六 年 级 数 学 下 册 重 要 知 识 要 点
第 五 章 基 本 平 面 图 形
1 . 直 线 、 射 线 与 线 段 的 概 念
注 意 ：
（ 1 ） 直 线 是 可 以 向 两 边 无 限 延 伸 的 ， 射 线 受 端 点 的 限 制 ， 只 能 向 一 边 无 限 延 伸 ； 线 段 不 能 延 伸 ， 所 以 直 线 与
射 线 不 可 测 量 长 度 ， 只 有 线 段 可 以 测 量 。
? ( ? ? ? )
（ 2 ） 若 一 条 直 线 上 有 n ( n ≥ 2 正 整 数 ） 个 点 ， 则 有 条 线 段 ， 有 2 n 条 射 线 。
?
应 用 ： 乘 火 车 从 A 站 出 发 ， 沿 途 经 过 B 、 C 、 D 三 个 车 站 到 达 E 站 ， 那 么 这 5 个 车 站 之 间 最 多 有 1 0 种 不
同 票 价 ， 应 准 备 2 0 种 不 同 的 车 票 。
? ( ? ? ? )
（ 3 ） 平 面 内 n ( n ≥ 2 正 整 数 ） 个 点 ， 最 多 可 以 画 出 条 直 线 。
?
4 × 3
应 用 ： 平 面 内 4 个 点 可 ， 最 多 以 画 出 = 6 条 直 线 ；
2
2 . 基 本 事 实
（ 1 ） 经 过 两 点 有 且 只 有 有 一 条 直 线 ， 即 两 点 确 定 一 条 直 线 。 图 1
如 图 1 ， 经 过 刨 平 的 木 板 上 的 两 个 点 ， 能 弹 出 一 条 笔 直 的 墨 线 ， 而 且 只 能 弹 出 一 条 墨 线 ， 能 解 释 这 一 实 际 应
用 的 数 学 知 识 是 两 点 确 定 一 条 直 线
（ 2 ） 两 点 之 间 线 段 最 短
如 图 2 ， 小 光 准 备 从 ? 地 去 往 ? 地 ， 打 开 导 航 显 示 两 地 距 离 为 3 7 . 7 k m ， 但 导 航 提 供 的 三 条 可 选 路 线 长 却 分 别 为
4 5 k m , 5 0 k m , 5 1 k m ， 能 解 释 这 一 现 象 的 数 学 知 识 是 两 点 之 间 线 段 最 短
3 . 基 本 概 念
（ 1 ） 两 点 间 的 距 离 ： 连 接 两 点 之 间 的 线 段 长 度 叫 做 两 点 间 的 距 离 。 图 2
（ 2 ） 线 段 的 中 点 ： 线 段 上 一 点 ， 把 这 条 线 段 分 成 两 条 相 等 的 线 段 ， 这 个 点 叫 做 这 条 线 段 的 中 点1
性 质 ： ∵ 点 M 是 线 段 A B 的 中 点 判 定 ： ∵ A M = B M （ 或 A M = B M = ? ? 或 A B = 2 A M = 2 B M ）
2
1
∴ A M = B M = A B （ 或 A B = 2 A M = 2 B M ） ∴ 点 M 是 线 段 A B 的 中 点
2
4 . 双 中 点 模 型
1
如 图 所 示 ， C 为 A B 上 任 意 一 点 ， M 、 N 分 别 为 A C 、 B C 中 点 ， 则
M N ? A B
2
5 、 度 量 角 的 大 小 ： 可 用 “ 度 、 分 、 秒 ” 作 为 度 量 单 位 。
（ 1 ） 把 一 个 圆 周 角 分 成 3 6 0 等 份 ， 每 一 份 叫 做 一 度 的 角 。
（ 2 ） 把 1 ° 的 角 6 0 等 分 ， 每 一 份 叫 作 1 分 的 角 ， 记 作 1 ′
（ 3 ） 把 1 ′ 的 角 6 0 等 分 ， 每 一 份 叫 作 1 秒 的 角 ， 记 作 1 ″
1° = 60′ 1′= 60″
例 ： 1 1 2 . 2 7 ° = 1 1 2 ° + 0 . 2 7 × 6 0 ′ = 1 1 2 ° + 1 6 . 2 ′ = 1 1 2 ° + 1 6 ′ + 0 . 2 × 6 0 ″ = 1 1 2 ° 1 6 ′ 1 2 ″
3 6 2 4 . 6
1 5 ° 2 4 ′ 3 6 ″ = 1 5 ° 2 4 ′ + （ ） ′ = 1 5 ° + （ ） ° = 1 5 . 4 1 °
6 0 6 0
注意 ：分 针每分 钟转 6 °， 时针 每分 钟转 0 .5 °。
6 、 角 平 分 线 定 义 ：
从 一 个 角 的 顶 点 引 出 的 一 条 射 线 ， 把 这 个 角 分 成 两 个 相 等 的 角 ， 这 条 射 线 叫 作 这 个 角 的 平 分 线 。
1
性 质 ： ∵ O C 平 分 ∠ A O B 判 定 ： ∵ ∠ A O C = ∠ B O C = ∠ A O B （ 或 ∠ A O B = 2 ∠ A O C = 2 ∠ B O C ）
2
1
∴ ∠ A O C = ∠ B O C = ∠ A O B （ 或 ∠ A O B = 2 ∠ A O C = 2 ∠ B O C ） ∴ O C 平 分 ∠ A O B
2
( ? + ? ) ( ? + ? )
注 意 ： 在 ∠ A O B 内 部 画 n 条 射 线 O C ， O D ， O E … 则 图 中 有 个 不 同 的 角 ．
?
7 、 角 平 分 线 的 画 法
（ 1 ） 作 已 知 角 的 平 分 线 （ 已 知 ： ∠ A O B 。 求 作 ： ∠ A O B 的 平 分 线 ）
① 以 点 O 为 圆 心 ， 适 当 长 为 半 径 画 弧 ， 交 O A 于 点 M ， 交 O B 于 点 N 。
?
② 分 别 以 M , N 为 圆 心 ， 大 于 M N 的 长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 在 ∠ A O B 的 内 部 相 交 于 点 C 。
?
③ 画 射 线 ， 射 线 即 为 所 求 。
O C O C
8 、 多 边 形 及 其 相 关 概 念
（ 1 ） 多 边 形 的 定 义 ： 由 若 干 条 不 在 同 一 直 线 上 的 线 段 首 尾 顺 次 相 连 组 成 的 封 闭 平 面 图 形 叫 做 多 边 形 . 其 中 各
条 线 段 叫 多 边 形 的 边 ， 相 邻 两 条 边 的 公 共 端 点 叫 多 边 形 的 顶 点 。
（ 2 ） 相 关 概 念
内 角 ： 多 边 形 相 邻 两 边 组 成 的 角 叫 做 它 的 内 角 。
对 角 线 ： 连 接 不 相 邻 两 个 顶 点 的 线 段 ， 叫 做 多 边 形 的 对 角 线 。
注 意 ： 从 n 边 形 的 一 个 顶 点 引 出 （ n - 3 ） 条 对 角 线 ， 并 把 n 变 形 分 成 ( n - 2 ) 个 三 角 形 ， n
? ( ? ? 3 )
变 形 共 有 条 对 角 线 。
2
（ 3 ） 正 多 边 形 ： 各 边 相 等 ， 各 角 也 相 等 的 多 边 形 叫 做 正 多 边 形 。9 、 圆 的 相 关 概 念
（ 1 ） 平 面 上 ， 一 条 线 段 绕 着 它 固 定 的 一 个 端 点 旋 转 一 周 ， 另 一 个 端 点 形 成 的 图 形 叫 做 圆 ， 固 定 的 端 点 称 为 圆 心 ，
旋 转 的 线 段 称 为 半 径 .
2 2
? ?
= =
π r π r
圆 圆
（ 2 ） 圆 弧 ： 圆 上 任 意 两 点 A , B 间 的 部 分 叫 做 圆 弧 ， 简 称 弧 ， 读 作 “ 圆 弧 A B ” 或 “ 弧 A B ” .
（ 3 ） 扇 形 ： 由 一 条 弧 和 经 过 这 条 弧 的 端 点 的 两 条 半 径 所 组 成 的 图 形 叫 做 扇 形 .
（ 4 ） 圆 心 角 ： 顶 点 在 圆 心 的 角 叫 做 圆 心 角 .
特 别 提 醒 ： 圆 心 和 半 径 是 确 定 一 个 圆 的 两 个 必 备 条 件 ， 圆 心 确 定 圆 的 位 置 ， 半 径 确 定 圆 的 大 小 ， 二 者 缺 一 不 可 . 弧
有 两 个 端 点 ， 弧 是 曲 线 段 .
1 0 、 余 角
（ 1 ） 定 义 ： 一 般 地 ， 如 果 两 个 角 的 和 等 于 9 0 ° （ 直 角 ） ， 我 们 就 说 这 两 个 角 互 为 余 角 ， 称 其 中 的 一 个 角 是 另 一 个 角
的 余 角 ．
（ 2 ） 余 角 的 性 质 ： 同 角 ( 等 角 ) 的 余 角 相 等 ．
（ 3 ） 数 学 语 言 表 示 ： 若 ∠ 1 + ∠ 2 = 9 0 ° ， 则 ∠ 1 与 ∠ 2 互 余 ， 若 ∠ 1 与 ∠ 2 互 余 ， 则 ∠ 1 + ∠ 2 = 9 0 ° .
1 1 、 补 角
（ 1 ） 定 义 ： 一 般 地 ， 如 果 两 个 角 的 和 等 于 1 8 0 ° （ 平 角 ） ， 我 们 就 说 这 两 个 角 互 为 补 角 ， 称 其 中 一 个 角 是 另 一 个 角
的 补 角 ．
（ 2 ） 补 角 的 性 质 ： 同 角 （ 等 角 ） 的 补 角 相 等 ．
（ 3 ） 数 学 语 言 表 示 ： 若 ∠ 1 + ∠ 2 = 1 8 0 ° ， 则 ∠ 1 与 ∠ 2 互 补 ， 若 ∠ 1 与 ∠ 2 互 补 ， 则 ∠ 1 + ∠ 2 = 1 8 0 ° .
第 七 章 相 交 线 与 平 行 线
1 . 相 交 线 的 定 义
在 同 一 平 面 内 ， 如 果 两 条 直 线 只 有 一 个 公 共 点 ， 那 么 这 两 条 直 线 叫 做 相 交 线 ， 公 共 点 称 为 两 条 直 线 的 交 点 。 如
图 1 所 示 ， 直 线 A B 与 直 线 C D 相 交 于 点 O 。
A
A
A
D
D
1
4
2 2
O
O 1
3
C O B
C B
C B
图 1 图 2 图 3
2 . 对 顶 角 的 定 义
若 一 个 角 的 两 条 边 分 别 是 另 一 个 角 的 两 条 边 的 反 向 延 长 线 ， 那 么 这 两 个 角 叫 做 对 顶 角 。 如 图 2 所 示 ， ∠ 1 与 ∠ 3 、
∠ 2 与 ∠ 4 都 是 对 顶 角 。
注 意 ： 两 个 角 互 为 对 顶 角 的 特 征 是 ：
（ 1 ） 角 的 顶 点 公 共 ；
（ 2 ） 角 的 两 边 互 为 反 向 延 长 线 ；（ 3 ） 两 条 相 交 线 形 成 2 对 对 顶 角 。
3 . 对 顶 角 的 性 质 ： 对 顶 角 相 等 。
4 . 邻 补 角 的 定 义
如 果 把 一 个 角 的 一 边 反 向 延 长 ， 这 条 反 向 延 长 线 与 这 个 角 的 另 一 边 构 成 一 个 角 ， 此 时 就 说 这 两 个 角 互 为 邻 补 角 。
如 图 3 所 示 ， ∠ 1 与 ∠ 2 互 为 邻 补 角 ， 由 平 角 定 义 可 知 ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 1 8 0 ° 。
知 识 点 4 ： 垂 线
1 ． 垂 线 的 定 义 ： 如 果 两 条 直 线 相 交 所 成 的 四 个 角 中 有 一 个 角 是 直 角 ， 那 么 这 两 条 直 线 互 相 垂 直 ， 其 中 的 一 条 直 线
叫 做 另 一 条 直 线 的 垂 线 ， 它 们 的 交 点 叫 做 垂 足 ． 如 下 图 ， 两 条 直 线 互 相 垂 直 ， 记 作 a ? b 或 A B ⊥ C D 垂 直 于 点 O .
注 意 ： 垂 直 的 定 义 具 有 二 重 性 ， 既 可 以 作 垂 直 的 判 定 ， 又 可 以 作 垂 直 的 性 质 ， 即 有 ：
判 定
? ? ? ? ?
? A O C ? 9 0 ° C D ⊥ A B ．
? ? ? ? ?
性 质
2 ． 垂 线 的 画 法 ： 过 一 点 画 已 知 直 线 的 垂 线 ， 可 通 过 直 角 三 角 板 来 画 ， 具 体 方 法 是 使 直 角 三 角 板 的 一 条 直 角 边 和 已
知 直 线 重 合 ， 沿 直 线 左 右 移 动 三 角 板 ， 使 另 一 条 直 角 边 经 过 已 知 点 ， 沿 此 直 角 边 画 直 线 ， 则 所 画 直 线 就 为 已 知 直 线
的 垂 线 ( 如 图 所 示 ) ．
注 意 ：
( 1 ) 如 果 过 一 点 画 已 知 射 线 或 线 段 的 垂 线 时 ， 指 的 是 它 所 在 直 线 的 垂 线 ， 垂 足 可 能 在 射 线 的 反 向 延 长 线 上 ， 也 可 能
在 线 段 的 延 长 线 上 ．
( 2 ) 过 直 线 外 一 点 作 已 知 直 线 的 垂 线 ， 这 点 与 垂 足 间 的 线 段 为 垂 线 段 ．
3 ． 垂 线 的 性 质 ：
（ 1 ） 在 同 一 平 面 内 ， 过 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 直 线 垂 直 ．
（ 2 ） 连 接 直 线 外 一 点 与 直 线 上 各 点 的 所 有 线 段 中 ， 垂 线 段 最 短 ． 简 单 说 成 ： 垂 线 段 最 短 ．
P
4 ． 点 到 直 线 的 距 离 ：
定 义 ： 直 线 外 一 点 到 这 条 直 线 的 垂 线 段 的 长 度 叫 做 点 到 直 线 的 距 离 ．
m
A D
如 上 图 所 示 ， m 的 垂 线 段 P B 的 长 度 叫 做 点 P 到 直 线 m 的 距 离 。 B C
注 意 ：
（ 1 ） 点 到 直 线 的 距 离 是 垂 线 段 的 长 度 ， 是 一 个 数 量 ， 不 能 说 垂 线 段 是 距 离 ；
（ 2 ） 求 点 到 直 线 的 距 离 时 ， 要 从 已 知 条 件 中 找 出 垂 线 段 或 画 出 垂 线 段 ， 然 后 计 算 或 度 量 垂 线 段 的 长 度
5 、 平 行 线 的 定 义 及 画 法
（ 1 ） 定 义 ： 在 同 一 平 面 内 ， 不 相 交 的 两 条 直 线 叫 做 平 行 线 ， 如 果 直 线 a 与 b 平 行 ， 记 作 a ∥ b ．
注 意 ：
( 1 ) 平 行 线 的 定 义 有 三 个 特 征 ： 一 是 在 同 一 个 平 面 内 ； 二 是 两 条 直 线 ； 三 是 不 相 交 ， 三 者 缺 一 不 可 ；( 2 ) 有 时 说 两 条 射 线 平 行 或 线 段 平 行 ， 实 际 是 指 它 们 所 在 的 直 线 平 行 ， 两 条 线 段 不 相 交 并 不 意 味 着 它 们 就 平 行 ．
( 3 ) 在 同 一 平 面 内 ， 两 条 直 线 的 位 置 关 系 只 有 相 交 和 平 行 两 种 ． 特 别 地 ， 重 合 的 直 线 视 为 一 条 直 线 ， 不 属 于 上 述 任
何 一 种 位 置 关 系 ．
（ 2 ） 平 行 线 的 画 法 ：
用 直 尺 和 三 角 板 作 平 行 线 的 步 骤 ：
① 落 ： 用 三 角 板 的 一 条 斜 边 与 已 知 直 线 重 合 .
② 靠 ： 用 直 尺 紧 靠 三 角 板 一 条 直 角 边 .
_ 2
③ 推 ： 沿 着 直 尺 平 移 三 角 板 , 使 与 已 知 直 线 重 合 的 斜 边 通 过 已 知 点 .
_ 1
P _
_ 4
④ 画 ： 沿 着 这 条 斜 边 画 一 条 直 线 , 所 画 直 线 与 已 知 直 线 平 行 . 3 _
Q _
_ 6
5 _
（ 3 ） 三 线 八 角
_ 8 7 _
两 条 直 线 被 第 三 条 线 所 截 ， 可 得 八 个 角 ， 即 “ 三 线 八 角 ” ， 如 图 6 所 示 。
l a b
（ 1 ） 同 位 角 ： 可 以 发 现 ∠ 1 与 ∠ 5 都 处 于 直 线 的 同 一 侧 ， 直 线 、 的 同 一 方 ， 这 样 位 置 的 一 对 角 就 是 同 位 角 。
图 中 的 同 位 角 还 有 ∠ 2 与 ∠ 6 ， ∠ 3 与 ∠ 7 ， ∠ 4 与 ∠ 8 。
l a b
（ 2 ） 内 错 角 ： 可 以 发 现 ∠ 3 与 ∠ 5 都 处 于 直 线 的 两 旁 ， 直 线 、 的 两 方 ， 这 样 位 置 的 一 对 角 就 是 内 错 角 。 图
中 的 内 错 角 还 有 ∠ 4 与 ∠ 6 。
l a b
（ 3 ） 同 旁 内 角 ： 可 以 发 现 ∠ 4 与 ∠ 5 都 处 于 直 线 的 同 一 侧 ， 直 线 、 的 两 方 ， 这 样 位 置 的 一 对 角 就 是 同 旁 内
角 。 图 中 的 同 旁 内 角 还 有 ∠ 3 与 ∠ 6 。
6 、 平 行 公 理 及 其 推 论
平 行 公 理 ： 过 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 条 直 线 平 行 .
平 行 公 理 的 推 论 ： 如 果 两 条 直 线 平 行 于 第 三 条 直 线 , 那 么 这 两 条 直 线 也 平 行
7 、 平 行 线 的 判 定
① 两 条 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截 ， 如 果 同 位 角 相 等 ， 那 么 这 两 条 直 线 平 行 . （ 同 位 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 ） .
② 两 条 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截 ， 如 果 内 错 角 相 等 ， 那 么 这 两 条 直 线 平 行 . （ 内 错 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 .
③ 两 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截 ， 如 果 同 旁 内 角 互 补 ， 则 这 两 条 直 线 平 行 . （ 同 旁 内 角 互 补 ， 两 直 线 平 行 . ）
9 、 平 行 线 的 性 质
1 . 两 条 平 行 被 第 三 条 直 线 所 截 同 位 角 相 等 . 简 单 说 成 两 直 线 平 行 同 位 角 相 等 .
2 . 两 条 平 行 线 被 第 三 条 直 线 所 截 内 错 角 相 等 . 简 单 说 成 两 直 线 平 行 内 错 角 相 等 .
3 . 两 条 平 行 线 被 第 三 条 直 线 所 截 同 旁 内 角 互 补 . 简 单 说 成 两 直 线 平 行 同 旁 内 角 互 补 .第 六 章 一 元 一 次 方 程第 八 章 整 式 的 乘 除
知识 点 0 1 同底 数幂 的乘法 性质
m n m ? n
m , n
同 底 数 幂 的 乘 法 性 质 ： ( 其 中 都 是 正 整 数 ) . 即 同 底 数 幂 相 乘 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 加 .
a ? a ? a
要 点 诠 释 ： （ 1 ） 同 底 数 幂 是 指 底 数 相 同 的 幂 ， 底 数 可 以 是 任 意 的 实 数 ， 也 可 以 是 单 项 式 、 多 项 式 .
（ 2 ） 三 个 或 三 个 以 上 同 底 数 幂 相 乘 时 ， 也 具 有 这 一 性 质 ，
m n p m ? n ? p
m , n , p
即 （ 都 是 正 整 数 ） .
a ? a ? a ? a
知 识 点 0 2 同 底 数 幂 的 乘 法 的 逆 用 公 式
同 底 数 幂 的 乘 法 的 逆 用 公 式 ： 把 一 个 幂 分 解 成 两 个 或 多 个 同 底 数 幂 的 积 ， 其 中 它 们 的 底 数 与 原 来 的 底 数 相 同 ， 它 们
m ? n m n
m , n
的 指 数 之 和 等 于 原 来 的 幂 的 指 数 . 即 （ 都 是 正 整 数 ） .
a ? a ? a
知识 点 0 3 幂的 乘方 法则
m n m n
m , n
幂 的 乘 方 法 则 ： ( 其 中 都 是 正 整 数 ) . 即 幂 的 乘 方 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 乘 .
( a ) ? a
m n p m np
m , n , p
要 点 诠 释 ： 公 式 的 推 广 ： ( ( a ) ) ? a ( a ? 0 ， 均 为 正 整 数 )
知识 点 0 4 幂的 乘方 法则逆 用公 式
n m
m n m n
幂 的 乘 方 法 则 逆 用 公 式 ： ， 根 据 题 目 的 需 要 常 常 逆 用 幂 的 乘 方 运 算 能 将 某 些 幂 变 形 ， 从 而 解
a ? a ? a
? ? ? ?
决 问 题 .
知识 点 0 5 积的 乘方 法则
n n n
n
积 的 乘 方 法 则 ： ( ab ) ? a ? b ( 其 中 是 正 整 数 ) . 即 积 的 乘 方 ， 等 于 把 积 的 每 一 个 因 式 分 别 乘 方 ， 再 把 所 得 的 幂
相 乘 .
n n n n
n
要 点 诠 释 ： 公 式 的 推 广 ： ( abc ) ? a ? b ? c ( 为 正 整 数 ) .
知识 点 0 6 积的 乘方 法则逆 用公 式
n
n n
积 的 乘 方 法 则 逆 用 公 式 ： a b ? ? ab ? 逆 用 公 式 适 当 的 变 形 可 简 化 运 算 过 程 ， 尤 其 是 遇 到 底 数 互 为 倒 数 时 ， 计 算 更
10 10
1 1
? ? ? ?
10
简 便 . 如 ：
? 2 ? ? 2 ? 1.
? ? ? ?
2 2
? ? ? ?
知识 点 0 7 同底 数幂 的除法
m n m ? n
m , n
( 其 中 都 是 正 整 数 ) . 即 同 底 数 幂 相 除 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 减 .
a ? a ? a
要 点 诠 释 ： （ 1 ） 同 底 数 幂 是 指 底 数 相 同 的 幂 ， 底 数 可 以 是 任 意 的 实 数 ， 也 可 以 是 单 项 式 、 多 项 式 .
m ? n m n
m , n
逆 用 公 式 ： 即 （ 都 是 正 整 数 ） .
a = a ? a
0
知 识 点 0 8 零 指 数 幂 ： （ a ≠ 0 ）
a ? 1
1
? p
知 识 点 0 9 负 指 数 幂 ： a ? （ a ≠ 0 ， p 是 正 整 数 ）
p
a
底 数 的 推 广 ：
n n
? ?
a ( n 为偶数 ) ( a ? b ) ( n 为偶数 )
? ?
n n
( ? a ) ? ( b ? a ) ?
? ?
n n
? ? a ( n 为奇数） ? ? ( a ? b ) ( n 为奇数 )
? ?知识 点 1 0 科学 记数 法
a n
科 学 记 数 法 是 一 种 记 数 的 方 法 ， 它 能 够 将 一 个 数 表 示 为 与 1 0 的 次 幂 相 乘 的 形 式 ， 这 种 记 数 法 特 别 适 用 于 表 示 非
常 大 或 非 常 小 的 数 字 ， 使 得 数 字 的 书 写 更 加 简 洁 ， 同 时 也 便 于 进 行 数 值 计 算 和 比 较 。
n ? n
a
1 ? a ? 10
要 点 诠 释 ： 科 学 记 数 法 的 基 本 形 式 为 ： 或 ， 其 中 ， 不 为 分 数 形 式 ，
a ? 1 0 a ? 10
n
n
n ? 5
（ 1 ） 若 是 较 大 的 数 ， 则 基 本 形 式 为 ： ， 为 整 数 为 位 数 减 1 ， 比如， 数字 1 4 1 0 0 0 ， 它 有 6 为 数 ， 则 ，
a ? 1 0
5
故
141000 ? 1.41 ? 10
? n
n
（ 2 ） 若 是 绝 对 值 小 于 1 的 数 ， 则 基 本 形 式 为 ： ， 为 原 数 左 边 起 第 一 个 不 为 零 的 数 字 前 面 的 0 的 个 数 ， 包
a ? 1 0
? 5
括 小 数 点 前 面 的 0 ． 如
0 . 0 0 0 0 1 2 = 1 . 2 ? 1 0
11 、单 项式 与单项 式相 乘
法 则 ： 一 般 地 ， 单 项 式 与 单 项 式 相 乘 ， 把 它 们 的 系 数 、 同 底 数 幂 分 别 相 乘 ， 对 于 只 在 一 个 单 项 式 里 含 有 的 字 母 ， 则
连 同 它 的 指 数 作 为 积 的 一 个 因 式 ．
（ 1 ） 只 在 一 个 单 项 式 里 含 有 的 字 母 ， 要 连 同 它 的 指 数 写 在 积 里 ， 注 意 不 要 把 这 个 因 式 遗 漏 ．
（ 2 ） 单 项 式 与 单 项 式 相 乘 的 乘 法 法 则 对 于 三 个 及 以 上 的 单 项 式 相 乘 同 样 适 用 ．
（ 3 ） 单 项 式 乘 单 项 式 的 结 果 仍 然 是 单 项 式 ．
【 注 意 】
（ 1 ） 积 的 系 数 等 于 各 项 系 数 的 积 ， 应 先 确 定 积 的 符 号 ， 再 计 算 积 的 绝 对 值 ．
（ 2 ） 相 同 字 母 相 乘 ， 是 同 底 数 幂 的 乘 法 ， 按 照 “ 底 数 不 变 ， 指 数 相 加 ” 进 行 计 算 ．
12、单 项式 与多项 式相 乘
法 则 ： 一 般 地 ， 单 项 式 与 多 项 式 相 乘 ， 就 是 用 单 项 式 去 乘 多 项 式 的 每 一 项 ， 再 把 所 得 的 积 相 加 ．
用 式 子 表 示 ： m （ a + b + c ） = m a + m b + m c （ m ， a ， b ， c 都 是 单 项 式 ） ．
【 注 意 】
（ 1 ） 单 项 式 与 多 项 式 相 乘 ， 结 果 是 一 个 多 项 式 ， 其 项 数 与 因 式 中 多 项 式 的 项 数 相 同 ， 可 以 以 此 来 检 验 在 运 算 中 是 否
漏 乘 某 些 项 ．
（ 2 ） 计 算 时 要 注 意 符 号 问 题 ， 多 项 式 中 每 一 项 都 包 括 它 前 面 的 符 号 ， 同 时 还 要 注 意 单 项 式 的 符 号 ．
（ 3 ） 对 于 混 合 运 算 ， 应 注 意 运 算 顺 序 ， 有 同 类 项 必 须 合 并 ， 从 而 得 到 最 简 结 果 ．
13、多 项式 与多项 式相 乘
（ 1 ） 法 则 ： 一 般 地 ， 多 项 式 与 多 项 式 相 乘 ， 先 用 一 个 多 项 式 的 每 一 项 乘 另 一 个 多 项 式 的 每 一 项 ， 再 把 所 得 的 积 相 加 ．
（ 2 ） 多 项 式 与 多 项 式 相 乘 时 ， 要 按 一 定 的 顺 序 进 行 ． 例 如 （ m + n ） （ a + b + c ） ， 可 先 用 第 一 个 多 项 式 中 的 每 一 项 与 第
二 个 多 项 式 相 乘 ， 得 m （ a + b + c ） 与 n （ a + b + c ） ， 再 用 单 项 式 乘 多 项 式 的 法 则 展 开 ， 即
（ m + n ） （ a + b + c ） = m （ a + b + c ） + n （ a + b + c ） = m a + m b + m c + n a + n b + n c ．
【 注 意 】
（ 1 ） 运 用 多 项 式 乘 法 法 则 时 ， 必 须 做 到 不 重 不 漏 ．
（ 2 ） 多 项 式 与 多 项 式 相 乘 ， 仍 得 多 项 式 ． 在 合 并 同 类 项 之 前 ， 积 的 项 数 应 该 等 于 两 个 多 项 式 的 项 数 之 积 ．知 识 点 1 4 ： 平 方 差 公 式
2 2
平 方 差 公 式 ： ( a ? b ) ( a ? b ) ? a ? b
语 言 描 述 ： 两 个 数 的 和 与 这 两 个 数 的 差 的 积 ， 等 于 这 两 个 数 的 平 方 差 .
a , b
注 意 ： 在 这 里 ， 既 可 以 是 具 体 数 字 ， 也 可 以 是 单 项 式 或 多 项 式 .
知 识 点 1 5 ： 平 方 差 公 式 的 特 征
抓 住 公 式 的 几 个 变 形 形 式 利 于 理 解 公 式 . 但 是 关 键 仍 然 是 把 握 平 方 差 公 式 的 典 型 特 征 ： 既 有 相 同 项 ， 又 有 “ 相
反 项 ” ， 而 结 果 是 “ 相 同 项 ” 的 平 方 减 去 “ 相 反 项 ” 的 平 方 . 常 见 的 变 式 有 以 下 类 型 ：
2 2
① 位 置 变 化 ， ? x ? y ? ? ? y ? x ? ? x ? y
2 2 2 2
② 符 号 变 化 ， ? ? x ? y ? ? ? x ? y ? ? ? ? x ? ? y ? x ? y
2 2 2 2 4 4
③ 指 数 变 化 ， ? x ? y ? ? x ? y ? ? x ? y
2 2
④ 系 数 变 化 ， ? 2 a ? b ? ? 2 a ? b ? ? 4 a ? b
2 2 2 2 2 2 2
⑤ 换 式 变 化 ， ? x y ? ? z ? m ? ? ? x y ? ? z ? m ? ? ? ? x y ? ? ? z ? m ? ? x y ? ? z ? m ? ? z ? m ? ? x y ? ? z ? ? z
2 2 2 2 2
m ? m ? ? x y ? z ? 2 z m ? m
2 2 2 2 2 2 2 2 2
⑥ 增 项 变 化 ， ? x ? y ? z ? ? x ? y ? z ? ? ? x ? y ? ? z ? ? x ? y ? ? x ? y ? ? z ? x ? ? x y ? y ? z ? x ? 2 x y ? y ? z
⑦ 连 用 公 式 变 化 ：
2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 8 8
( a ? b ) ( a ? b ) ( a ? b ) ( a ? b ) ? ( a ? b ) ( a ? b ) ( a ? b ) ? ( a ? b ) ( a ? b ) ? a ? b
知 识 点 1 6 ： 完 全 平 方 公 式
2
2 2 2 2 2
a ? b ? a ? 2 ab ? b
完 全 平 方 公 式 ： ? ? ( a ? b ) ? a ? 2 ab ? b
两 数 和 ( 差 ) 的 平 方 等 于 这 两 数 的 平 方 和 加 上 （ 减 去 ） 这 两 数 乘 积 的 两 倍
注 意 ： 公 式 特 点 ： 左 边 是 两 数 的 和 （ 或 差 ） 的 平 方 ， 右 边 是 二 次 三 项 式 ， 是 这 两 数 的 平 方 和 加 （ 或 减 ） 这 两 数 之 积
的 2 倍 . 以 下 是 常 见 的 变 形 ：
2 2
2 2
a ? b ? a ? b ? 2 ab ? a ? b ? 2 ab
? ? ? ?
2 2
a ? b ? a ? b ? 4 ab
? ? ? ?
知 识 点 1 7 ： 拓 展 、 补 充 公 式
2 2 2 2
（ a+ b + c ） ? a ? b ? c ? 2 ab ? 2 ac ? 2 bc
1 1
2 2
（ a ? ） ? a ? ? 2
2
a a
2
( x ? p ) ( x ? q ) ? x ? ( p ? q ) x ? pq ；
2 2 3 3
( a ? b ) ( a ? a b ? b ) ? a ? b ；
3 3 2 2 3
( a ? b ) ? a ? 3 a b ? 3 ab ? b ；
2 2 2 2
( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2 ab ? 2 ac ? 2 bc1 8 、 单 项 式 除 以 单 项 式 法 则 ： 一 般 地 ， 单 项 式 相 除 ， 把 系 数 与 同 底 数 幂 分 别 相 除 作 为 商 的 因 式 ， 对 于 只 在 被 除 式 里
含 有 的 字 母 ， 则 连 同 它 的 指 数 作 为 商 的 一 个 因 式 ．
单 项 式 除 以 单 项 式 法 则 的 实 质 是 将 单 项 式 除 以 单 项 式 转 化 为 同 底 数 幂 的 除 法 运 算 ， 运 算 结 果 仍 是 单 项 式 ．
【归纳 】该 法则包 括三 个方面 ： （1 ）系 数相 除 ； （2 ）同 底数 幂相除 ； （3）只 在被 除式里 出现 的字母 ，
连同 它的 指数作 为商 的一个 因式．
1 9 、 多 式 除 以 单 项 式 法 则 ： 一 般 地 ， 多 项 式 除 以 单 项 式 ， 先 把 这 个 多 项 式 的 每 一 项 除 以 这 个 单 项 式 ， 再 把 所 得 的 商
相 加 ．
【 注 意 】
（ 1 ） 多 项 式 除 以 单 项 式 是 将 其 化 为 单 项 式 除 以 单 项 式 问 题 来 解 决 ， 在 计 算 时 多 项 式 里 的 各 项 要 包 括 它 前 面 的 符 号 ．
（ 2 ） 多 项 式 除 以 单 项 式 ， 被 除 式 里 有 几 项 ， 商 也 应 该 有 几 项 ， 不 要 漏 项 ．
（ 3 ） 多 项 式 除 以 单 项 式 是 单 项 式 乘 多 项 式 的 逆 运 算 ， 可 用 其 进 行 检 验 ．
第 九 章 变 量 之 间 关 系
知 识 点 0 1 ： 变 量 、 常 量 的 概 念
在 一 个 变 化 过 程 中 ， 我 们 称 数 值 发 生 变 化 的 量 为 变 量 . 数 值 始 终 不 变 的 量 叫 做 常 量 .
【 易 错 点 剖 析 】 一 般 地 ， 常 量 是 不 发 生 变 化 的 量 ， 变 量 是 发 生 变 化 的 量 ， 这 些 都 是 针 对 某 个 变 化 过 程 而 言 的 . 例 如 ，
s ? 60 t ， 速 度 6 0 千 米 / 时 是 常 量 ， 时 间 t 和 里 程 s 为 变 量 . t 是 自 变 量 ， s 是 因 变 量 .
知 识 点 0 2 ： 用 表 格 表 示 变 量 间 关 系
借 助 表 格 ， 我 们 可 以 表 示 因 变 量 随 自 变 量 的 变 化 而 变 化 的 情 况 .
【 易 错 点 剖 析 】 表 格 可 以 清 楚 地 列 出 一 些 自 变 量 和 因 变 量 的 对 应 值 ， 这 会 对 某 些 特 定 的 数 值 带 来 一 目 了 然 的 效 果 ，
例 如 火 车 的 时 刻 表 ， 平 方 表 等 .知 识 点 0 3 ： 用 关 系 式 表 示 变 量 间 关 系
关 系 式 是 我 们 表 示 变 量 之 间 关 系 的 另 一 种 方 法 . 利 用 关 系 式 （ 如 y ? 3 x ） ， 我 们 可 以 根 据 任 何 一 个 自 变 量 的 值 求
出 相 应 的 因 变 量 的 值 .
【 易 错 点 剖 析 】 关 系 式 能 揭 示 出 变 量 之 间 的 内 在 联 系 ， 但 较 抽 象 ， 不 是 所 有 的 变 量 之 间 都 能 列 出 关 系 式 .
知 识 点 0 4 ： 用 图 象 表 示 变 量 间 关 系
图 象 是 我 们 表 示 变 量 之 间 关 系 的 又 一 种 方 法 ， 它 的 特 点 是 非 常 直 观 . 用 图 象 表 达 两 个 变 量 之 间 的 关 系 时 ， 通 常 用 水
平 方 向 的 数 轴 （ 称 为 横 轴 ） 上 的 点 表 示 自 变 量 ， 用 竖 直 方 向 的 数 轴 （ 称 为 纵 轴 ） 上 的 点 表 示 因 变 量 .
【 易 错 点 剖 析 】 图 象 法 可 以 直 观 形 象 地 反 映 变 量 的 变 化 趋 势 ， 而 且 对 于 一 些 无 法 用 关 系 式 表 达 的 变 量 ， 图 象 可 以 充
当 重 要 角 色 . |
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