8.6 三角形内角和定理（3）三角形内角和定理 ： 三角形三个内角的和等于180°。推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和.推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.推论3: 直角三角形的两锐角互余.已知:国旗
上的正五角星形如图所示.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义), ∴ ∠1=∠B+∠
D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠A
+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义),∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =18
0°(等式性质). 在证明五角星形五个顶角的和等于180°时，小明想通过连接CD，把五个角“凑”到△ACD内。
例4 已知:如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证: ∠1>∠2.证明:∵
∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).∵∠3是△C
DE的一个外角 (外角定义). ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任 何一个和 它不相邻的内角). ∴ ∠1>∠2(
不等式的性质).例5 已知:如图,P 是△ABC内一点,连接PB，PC. 求证: ∠ BPC ＞ ∠A.证明：如图，延长BP，交A
C于点D.∵ ∠ BPC是△PDC的一个外角（外角的定义） ∴ ∠ BPC ＞ ∠ PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻
的内角） ∵ ∠ PDC是△ABD的一个外角（外角的定义） ∴ ∠ PDC ＞ ∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内
角） ∴ ∠ BPC ＞ ∠ A你还有其他的证明方法吗？已知:如图所示.求证:(1)∠BDC>∠A;(2) ∠BDC=∠A+∠B+
∠C.证明(1):延长BD与AC相交于E∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外
角大于和它不相邻的任何一个外角).∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).∴ ∠BDC>∠A (不等式
的性质).∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义),已知:如图所示.求证:(1)∠BDC>∠A;(2) ∠BDC=∠A+∠
B+∠C.证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和).∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和).∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C
(等式的性质).∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义),随堂练习 1、2习题8.9 数学理解 |
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