？..图中标出的红点也是外角.加油！再找找其他的！新知探究如图. ∠1是△ABC的一个外角
, ∠1与图中的其它角有什么关系?∠1+∠4=180° ;∠1>∠2;∠1>∠3;∠1=∠2+∠3.证明:∵∠2+∠3+∠4=18
0°(三角形内角和定理), ∠1+∠4=180° (平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).能证明你的结论吗?三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于
任何一个和它不相邻的内角.议一议三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.在这里
,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.推论可以当作定理
使用. 推论：三角形内角和定理的推论:推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2: 三角形的一个外角大于任何一
个和它不相邻的内角.△ABC中: ∠1=∠2+∠3;∠1>∠2,∠1>∠3.这个结论以后可以直接运用.推论：例2 已知:如图,在
△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相
邻的两个内角的和), ∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行). ∠B=∠C (已知),
∴∠DAC=∠C(等量代换).∵ AD平分 ∠EAC(已知).··例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.还有
其它方法吗？方法一应用··例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
∠B=∠C (已知), ∵ AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAE=∠B(等
量代换). ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行).这里是运用了公理“同位角相等,两直线平行”得到了证实.证
明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),方法二应用·例2 已知:如图,在△ABC中,AD
平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. ∠DAC=∠C (已证), ∵ ∠BAC+∠B+∠C =18
0° (三角形内角和定理).∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换).∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).这
里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.证明:由证法1可得:·方法三应用例3 已知:如图, ∠BAF, ∠CBD,
∠ACE是△ABC的三个外角。求证: ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.BACDFE123证明:∵ ∠BAF是△ABC的一
个外角（已知）∴ ∠BAF=∠2+∠3 (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).同理，∠CBD=∠1+∠3 ， ∠ACE
= ∠1+∠2.∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2× 180°= 360°（等量代换）∵ （ ∠1+∠2 + ∠3）=180°（
三角形内角和定理）∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（ ∠1+∠2 + ∠3）（等式的性质）已知:如图所示,在△ABC中,外角∠
DCA=100°,∠A=45°.求:∠B和∠ACB的大小.解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DC
A=100°(已知),∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵
∠DCA+∠BCA=180°(平角意义). ∴ ∠ACB=80°(等式的性质). ∠A=45°
(已知),随堂练习三角形内角和定理 ： 三角形三个内角的和等于180°。推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和.推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.推论3: 直角三角形的两锐角互余.课堂小结 |
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