《數理精藴》之邊角和差解任意三角形法上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：
《數理精藴》卷三十八提及解一任意三角形之法，其形式為兩已知邊夾一已知角。其法涉及兩已知邊之和及差，其角之解亦涉及兩角之和及差，故筆
者稱之為“邊角和差解任意三角形法”，此法可代替餘弦公式。關鍵詞： 邊角和差法 餘弦公式 假數 真數 四點共圓本文數學題取材自《
御製數理精藴?下編?卷三十八?末部八》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“對數比例”。本文亦涉及三角函數之對數及以查對數表法以計算多位之
乘數。以現代數學而言，此乃對數算法之基礎知識，故本文淺易，宜作數學史觀之。本文主要談及《數理精藴》之解任意三角形，其形式為兩已知邊
夾一已知角，解此三角形。其法涉及兩已知邊之和及差，其角之解亦涉及兩角之和及差，故筆者稱之為“邊角和差解任意三角形法”，現代數學界鮮
有談及，故值得留意。不過現代有餘弦公式 (cosine formula) 可用，比《數理精藴》之法更為直接，但從“邊角和差法”可了
解清初之解任意三角形法，此亦為數學史上之重要里程碑也。今設此三角形如下圖所示：丙bθ乙c甲即已知甲丙為b，乙甲為c，甲角為θ ，求
丙角與乙角，亦求乙丙之長。《數理精藴》之解頗為精闢，值得詳細介紹。作圖﹝紅線為作圓線﹞：取AD = AC，又AF = AC，連CE
並延長至F，作BF垂直BA。連CD及FD，又作AG垂直CD。C半較角β?(180o – θ)bG?(180o – θ) EθBcA
Dβ半較角F已知 ∠CAB = θ，CA = AD = AE = b，BA = c，注意 ?(180o – θ) 之角。《數理精藴
》之要點乃為求∠ECB，今設∠ECB = β，為半較角。算得β後，即能算出∠BCA及∠CBA。從圖可知 ∠CAD = 180o –
θ，因AG垂直CD，所以∠CAG = ∠DAG = (180o – θ)。又因為ΔCAE等腰，所以底角相等，即∠ACE = ∠A
EC = (180o – θ)，是為半外角。即∠ACE = ∠CAG，兩角互為內錯角，所以 AG 平行CF，所以∠FCD = 90
o。又因為FB垂直BD﹝作圖﹞，所以∠FBD = 90o。即∠FCD =∠FBD = 90o。依四點共圓定理可知，FBCD四點共圓
。因為FBCD四點共圓，所以∠FCB = ∠BDF = β，此乃重要之結果，因為∠FCB 難以求得，但求∠BDF較易，所以証明∠F
CB = ∠BDF乃重要之步驟。以下為算出∠BDF之步驟：從圖可知BE = c – b ，BD = c + b，此即兩邊之差與和。
∠BEF = ∠AEC = (180o – θ) ﹝對頂角﹞，BF = BE tan [(180o – θ)] = (c – b)
tan [(180o – θ)]。又 = tan∠BDFtan∠BDF = tan [(180o – θ)]∠BDF = ta
n– 1 tan [(180o – θ)]。∠BCA =∠BCF +∠ECA =∠ECA +∠BDF= (180o – θ) +
tan– 1 tan [(180o – θ)]。∠CBD =∠CEA – ∠BCF =∠CEA –∠BDF= (180o – θ)
– tan– 1 tan [(180o – θ)]。此即為角之和差。以下為求CB長之步驟：CβHbEθBcAF作圖：自B點作BH
垂線﹝藍線﹞垂直CA，顯然BH = BA sin θ .= c sin θ。此即為正弦定理。在ΔBHC中，BH = BC sin∠
BCA﹝故必須先算出角BCA﹞。BC = BH ÷ sin∠BCA= c sin θ ÷ sin {(180o – θ) + ta
n– 1 tan [(180o – θ)]}。以上即為《數理精藴》所用之解三角形法。以下之《數理精藴》例乃以對數法解以上形式之三
角形：設如甲乙丙 (ABC) 三角形甲角五十度，甲乙 (AB) 邊十六丈，(AC) 甲丙邊十二丈。問：丙角、乙角及乙丙邊各若干？解
：已知∠CAB = 50o，CA = AD = AE = 12，BA = 16﹝單位為丈﹞。從上文及上圖可知：BF = BE ta
n [(180o – 50o)]= (16 – 12) tan 65o= 4 × tan 65o= 8.578027682﹝丈﹞。
以下為對數法：log BF = log 4 + log tan 65o= 0.6020599913 + 0.3313274522=
0.9333874435。求反對數得BF = 8.578027682﹝丈﹞。以下為其圖：C半較角β65o12G65o半外角E50
oB16ADβF上圖之BD = 28丈為邊總，BE = 4丈為邊較，∠CAG 65o為半外角。從圖可知` = tan∠BDF =
tan βtan β = = 0.306358131。β = 7.0328714o。以下為對數法：log tan β = log
log tan β = log 8.578027682 – log 28log tan β = 0.9333874435 – 1
.4471580313log tan β = (– 1).4862294122 = – 0.513770587tan β = 0.
306358131。β = 17.0328714o= 17o 1.97’﹝寫作17o 2’﹞。所以丙角 = 65o + 17o 2
’ = 82o 2’。乙角 = 65o – 17o 2’ = 47o 58’。法：以甲乙邊十六丈與甲丙邊十二丈相加，得二十八丈為邊
總，甲乙邊與甲丙邊相減餘四丈為邊較，甲角五十度與一百八十度相減餘一百三十度，折半為六十五度為半外角。《數理精藴》八線之圓半徑為10
0億，故其對數之首數與筆者所用不同。以下為其細草：乃以邊較四丈作四○○○之假數三六○二○五九九九一三 (0.6020599913)
，與半外角六十五度之正切假數 (log tan) 一○三三一三二七四五二二 (0.3313274522) 相加，得一三九三三三八七
四四三五 (0.9333874435)，內減邊總二十八丈作二八○○○之假數四四四七一五八○三一三 (1.4471580313)，餘
九四八六二二九四一二二 [(– 1).4862294122] 為半較角正切之假數，查正切假數，相近所對之眞數得十七度二分 (17o
2’) 為半較角。與半外角相加得八十二度二分為對甲乙大邊之丙角，與半外角六十五度相減，餘四十七度五十八分為對甲丙小邊之乙角也。以
上算法可參閱筆者之算式。以下為相關之對數及三角函數之對數：查《御製數理精藴表》卷五之一，真數4之列，得其對數為0.60205999
13。查《御製數理精藴表》卷五之一，真數28之列，得其對數為1.4471580313。又查《御製數理精藴表》卷八上，真數tan 6
5o之列，得其對數為0.3313274522。查《御製數理精藴表》卷七下，已知其對數為 (– 1).4862294122，得其近似
真數為tan 17o 2’。以下為求CB之長之式：CB = c sin θ ÷ sin 82.0328714o= 16 × sin
50o ÷ sin 82.0328714o= 12.37616895。以下為對數法：log CB = log (16 × sin
50o ÷ sin 82.0328714o)log CB = log 16 + log sin 50o – sin 82.032
8714o= 1.2041199827 + (– 1).8842539665 – (– 1). 9957882098= 1.088
3739492 – (– 1). 9957882098= 1.0925857394。求反對數得CB = 12.376丈﹝一十二丈三
尺七寸六分﹞。以下之算法較精確：log CB = log 16 + log sin 50o – sin 82.0328714o=
1.2041199827 + (– 1).8842539665 – (– 1). 995787719= 1.0883739492
– (– 1). 995787719= 1.09258623。CB = 12.37616897。以下為細草：又求丙乙邊，則以五十度
之正弦 (sin 50o) 假數九八八四二五三九六六五 [(– 1).8842539665]，與十六丈作一六○○○之假數四二○四一
一九九八二七 (1.2041199827)，相加得一四○八八三七三九四九二 (1.0883739492)，內減丙角八十二度二分之正
弦假數九九九五七八八二○九八 [(– 1). 9957882098]，餘四○九二五八五七三九四 [1.0925857394] 為丙
乙邊之假數，查假數相近所對之眞數得一二三七六，即一十二丈三尺七寸六分，為丙乙邊也。凡眞數用加減然後比例者，須以眞數加減得數，再查假
數依法算之，餘皆倣此。以下為對數之原文：查《御製數理精藴表》卷五之一，真數16之列，得其對數為1.2041199827。查《御製數
理精藴表》卷八下，真數sin 50o之列，得其對數為(– 1).8842539665。查《御製數理精藴表》卷七上，真數sin 82
o 2’之列，得其對數為(– 1). 9957882098。查《御製數理精藴表》卷五之二下，其對數為1.0925857394，其真
數為 12.376。附錄：以下為本題現代之解法：依餘弦公式 (cosine formula) 即可得CB2 = 122 + 162
– 2 × 12 × 16 × cos 50o= 144 + 256 – 384 cos 50o= 400 – 384 cos 50o= 153.1695579。開方得 CB = 12.37616895。取CB = 12.376丈﹝一十二丈三尺七寸六分﹞。又依正弦公式 (sine formula) 可得： = sin C = = 0.990347751。角C = 82.0328714o= 82o 1.97’。取角C = 82o 2’。所以角B = 180o – 50o – 82o 2’ = 47o 58’。以上結果與《數理精藴》相同。[1] |
|
