数学史的大事件——勾股定理的发展简史。勾股定理为初等几何学中的一个基本定理,我国古称直角边为“勾”与“股”,斜边为“弦”或“径”,因而将这条定理称为“勾股定理''。图示直角梯形是由2个直角边分别为a、b,斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成,因为三个直角三角形的面积等于直角梯形的面积,所以列出等式c2/2+2×ab/2=(a+b)×(b+a)/2,化简为a2+b2=c2。
什么叫勾股定理?从勾股定理的发现到现在,大约3000年里,勾股定理的证明方法多种多样:有的简洁明了,有的略微复杂,有的十分精彩……中国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。还有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。
动手做:用尺规做直角三角形ABC,使∠C=90°,AC=3cmBC=4cm.动手量:如果一个直角三角形的两直角边的长分别是3cm和4cm,则它的斜边长是多少?动手算:3、4、5各自的平方有什么关系?动脑猜:任意直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方吗?(5cm)在准备好的方格纸上,分别画三个顶点都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角形的斜边长,然后验证你的猜想!
勾股定理的这些美妙的证法你知道吗?如图2所示,以弦c为一边的正方形,含有4个以a和b为直角边的直角三角形与一个以b-a为边长的小正方形,于是有。号称趣味数学三大名家之一的英国人亨利?杜登尼(H.E.Dudeney,1857~1930)于1917年发表了一个勾股定理的“风车证法”,只要在“股”上的正方形剪两刀即可证出,可以看出,两线的交点在正方形的中心,分别与“弦”平行或垂直,所得出的4个图形完全一模一样,非常美丽,而且对称(图3)。
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 a2+ b2 =c2 ;即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果三角形的三条边a,b,c满足a2+b2 =c2 ,a2+b2=c2﹙c为斜边ab为直角边﹚如:一条直角边是3,一条直角边是4,斜边就是3×3+4×4=X×X,X=5。勾股定理来源:我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。有关勾股定理书籍。直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。
勾股定理勾股定理勾股定理。设   五边形ACKDE的面积=S   一方面,   S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积   =c2+ab (1)   另一方面,   S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积   +2倍△ABC面积   =b2+a2+ab. (2)   由(1),(2)得   c2=a2+b2   证法4 如图26-5(项名达图),在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CA,CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ(图26-5)。
5.(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( )8.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为9cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为________cm2.
左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、,斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、,斜边为的直角三角形拼成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积,所以可以列出等式,化简得。因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积,所以可以列出等式,化简得。
初中数学:勾股定理及勾股定理的运用。如图,正方形ABCD的面积 = 4个直角三角形的面积 + 正方形PQRS的面积。四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 =大正方形的面积,如图,图中△ABC的∠C=90°,AC=4000米,AB=5000,米欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道20秒时间里飞行的路程,即图中的CB的长,由于△ABC的斜边AB=5000米,AC=4000米,这样BC就可以通过勾股定理得出,这里一定要注意单位的换算。解:由勾股定理得。
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
初中数学:勾股定理的16种证明。从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即a的平方加b的平方,加4乘以二分之一ab等于c的平方,加4乘以二分之一ab,整理得a的平方加b的平方等于c的平方。在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理,得。=(AB+BE)(AB-BD)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾",下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.勾股勾股弦勾股定理(gou-gutheorem)如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc在西方又称毕达哥拉斯定理!
BCA(1)ΔABC是___________三角形.1、观察图1,完成下列问题(图中每个小方格代表一个单位面积)等腰直角918割补9FDE图1FS正方形思路:把F分割成四个与ΔABC全等的三角形ACB割返回FDE图1思路:把F看成边长为6的正方形减去四个与ΔABC全等的三角形ABCFS正方形补观察图1DEF图1(1)正方形D的面积是个单位面积.(2)正方形E的面积是个单位面积.(4)正方形F的面积是个单位面积.9189BCA这三个正方形面积之间存在什么关系?
如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.∴AC2+BC2=(AD+BD)·AB=AB2,在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线.AC2=AE·AD=(AB+BE)·(AB-BD)则由AB2=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD.即 AD:AC≠AC:AB,或者 BD:BC≠BC:AB.
(4)正方形F的面积是个单位面积..(2)正方形B的面积是_____个单位面积。(3)正方形C的面积是______个单位面积。设它们的两直角边分别为a,b,斜边为c.正方形的面积等于四个全等的直角三角形与一个正方形的面积之和。(2)用两个全等的直角三角形,一个等腰直角直角三角形,将它们拼成直角梯形。梯形的面积等于两个全等的直角三角形与一个等腰直角三角形的面积之和。2、如图,在⊿ABC中,∠ACB=900,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,
课题18.2勾股定理的逆定理主备人范德茹课时1时间2012-4-10学习目标1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。2.你能证明以6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗?课题18.2勾股定理的逆定理主备人范德茹课时2时间2012-4-11学习目标进一步掌握勾股定理的逆定理,并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形,能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围。D.等腰直角三角形。
教学时要注意,在这里计算以斜边为边长的正方形的面积可能很多学生有一定难度,教师可以提示:以斜边为边长的正方形面积等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积。【设计说明】为了突破用面积法证明直角三角形三边关系这一难点,本人先让学生自己动手,小组合作,互相交流,共同分享,其间教师巡视引导学生用割补的方法计算以斜边为边长的正方形面积,进而得到直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理史上最精彩的证明是中国和希腊?勾股定理又叫毕氏定理:在一个直角三角形中,斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为a、b,斜边为c的直角三角形拼成的。第二种方法:边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b,斜边为 c的直角三角形拼接形成的(虚线表示),不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足ABCabc勾股定理的应用中体现的数学思想分类思想方程思想展开思想勾股定理的应用中体现的数学思想分类思想方程思想展开思想2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC∟D∟DABC1.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X2=25或7ABC1017817108分类思想1.直角三角形中,已知两边长,求第三边时,应分类讨论。
(2)如图(2),有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于_________cm.A.钝角三角形;B.锐角三角形;C.直角三角形;D.等腰三角形.22.(1)四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开.大会会标如图甲.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边分别是2和3.求中间小正方形的面积.
(2)下图是由一个两条直角边长都是1的直角三角形向外做直角三角形得到的,形成一共一个美丽的螺旋图案,第8个直角三角形的斜边长是;解:最下面的直角三角形的两条直角边长分别为1和6,所以它的斜边长的平方等于1+36=37,中间的直角三角形的两条直角边的平方分别为16和37,它的斜边的平方等于53,最上面的直角三角形的斜边的平方是53,一条直角边的平方等于4,所以另一条直角边的平方等于53?4=49,于是这条直角边的长度是7。
活动291.观察图1-1(图中每个小方格代表一个单位面积)图1-1正方形A中含有个小方格,即A的面积是个单位面积.正方形B的面积是个单位面积.正方形C的面积是个单位面积.918你是怎样得到上面的结果的?SA+SB=SC即:两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.议一议ABC图1-1acbcbabca正方形的面积怎样求ABC图1-2ABC图1-34.你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
动手做:用尺规做直角三角形ABC,使∠C=90°,AC=3cmBC=4cm.动手量:如果一个直角三角形的两直角边的长分别是3cm和4cm,则它的斜边长是多少?动手算:3、4、5各自的平方有什么关系?动脑猜:任意直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方吗?(5cm)勾股定理(gou-gutheorem)如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc勾股弦在西方又称毕达哥拉斯定理!
勾股定理教学设计  你听说过“勾股定理”吗?  如:勾三,股四,弦五  在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦。对于等腰直角三角形有这样的性质:两直边的平方和等于斜边的平方  那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢?  请大家画一个任意的直角三角形,量一量,算一算。勾股定理:如果直角三角形的两直角边长  分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。
知识点总结一、勾股定理:1.勾股定理内容:如果直角三角形的两直角边长分别为a,斜边长为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2)定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤:(1)确定最大边;