运筹学的应用。运筹学强调最优决策,它以整体最优为目标,从系统的观点出发,力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部分之间的利害冲突;运筹学解决实际问题的步骤:确定目标。解:路径可分为4个阶段:A->B,B->C,C->D,D->E.阶段变量依次为4,3,2,1.设阶段k的状态变量为Sk,k=1,2,3,4.运筹学的思想应用广泛,拿企业管理为例,运筹学对各种决策方案进行科学评估,为管理决策服务,使得企业管理者更有效合理地利用有限资源。
Hardwood floor(sgu131) 类似炮兵的做法的统计 Little Knights(sgu225) 类似炮兵的做法的统计,数据量太大要const Little Kings(sgu223) 类似炮兵的做法的统计 Bugs公司(CEOI 2002) 类似炮兵的做法的最值 1.7. 利用动态规划思想求最值,编号(循环变量)的迭代 共性总结 要利用上次的一些运算"剩下"的循环变量作当前循环的边界,主要在于找出一种决策顺序,使之成立。有时应用在树型动态规划(二叉转多叉)中。
人生算法——解决人生难题的三种思路。人生算法。虽然计算机科学和数学的从业者必须要学会如何用代码和数学公式来表示算法——那是精确描述算法的语言,但对于普通读者来说,理解算法的思想,换个角度看待这个世界,就是一个很好的开端。算法其实无处不在。动态规划方法的原理就是把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题,然后利用各个阶段之间的递推关系,逐个确定每个阶段的最优化决策,最终堆叠出多阶段决策的最优化决策结果。
最后用经典的0-1背包问题做个例子,巩固一下吧,这个任务是,我们从N个物品选若干塞到可以承受最大重量W的包包里面,要价值最大,因此就可以将任务分成N个步骤,每个步骤面对第i号物品,决策有两条:选,还是放弃,这里的状态,就是影响之后步骤决策的因素,在这里,就是“背包的剩余空间”比如,物品的重量是1,2,3,4,5,6,W=12,从头决策,0表示放弃,1表示选,BFS三次后有八种状态:000 剩12001 剩9.
综述最优化原理动态规划应用资源分配问题最短路径问题旅行售货员问题生产经营问题排序阶段k:每投资一个项目作为一个阶段;决策允许集合:0≤dk≤xk状态转移方程:xk+1=xk-dk阶段指标:vk(xk,dk)见表中所示;
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(1) 最优化原理:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,就称该问题具有最优子结构,即满足最优化原理。* * NOTE: 使用动态规划法求解 背包问题 * 设 前 n 个背包,总承重为 j 的最优值为 v[n,j], 最优解背包组成为 b[n]; * 求解最优值: * 1. 若 j < wn, 则 : v[n,j] = v[n-1,j]; * 2. 若 j >= wn, 则:v[n,j] = max{v[n-1,j], vn + v[n-1,j-wn]}。
而在动态规划算法中,还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优决策子序列,即问题是否具有最优子结构性质。上式的意义是,对于某个阶段k的某个状态xk,从该阶段k到最终目标阶段n的最优指标函数值等于从xk出发取遍所有能策略pkn所得到的最优指标值中最优的一个。使指标函数Vkn达到最优值的策略是从k开始的后部子过程的最优策略,记作pkn*={uk*,..un*},p1n*又是全过程的最优策略,简称最优策略(optimal policy)。
五大常用算法:分治、动态规划、贪心、回溯、分支限界_搞怪的小丸子分治:把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的,所以,这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“
干货 | 自动驾驶中的决策规划算法概述。常见的全局路径规划算法包括Dijkstra和A算法,以及在这两种算法基础上的多种改进。Dijkstra算法[3]和A*算法[4]也是在许多规划问题中应用最为广泛的两种搜索算法。2) 基本算法:快速搜索随机树(RRT)在Frenet坐标系中,路径-速度解耦法分别优化路径和速度,路径优化主要考虑静态障碍物,通过动态规划生成一条静态的参考路径(SL维度),接着基于生成的路径,考虑对速度的规划(ST维度)。
6.3.10/1背包问题在0/1背包问题中,物品i或者被装入背包,或者不被装入背包,设xi表示物品i装入背包的情况,则当xi=0时,表示物品i没有被装入背包,xi=1时,表示物品i被装入背包。(2)若xm≠yn且zk≠xm,则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列;要找出序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列,可按下述递推方式计算:当xm=yn时,找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列,然后在其尾部加上xm即可得到X和Y的最长公共子序列;
void dfs(int t,int x,int val)//t为剩余时间,x为当前决定的第几株草药,val为总价值。所以从这里,定义动态规划(DP):只记录状态的最优值,并用最优值来推导出其他的最优值。-F[i][j] = MAX (F[u][k] + F[v][j-k-1]) + A[i](意思是:我一定要选第i节课并且选了j节课的最优值A[i]+MAX(只考虑u这个节点并且u肯定是要选的,选了k节课的最优值,只考虑v这个节点并且v肯定是要选的,选了j-k-1节课的最优值))int *dp=f[x];
递归=递推+回归。主要优点:采用递归方法编写的问题解决程序具有结构清晰,可读性强等优点,且递归算法的设计比非递归算法的设计往往要容易一些,所以当问题本身是递归定义的,或者问题所涉及到的数据结构是递归定义的,或者是问题的解决方法是递归形式的时候,往往采用递归算法来解决。递归与分治的算法思想往往是相伴而生的,它们在各类算法中使用非常频繁,应用递归和分治的算法思想有时可以设计出代码简洁且比较高效的算法来。
状态找到了,下一步找出状态转移方程。在经典的迪杰斯特拉问题中,我们使用一个一维数组来保存从开始结点到每个结点的最短路径的长度,即M[i]表示从开始结点到结点i的最短路径的长度。在每一步中,对于已经找到的最短路径,我们找到它所能到达的下一个未标记状态(i,j),将它标记为已访问(之后不再访问这个结点),并且在能到达这个结点的各个最短路径中,找到加上当前边权重值后最小值对应的路径,即为该结点的最短路径。
非常重要!,不要认为概念不重要,理解的深刻,你才知道对于什么样的问题去考虑有没有动态规划的方法,以及如何去使用动态规划。如果采用自顶向下的递归来解,那么就避免了不必要子问题的求解(相对于动态规划表现出优势),然而递归又会导致对同一个子问题多次求解(相对于动态规划表现出劣势),所以将递归和动态规划结合起来,就可以设计一种基于记忆功能的从顶向下的动态规划算法,在后面会讲。
状态价值函数和动作价值函数的关系 最优方程。v 描述了处于一个状态的长期最优化价值,即在这个状态下考虑到所有可能发生的后续动作,并且都挑选最优的动作来执行的情况下,这个状态的价值 q 描述了处于一个状态并执行某个动作后所带来的长期最优价值,即在这个状态下执行某一特定动作后,考虑再之后所有可能处于的状态并且在这些状态下总是选取最优动作来执行所带来的长期价值 最优策略(Optimal Policy)
递归常常用于分治算法、动态规划算法中。同时,它又与递归法类似,当问题不能分解为独立的阶段,却又符合最优化原理时,就可以使用动态规划法,通过递归决策过程,逐步找出子问题的最优解,从而决策出问题的解。二、算法策略间的关系 1、对问题进行分解的算法策略——分治法与动态规划法。动态规划法 = 分治算法思想 + 解决子问题间的冗余情况 2、多阶段逐步解决问题的策略——贪心算法、递推法、递归法和动态规划法。
【算法复习二】传统基本算法(贪心、动态规划、回溯和分支限界)回溯与分支限界技术实际上都是基于穷举方法的,即按照一定规律,把问题所有可能的解组织成某种树结构,形成可能的解空间树或状态空间树。分支限界法类似于回溯法,也是一种在问题的状态空间树上搜索解的算法。回溯法的求解目标是找出状态空间树中的所有回答结点或任一回答结点,分支限界法的求解目标则是找出使得某一目标函数达到极小或极大的一个问题结点。
马尔可夫决策过程Markov decision process股票数学模型对冲基金方法decision process股票数学模型对冲基金方法">decision process股票数学模型对冲基金方法">一个简单的例子MDP三个州和两个动作。在每一个时间步长,这个过程是在一些国家 decision process股票数学模型对冲基金方法"> 和决策者可以选择任何行动 decision process股票数学模型对冲基金方法"> 可用状态 decision process股票数学模型对冲基金方法"> 。
从递归深搜到动态规划提纲一、函数及其递归调用二、深度优先搜索三、动态规划一、函数及其递归调用一个C++程序无论大小都是由一个或多个“函数”组成。一、函数及其递归调用定义函数的格式如下:返回值类型函数名(参数列表){函数体}函数调用是通过“函数名”进行的,一般格式为:函数名(参数列表)一、函数及其递归调用函数调用方式有以下三种:(1)函数调用作为一条独立语句,完成一件事情,没有任何返回值。
比如我们算dp[4][5],那我们算3,4这一块的就行了,当算dp[4][6],也就是有一个维度增加了,所以我们只需要算dp[3][4]和dp[1-3][5],那么就是少了一个维度,所以复杂度变成了n^3.dp[x][y]=max(dp[x-1][y] , dp[x][y-1] , dp[x][y 1] , dp[x 1][y]) 1。拓扑图dp经典题。其实我们对于一般非有关期望和概率的dp,如果题目中每一个转移关系是双边的,那么如果我们把dp的每一个状态记为一个点, dp状态之间关系构成的图就是一个拓扑图。
在下一部分中,我们将进一步学习状态价值(state value)函数和动作价值(action value)函数,以及为解决强化学习问题奠定了算法基础的贝尔曼方程。强化学习中有两种价值函数:状态价值函数 V(s) 和动作价值函数 Q(s, a)。状态价值函数的注意事项同样适用于动作价值函数。我们认为贝尔曼方程是一个状态价值函数。动作价值函数的贝尔曼方程:与推导状态价值函数的贝尔曼方程过程相同,我们得到了一系列方程,从方程(2)开始:
在下一部分中,我们将进一步学习状态价值(state value)函数和动作价值(action value)函数,以及奠定了强化学习算法基础的贝尔曼(Bellman)方程,并进一步探索一些简单而有效的动态规划解决方案。我们将使用另一个价值函数是动作价值函数。我们将把状态价值函数考虑到Bellman方程(贝尔曼方程)之内。正在我们推导出Bellman方程状态价值函数的过程一样,我们用相同的推导过程得到了一系列的方程,下面我们从方程(2)开始继续推导:
计算机的本质是一个状态机,内存里存储的所有数据构成了当前的状态,CPU只能利用当前的状态计算出下一个状态(不要纠结硬盘之类的外部存储,就算考虑他们也只是扩大了状态的存储容量而已,并不能改变下一个状态只能从当前状态计算出来这一条铁律)假如问题有n个阶段,每个阶段都有多个状态,不同阶段的状态数不必相同,一个阶段的一个状态可以得到下个阶段的所有状态中的几个。如果一个阶段的最优无法用前一个阶段的最优得到呢?
我们设F[i , s]为从第i月到第n(n=4)月的最低总成本费用,则不难得出如下状态转移方程的递推关系式:int main(){ for(int i=0;int Count(int v){ int num = 0;}bool cmp(int a , int b){ int count1_a = Count(a);}bool existkey( int key , int S) { int p = 1;}void getElements( int S , int * arr , int length , int &return_len) { int p = 1;int length_elements = 0;i++){ int j = length &(length -(1<<(i-1)));
图论是计算机科学中的一个重要研究工具,它产生于欧拉(Euler)对图的连通性的研究,但直到本世纪计算机诞生以后才得最迅猛的发展。 图论中的最短路径问题在计算机中有着广泛的应用,例如网络通信中最短路由的选择,人工智能中搜索算法的研究等。 本文对几种常见最短路径的算法进行介绍,尤其是在1968年发展起来的A*算法。
基本方法:从根节点S0开始,向下逐层逐个地对节点进行扩展与穷尽搜索,并逐层逐个地考察所搜索节点是否满足目标节点Sg的条件。若到达某个子节点时,发现该节点既不是目标节点又不能继续扩展,就选择其兄弟节点再进行考察。dm的选择:(dm自适应)先任意给定一个较小的数作为dm,进行有界深度的优先搜索,当深度达dm时仍未发现目标节点,且CLOSE表中仍有待扩展节点时,将这些节点送回OPEN表,同时增大深度界限dm,继续向下搜索。
值迭代方法里面的内循环又有两种策略:同步迭代,异步迭代。策略迭代方法。得到状态转移概率和回报函数的估值后,就简化为了前面部分讲述的问题,用第三部分将的值迭代或者策略迭代方法即可解决。至此我们讨论完了增强学习的数学本质————马尔科夫决策过程(MDP)的数学表示及求解过程(这里的MDP是非确定的MDP,即状态转移函数和回报函数是有概率的,,对于确定性的,求解会更简单些,感兴趣可参考[3]最后一章:增强学习)。
这个序列里面虽然有反馈奖赏,但这个奖赏并不能告诉我们应该做什么样的动作,而只是对现在的策略有一个评估值,我们把所有奖赏加起来作为当前策略的一个评估,可以得知策略做的有多好,但并不知道应该做什么样的动作是最好的,这个也是数据上的两个差别。它的复杂度是状态数量乘以动作数量 O(|S|*|A|),这已经是在一个很简单的MDP上(确定性 MDP),这个复杂度从状态数量和动作数量上看,好像是一个线性的复杂度,复杂度并不高。