《數理精藴》之三角函數對數及一般對數用法之一上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keun
g提要：《數理精藴》有對數之說，對數又稱為“假數”。對數之原數又稱為“真數”。本文主要談及八線對數﹝三角函數對數﹞及一般對數之用法
及相關例題，簡單淺易，宜作數學史觀之，即以本文作為了解清初之對數數學及其概況。關鍵詞： 對數 假數 真數 八線本文數學題取材
自《御製數理精藴?下編?卷三十八?末部八》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“對數比例”。《數理精藴》之所謂“對數比例”其實就是一數之對
數，以下為其定義：若x = by，取對數得y = logb x。?y就是x﹝以底數 (base) 為b﹞之對數。《數理精藴》稱x為
真數，對數?y稱之為“假數”﹝不論任何底數，但《數理精藴》所指之對數乃指一般之對數，即以10為底數﹞，三角函數之對數亦稱為“假數”
。本文主要涉及三角函數之對數及以查對數表法。以現代數學而言，此乃對數算法之基礎知識，但自從掌上電子計算機面世後，無人再用對數表計算
乘除數及以“查表法”計算三角函數。本文頗為淺易，宜作數學史觀之，即以本文作為了解清初之對數數學及其概況。第1節 三角函數之對數《數
理精藴》有八線對數之說，在沒有電子計算機之年代，以對數法運算三角函數乃屬重要之方法。《數理精藴》之所謂“八線”指八種三角函數，即正
弦、正切、正割、餘弦、餘切、餘割、正矢（英文：versine、versed sine）及餘矢（英文：vercosine、verse
d cosine）。至於正矢及餘矢之定義，《數理精藴》曰：八線內有正矢、餘矢二線，正矢即半徑減餘弦之數，餘矢即半徑減正弦之數，故表
內雖不列正矢、餘矢，而其數已寓矣。即versine θ = 1 – cos θ 及vercosine θ = 1 – sin θ。
《御製數理精藴表》卷七上至卷八下乃為八線對數表，該書其實無正矢、餘矢二表，但有正弦及餘弦之表，正、餘二矢只以1減之，故亦算作有正矢
、餘矢二表。在未談對數之前，《御製數理精藴表》卷三之一至卷三之五提供1至50000有因數之數，但限於分解成兩個因數。例如 4996
4 = 24982 × 2，分拆成相乘之數寫在該數之下方﹝見下圖﹞，但無列出12491 × 4之相乘法，其他數皆如此。若一數為質數
，則不能分拆成兩數之積，該數下方之方格留空。49964 = 24982 × 2以下為原文之全頁圖：卷三之五在後還提供40000至5
0000之間之質數﹝見上圖左方頁之左三欄﹞。《御製數理精藴表》卷四之一至卷四之五尚提供50000至100000有因數之數，亦限於分
解成兩個因數。卷四之五還提供50000至100000之間之質數，情況如卷三之一至卷三之五。《數理精藴》之求八線之對數，即求其“假數
”，先定圓半徑為10000000000﹝100億﹞，則八線之數亦相應擴大。《數理精藴》各數均以此標準定對數。《數理精藴?卷三十八》
曰：凡求八線之假數，定半徑為一百億，位數既多，為用愈密，且眞數十一位，則假數首位為一○。以上之說十分明顯，若真數為十一位，則對數小
數點前之整數為10，但《數理精藴》無小數點，筆者用小數點則表示圓半徑為1，故筆者之記數法與《數理精藴》略有差異。【例一】：《數理精
藴》曰：如一分之正弦為二九○八八八二，求其假數得六四六三七二六一一○九。即求 log (sin 1’)。解：若半徑為1，sin 1
’ = sin o = 0.0002908882046。log 0.0002908882046 = (– 4).463726110
9﹝– 4表示小數點前後共4個0，此亦為傳統之表示法﹞。在對數中 – 4 乃為負數，但 0. 4637261109是一正數。現代之
電子計算機則表示為：– 4 + 0. 4637261109 = – 3.536273889。若不採用電子計算機運算，則以傳統之表示
法為合，因為運算較易。若半徑為100億，則 sin o = 2908882.046，現在以查表法求log 2908882.046。
log 2908882.046 = 6.4637261109。6.4637261109之6乃指2908882 有7位。《數理精藴》
之說見筆者之算式。若要查2908882之對數，見《御製數理精藴表?卷五之三》第四十七頁，29088列，即得6.4637138615
﹝此數誤差很大﹞。或以《御製數理精藴表?卷七上》之正弦對數表直接查出6.4637261109，如下圖所示：6.4637261109
之數﹝注意小數點前之數﹞乃為正弦0o 1’之對數：以下為原文之全頁圖：以下為《御製數理精藴表?卷一上》之正弦對數表：一分之正弦為
2909 (0.0002908882046)。以下為全頁圖：【例二】：又如六十度之正弦為八六六○二五四○三八，求其假數得九九三七五
三○六三一七。解：即求log (sin 60o)。若半徑為1，sin 60o = 0.8660254038。log 0.86602
54038 = (– 1).9375306317﹝同上例，– 1表示小數點前有1個0，此亦為傳統之表示法﹞。現代之電子計算機則表示
為：– 1 + 0. 9375306317 = – 0.062469368。若半徑為100億，則 sin 60o = 866025
4038。log (8660254038) = 9.9375306317。或從正弦對數表直接查出9.9375306317﹝見《御製
數理精藴表?卷八》﹞。先查 sin 60o之值。從《御製數理精藴表?卷二上》可得下表，又最後一列得正弦60o = 8660254。
以《御製數理精藴表?卷八上》之正弦對數表直接查出log (sin 60o) = 9.9375306317。以下為放大圖log (s
in 60o) = 9.9375306317。《數理精藴》有另外一例如下。【例三】：如求六十度切線之假數，則以六十度正弦之假數九九
三七五三○六三一七為二率，半徑之假數一○○○○○○○○○○○為三率，六十度餘弦之假數九六九八九七○○○四三為一率，二三率相加內減一
率餘一○二三八五六○六二七四，即六十度正切線之假數。題意指若半徑為100億，log (sin 60o) = 9.937530631
7，log (cos 60o) = 9.6989700043，求log (tan 60o)。解： = log = loglog (
tan 60o) – log 10000000000 = log (sin 60o) – log (cos 60o)log (ta
n 60o) = log (sin 60o) – log (cos 60o) + 10= 9.9375306317 – 9.698
9700043 + 10= 10.2385606274﹝見下表末列正切線對數表欄﹞。題意指若半徑為1，log (sin 60o)
= log 0.866025403 = (– 1).9375306317，log (cos 60o) = log 0.5 = (–
1).6989700043，求log (tan 60o)。解：tan 60o = log(tan 60o) = loglog (
tan 60o) = log (sin 60o) – log (cos 60o)log (tan 60o) = (– 1).937
5306317 – (– 1).6989700043 = 0.2385606274注意 (– 1) – (– 1) = 0。即得
tan 60o = 1.732050808。以下為全頁之圖：以《御製數理精藴表?卷八上》之正弦對數表直接查出log (cos 60
o) = 9.6989700043﹝見上表最後一列餘弦對數表欄﹞。【例四】：如求六十度割線 (secant) 之假數，則以半徑之假
數一○○○○○○○○○○○為二率，又為三率六十度餘弦之假數，九六九八九七○○○四三為一率，二率倍之內減一率餘一○三○一○二九九九五
七，即六十度正割線之假數也。解：sec 60o = log (sec 60o) = log= log 10000000000 –
log (cos 60o)= 10 – ( – 0.3010299957)= 10.3010299957。注意 200000000
000 – 96989700043= 103010299957。文中之所謂“二率倍之”即為以上之式。若半徑為1，則 log (se
c 60o) = log= log 1 – log (cos 60o)= 0 – ( – 0.3010299957)= 0.301
0299957。第2節 對數之應用對數可以將複雜之乘或除數化簡為加或減數，而這種化簡法一直應用至手掌般大之電子計算機面世為止。電子
計算機面世後，顯然不須要再用對數計算乘除數。以下為以對數之法以計算乘除數之例：【例一】設如一百二十三與四百五十六相乘，問：得幾何？
解：今以對數法求123 × 456。log (123 × 456) = log 123 + log 456= 2.08990511
14 + 2.6589648427= 4.7488699541。查反對數即anti-log (4.7488699541) = 56
088。《數理精藴》曰：法以對數表之一二三 (123) 之假數二○八九九○五一一一四 (20899051114) 與四五六 (45
6) 之假數二六五八九六四八四二七 (26589648427) 相加，得四七四八八六九九五四一 (47488699541)。乃查假
數四七四八八六九九五四一所對之眞數，得五六○八八 (56088) 即五萬六千零八十八為相乘所得之數也。以下為《數理精藴》之原文。查
《御製數理精藴表》卷五之一，真數123之列，得其對數為2.0899051114﹝為避免錯誤，宜加上小數點﹞。《御製數理精藴表》卷五
之一，真數456列，得其對數為2.6589648427。兩對數之和為4.7488699541，從下表可知，真數是 56088。即
123 × 456 = 56088。其他三位數之乘法相類。【例二】：設如三千四百五十六與二千六百七十九相乘，問：得幾何？解：題意指
以對數法求3456 × 2679。﹝其積為 9258624﹞log (3456 × 2679) = log 3456 + log
2679= 3.5385737338 + 3.4279727136= 6.9665464474。查反對數即anti-log (6.
9665464474) 即得9258624。兩對數和之整數部分為6，即其真數有七位，但對數表只有五位，仍欠兩位，先找出966546
4474 相關之五位真數，此數為 92586，補上兩0成為 9258600，然後以比例法再算出 00 所代表之真數。查《御製數理精
藴表》卷五之一，真數3456之列，得其對數為3.5385737338。查《御製數理精藴表》卷五之一，真數2679之列，得其對數為3
.4279727136。查《御製數理精藴表》卷六之五，可忽略整數6，(4).9665464474 之相近數為 (4).966545
3216，其真數為 92586。《數理精藴》曰：法：以對數表之三四五六 (3456) 之假數三五三八五七三七三三八 (3.5385
737338) 與二六七九 (2679) 之假數三四二七九七二七一三六 (3.4279727136) 相加得六九六六五四六四四七四
(6.9665464474)。因對數表假數首位止於四眞數，止於五位，故將相加所得假數首位之六暫當四，查假數四九六六五四六四四七四
(4.9665464474)，相近畧少者為四九六六五四五三二一六 (4.9665453216)，其相對之眞數得九二五八六 (92
586)，即為九二五八六○○ (9258600)。因假數首位多二數，則眞數必多二位，又以九二五八六○○ (9258600) 之假數
與九二五八七○○ (9258700) 之假數相減，餘四六九○七 (46907) 為一率，即：即 log 9258700 – log
9258600 = 6.9665500123 – 6.9665453216 = 0.000046907﹝一率﹞以九二五八六○○與
九二五八七○○相減餘一○○為二率，即 9258700 – 9258600 = 100﹝二率﹞今相加所得之假數與九二五八六○○之假數
相減餘一一二五八為三率，即 6.9665464474 – 6.9665453216 = 0.000011258﹝三率﹞得四率二四即眞數九二五八六之後二位之數。即四率 = = 24.0006822，取24之數。以上之四率算法見以下以原文之圖。葢假數多四六九○七 (46907)，則眞數多一百 (100)，今假數多一一二五八 (11258)，則眞數應多二十四 (24)，為比例四率也。乃以所得二四與九二五八六○○相加，得九二五八六二四，即九百二十五萬八千六百二十四為相乘所得之數也。即 9258600 + 24 = 9258624。大凡眞數二四位以後其假數之較相差無多，故眞數即可與假數為比例，若用前累乘累除之法，固為甚密，然較之比例，則難而得數，則同此對數表所以止於五位也。以下為原文之圖：本題之求法，非常值得現代人注意。[1] |
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