第5章 渴望理论： 广义相对论与量子力学
在过去的00年里，我们对物理宇宙的认识已经非常深入 了。量子力学和广义相对论的理论工具使我们懂得了很多事情，我们能够很好地预言发生在原子、亚原子领域乃至星系和星系团 尺度的物理现象，甚至我们还能认识整个宇宙本身的结构。这是 了不起的成就。真的，一种普普通通的生命，困在一颗小小的行星上，在一个普普通通的星系的边缘，绕着一颗普普通通的恒星 旋转，却能凭他们的头脑和实验，去发现和理解物理宇宙中某些 最神秘的特征。不过，物理学家天生是难得满足的，他们还要去把最最幽深和基本的东西揭示出来，这就是霍金讲的，认识“上 帝的大脑”的第一步。
很多证据说明，量子力学和广义相对论没能达到最深层的认识。它们通常的适用范围是不同的。大多数情形，要么用量子力 学，要么用广义相对论，不会同时需要它们。然而，在某些极端条件下，事物质量大而且尺度小——例如在黑洞的中心、在大爆 炸时刻的宇宙——为了得到正确的认识，我们既需要量子力学， 也需要广义相对论。可是，量子力学与广义相对论，一个像火 药，一个像火，它们遇到一起便带来巨大的灾难。当这两个理论 的方程混合起来时，好好的物理问题却得不出有意义的答案。那些无意义的答案主要是一些无限大的东西，如关于某过程的量子 力学儿率的预言，不是一个百分数，而是无限大。大于1的几率已经够荒谬了，无穷大的几率是什么呢?我们被迫承认，一定出 了什么严重的问题。通过认真考察广义相对论和量子力学的基本性质，我们可以找出毛病出在哪儿。
量子力学的核心
海森堡发现不确定性原理时，物理学在那儿拐了一个大弯， 但并没有停歇下来。几率、波函数、干涉和量子，都带着认识实 在性的崭新思路。不过，顽固的“经典”物理学家们还抱着一丝希望，盼着当一切都弄清楚以后，这些“离经叛道”的东西会重 新回到离过去不远的思路上来。然而，不确定性原理把所有的 “复辟”幻想都扫荡干净了。
不确定性原理告诉我们，当我们考察的距离越小、时间越短 时，宇宙会变得越疯狂。上一章讲过，当我们想确定基本粒子 (如电子）的位置和速度时，会遇到这种情况：用更高频率的光照电子，我们能以更高精度测量它的位置，但那代价是我们的观测 更多地干扰了电子的运动。高频率的光子具有更多的能量，所以 像针一样“扎”在电子上，从而极大改变了它的速度。在一间满是小孩儿的屋子里，我们会遇着同样的狂乱场面。你可以精确知 道每个孩子的瞬间位置，但你却几乎管不了他们的活动——向哪个方向跑，跑多快——不可能同时知道基本粒子的位置和速度，意味着微观世界在本质上是混沌的。
尽管这个例子在不确定性与疯狂性之间建立了基本联系，它也只说明了问题的一部分。你大概会认为，不确定性只有在我们这些笨拙的自然观测者闯进了它们的场景才会出现。这是不对 的。电子在小盒子里飞速地撞来撞去，这个例子可能会让你更明 白那是怎么回事。即使实验者没有“直接”拿光子去“打击”电子，电子速度还是会剧烈地不可预料地从一点变到另一点。但 是，这个例也没能完全说明海森堡的发现所隐藏的微观世界那 迷人的特征。即使在我们所能想象的最宁静的场合，例如空空如也的空间区域，不确定性原理告诉我们，从微观的角度看，那里 也有大量的活动。距离和时间的尺度越小，那活动就越狂乱。
明白这一点的关键是量子的计算方法。我们在前一章看到， 粒子(例如电子)可以暂时“借”能量来克服难以逾越的物理障碍 ——就像人们常常可以借钱渡过难关。这是对的，但量子力学迫 使我们将这类比向前推得更远。我们想象一个不得不靠借钱生活 的人，他去求一个个朋友，每个朋友只能借他几天，他只得找更多的朋友，这家借，那家还，还了借，借了还——他费好大力气 借来钱，不过是为了尽快把它还掉。像华尔街的股市，哪一天狂 涨狂跌了，他的钱也随时在变。不过，当一切平息过后，他还跟当初一样，一点儿也没富起来。
海森堡的不确定性原理说，在微观的距离和时间间隔里，能 量和动量也发生着类似的疯狂的涨落。即使在虚空的空间——例如一只空盒子-不确定性原理也会说能量和动量是不确定的：
当我们从更小的时间尺度来看更小的盒子时，它们的涨落就更 大。仿佛盒子里的空间也不得不“借”能量和动量，不断从宇宙把它们“借来”，接着又很快还冋去。那么，在平静的空虚的空间区域里，哪些东西参与了这样的“交易”呢?什么东西都可能 有，这真是难以想象的；不过，最终“流通”的还是能量(也包括动量>。me2告诉我们，能量可以转化为物质，而物质也 能转化为能量。这样，如果能量涨落足够大，即使在虚空的空间里，它也可以在瞬间生成正反粒子对，例如电子与它的正电子伙 伴。因为这些能最必须马上归还，所以粒子对会在瞬间湮灭，归 还生成它们的能量。其他形成的能暈和动量也发生养相同的事情 ——如其他粒子的生成与湮灭、电磁场疯狂的振荡、强弱相互作 用场的涨落……量子力学的不确定性原理告诉我们，宇宙在微观尺度上是一个闹轰轰的、混沌的、疯狂的世界。费曼曾笑话 过，“生了灭、灭了生——浪费了多少时间。”由于能量的借与还在平均意义上相互抵消了，所以只要不是微观地去看，空 虚的空间仍然显得宁静而太平。但是，不确定性原理说明，宏 观的平均的眼光是看不清许多微观的行为的。我们很快会看到，融和广义相对论和量子力学的那个障碍，就是这里讲的那 些疯狂的东西。
量子场论
20世纪三四十年代，理论物理学家们在不懈地寻找一种数 学形式來描写微观世界的混沌行为，我们可以说几个杰出的名 字，如狄拉克、泡利（Wolfgang Pauli)、施温格（Julian Schwi-nger)、戴森、朝永振一郎（Sin-Itiro Tomonaga)和费曼。他们发 现，薛定谔的波动方程(第4章讲过)实际上只是微观物理学的一种近似描写——当我们不太深入微观的混沌时(不论实验的还是 理论的），这近似是非常好的；但当我们想走得更近时，它就失败了。
薛定谔在他的量子力学方程里遗忘了一个重要的东西，那就是狭义相对论。实际上，他当初确实试过把狭义相对论包括进 来，但后来发现那方程作出的预言不符合氢原子的实验观测。于 是薛定谔继承了物理学的老传统，将问题分开来解决：不急着跨 一大步把所有新发现的物理学东西都塞进一个新的理论；通常更好的办法是小步、小步地走，一步步地把研究前沿的最新发现囊 括进来。薛定谔发现并建立的数学方程包含了实验发现的波粒二 象性，但在那个初步认识的年代，他没有包括狭义相对论。
但物理学家很快发现，狭义相对论对一个正确的量子力学框 架来说是很重要的。这是因为，微观的混沌行为让我们看到了能 量可以有多样表现形式——这个观点来自狭义相对论的E= nw2 的结果。薛定谔的方法忽略了狹义相对论，也就忽略了物质、能 量和运动的重要性。
为了把狭义相对论与量子概念结合起来，物理学家们首先把 力量集中在电磁力与物质的相互作用上。经过一系列激动人心的 进步，他们创立了量子电动力学。这是后来相对论量子场论（或简称量子场论)的一个例子。说它是量子的，因为几率和不确定 性的观点从一开始就融和在理论中了；说它是场论，因为它把量子原理融入了以前的经典力场的概念——在这里，那是麦克斯韦 的电磁场。最后，我们说它是相对论的，因为狭义相对论也是从 一开始就走进来了。（如果你想对量子场有一个直观的认识，你 可以很好地借助经典场的想象——例如，数不清的看不见的力线穿过空间——不过，那图像应该有两个特点：第一，量子场应该 由粒子构成，就像电磁场由光子组成一样；第二，能量应该以粒 子质量和运动的形式出现，它不停地在量子场之间往来波动，在空间和时间里不停地振荡。）
量子电动力学可以说是有史以来关于自然现象的最精确理 论。我们以从木下东一郎(Toichino Kinoshita)的例子来说明这种精确。木下是康奈尔大学的粒子物理学家，在过去的30年 里，他一直在艰辛地用量子电动力学计算电子的某些具体性质。他的计算写满了几千页，最后还是世界上最大的计算机来完成的。他的努力是值得的：计算的结果在小数点后面十二位都得到 了实验的证实。这绝对是抽象的理论计算与现实世界之间惊人的一致。通过量子电动力学，物理学家能在完备、实用、可靠的数 学框架下巩固光子作为“最小的一束光”的角色，揭示它们与带 电粒子(如电子)的相互作用。
量子电动力学的成功激励其他的物理学家在20世纪六七十 年代去发展一门类似的新的量子力学方法，以认识弱、强和引力的作用。结果证明，对弱力和强力来说，这是一条硕果累累的道 路。通过与量子电动力学类比，物理学家构造了强力与弱力的量 子场论，叫量子色动力学和量子弱电理论。“量子色动力学”这个色彩绚丽的名字，在逻辑上该叫“量子强动力学”，但那不过是 一个名字而已，没有别的更深的意思。另一方面，“弱电”这个 名字确实概括了我们在认识自然力的长路所树立的一座里程碑。
格拉肖（Sheldon Glashow)、萨拉姆（Abdus Salam)和温伯格 (Steven Weinberg)通过他们臝得诺贝尔奖的工作，证明了弱力与 电磁力可以自然地用他们的量子场理论统一起来——尽管两种力 在我们周围世界的表现好像是迥然不同的。毕竟，除了在亚原子的尺度内，弱力场儿乎消失了，没有一点儿作用；而电磁场—— 可见光、无线电波、电视信号、X射线……却是我们离不开的宏观实在物。不过，格拉肖、萨拉姆和温伯格从根本上证明，在足 够高的能量和温度下——如在大爆炸的几分之一秒内——电磁场 和弱力场熔化在一起，表现出不可分辨的特征，应该更准确地叫弱电场。当温度下降，电磁力与弱力便结晶似地分离开来（分离 的过程实际从大爆炸时就开始了），具有与高温下不同的形式
我们记得，夸克冇一种性质叫“色”，强力的量子力学理论在很大程度上 就是描写 “色”的作用，所以也叫“量子色动力学”，这个名字好像跟“夸克” 一样 ——这样一个过程就是有名的“对称破缺”，我们会在以后慢慢 讲——从而在我们今天冰冷的宇宙中表现得迥然不同。
好了，现在我们知道，到20世纪70年代，物理学家已经对四种力中的三种（强、弱、电磁）做了合理而成功的量子力学描 述，还证明了其中的两种（弱和电磁）实际上有着共同的起源（弱 电力）。在过去的20年，物理学家做了大量实验，通过那三种力的自我表现和它们在第1章介绍的物质粒子中的作用，来检验量 子力学的处理方法。理论安然面对了所有的实验挑战。实验家们测量了 19个特别的参数(表1. 1中的粒子质量和第1章注释1中 补充的力荷、表1.2中的三个力的强度，以及几个别的我们不需 要讨论的参数），埋论家将这些数引进物质粒子和三种力的量子 场理论，结果，这个微观宇宙的理论作出的预言与实验符合得好极了。在我们今天的技术条件下——所达到的能量可以将物质粉 碎到百亿亿分之一米的大小——理论都是正确的。因为这一点， 物理学家把这个关于引力外的三种力和三族物质粒子的理论叫做标准理论，或者，更多的时候称它是粒子物理学的标准模型。
信使粒子
根据标准模型，强力和弱力的场也有最小的组成粒子，就像 电磁场以光子为最小组成一样。我们在第1章曾简单讲过，最小的强力单元是胶子，而最小的弱力单元是弱规范玻色子（或者， 更准确地说是W和Z玻色子）。标准模型要求我们把这些力的粒子看成没有内部结构的——在这样的框架下，这些粒子全都是基 本的，跟那三族物质粒子一样。
光子、胶子和弱规范玻色子提供了它们所组成的力的微观传 递机制。例如，当一个带电粒子排斥另一个带同性电荷的粒子时，我们大体上可以想象每个电子都裹着一个电场--团“电
的云雾”——每个粒子感觉的力就源自那“两团云”的排斥。不过，更准确的量子图景却多少有些不同。一个电磁场由一群光子 组成，两个带电粒子间的相互作用实际上是光子在两个粒子间往来“出没”的结果。两个带电粒子通过交换小小的光子而相互影 响，这个过程有点儿像两个溜冰的人在传球，通过传球，两个人 的运动状态都将受到影响。
然而溜冰者的比喻却有一个大毛病，那就是传球总是“排斥 性的”——它使两个人越离越远。不同的是，带相反电荷的粒子 也通过交换光子发生相互作用，而那电磁力却是“吸引的”。看 来，光子似乎并不是力本身的传递者，它只不过传递“消息”， 告诉粒子该如何响应那力。对同性电荷的粒子，光子带来的消息是“离开”；而对异性电荷的粒子，那消息是“走近”。因为这 一点，我们有时说光子是电磁力的信使粒子。同样，胶子和弱规范玻色子分别是强力和弱力的信使粒子。把夸克锁在质子和中子 里的强力起源于一个个夸克交换胶子。可以说，胶子真就像把这些亚原子粒子紧紧粘在一起的“胶”。弱力决定着粒子的某种放 射性衰变的嬗变过程，它的中介是弱规范玻色子。
规范对称性
你大概已经看到了，我们关于自然力的量子讨论还遗漏了一 个古老的力，那就是引力。物理学家靠那个方法成功地处理了其 他三种力，你可能会建议他们去寻找一个引力的量子场理论—— 在那个理论中，引力场的最小单元引力子应该是它的信使粒子。 乍看起来，这该是一个特别合时宜的建议，因为另外三种力的量 子场论告诉我们，在它们与引力的某个方面(我们在第3章讲过） 之间存在着诱人的相似。
回想一下，引力让我们能够把所有的观察者——不论他们的 运动状态如何——看做绝对平等的。即使通常认为在加速运动的 人，也能说自己是静止的，因为他可以把感觉到的力归结为他处在一个引力场中。在这个意义上，引力强调对称：它保证所有可能的观察者的观点以及所有可能的参照系都是同样有效的。同 样，强力、弱力和电磁力也都通过对称性相联系，虽然那些对称 比和引力相关的对称要抽象得多。
为了粗略体会这些难以捉摸的对称性原理的意思，我们考虑 一个重要的例子。我们记得，在第1章后面的注释里，每个夸克都带着三种“颜色”（我们想象那是红、绿、蓝，当然这不过是 一些标签，与通常看到的色彩没有一点儿关系），这些颜色决定着夸克该如何“响应”强力，就像电荷决定着对电磁力的响应一 样。在得到的所有数据的基础上，我们建立了夸克间的一种对称 性，那就是，同色夸克(红与红、绿与绿或蓝与蓝)间的相互作用 都是相同的，不同色夸克(红与绿、绿与蓝或蓝与红）间的相互作 用也是相同的Q实际上，我们还从数据发现了更令人惊奇的事情。假如夸克携带的三种颜色（三个不同的强荷）都“转移” 了 (用假想的色彩来说，大概意思是，红、绿、蓝转移成黄、青、紫），甚至它们每时每刻从一个地方到另一个地方都在不停地转 移，夸克之间的相互作用却一点儿也不会改变。因为这一点，我们说宇宙体现着一种强力对称性：物理学不因力荷的转移而改变 ——或者说，物理学一点儿也不知道力荷转移了。这很像我们说 球体现着旋转对称性，因为不论我们在手里怎么转，不论转多大的角度，球看起来都是?一样的。由于历史的原因，物理学家也说 强力对称是规范对称的一个例子。
我们来看关键的一点。在广义相对论中，为使所有可能的观 察立场都处于对称地位，必须要求存在引力，类似地，从外尔 (Hermann Weyl) 20世纪20年代以及杨振宁和米尔斯（Robert MUk)50年代的工作发展起来的规范对称性也要求存在另外一些 力。根据杨振宁和米尔斯的观点，那些力场能完全补偿力荷的转移，从而完全地保证粒子间的物理相互作用不会改变。这很像一 个灵敏的环境控制系统，通过彻底补偿任何外来的影响而使一个区域内的温度、气压、湿度保持为常数。对与夸克的色荷转移相关的规范对称来说，需要的力不是别的，正是强力。就是说，如 果没有强力，物理学在上面说的色荷转移下会发生改变。这一发现表明，虽然引力和强力有许多不同的性质（回想一下，引力比 强力弱得多，而作用范围却远得多），它们确实还有某种相同的 特征：它们的存在是为了让宇宙享有特别的对称性。而且，相同的论证也适用于弱力和电磁力，它们的存在关联着另外的规范对 称性——所谓的弱与电磁的规范对称。因此，四种力都直接联系 着对称性原理。
四种力的这个共同特征预示着我们在这节开头的建议是很有 希望的。那就是，为了把量子力学融入广义相对论，我们应该寻 找一种引力的规范场理论，就像物理学家已经发现了的其他三种力的成功量子场理论一样。近些年来，这个思想激励了一大批有 名的物理学家满怀热情地踏上寻找之路，但一路上困难重重，还没有谁走到尽头。我们来看那是为什么。
广义相对论与量子力学
广义相对论适用于巨大的天文学尺度。在那样的距离，爱因斯坦的理论说明，没有物质意味着空间是平直的，像图3. 3画的那样。为了把广义相对论与量子力学融和起来，我们现在必须转 移关注的焦点，去考察空间的微观性质。在图5.1中，我们说明 了如何一点点去暴露越来越小的空间结构。开始的时候，看不出 什么来；看图中底下的三层，空间结构几乎是一样的形态。从纯 经典的立场看，我们以为这样平直稳定的空间图景会一直保持到 任意的距离尺度。但量子力学完全改变了这种想法。万物都摆脱不了不确定性原理所规定的量子涨落——引力场也不例外。虽然 经典理论认为虚空间没有引力场，但量子力学证明，引力场尽管 在平均意义上为零，它实际上却在因量子涨落而波荡起伏。另外，不确定性原理还告诉我们，关注的空间越小，看到的引力场起伏越大。量子力学展现了一个没有绝望的世界，越是狭窄的地 方，越是浪花飞溅。
图5.1 逐级放大空间区域，显露它的超微观特性。为了融合广义相对论与量 子力学，我们将在最高的地方面对汹涌的量子泡沫。引力场通过空间的弯曲而表现出来，而量子涨落通过周围空间越来越强烈的扭曲表现自己。在图5.1中我们看到那种扭曲隐 约出现在第四层。向更小的距离尺度逼近，我们会在第五层遇到随机的量？力学波动，那里的引力场表现出极强烈的空间弯曲，一点儿也不像我们在第3章画过的弯曲的橡皮膜。实际上，它像图顶那样，到处是混沌的卷曲。惠勒发明了一个名词量子泡沫来 描绘这种超微的空间（和时间）里表现出的混沌状态——它描绘了 一幅陌生的图画，传统的一些概念，如左和右、前和后、上和下 (甚至过去和未来），都失去了意义。还是在这样的小尺度上，我 们才发现广义相对论与量子力学原来是不相容的。广义相对论的核心原理——光滑的空间几何的概念——被小距离尺度的量子世 界的剧烈涨落破坏了。在超微尺度上，景子力学核心的不确定性 原理与广义相对论核心的空间（以及时空）的光滑几何模型是针锋相对的。
实际上，那矛盾是很具体地表现出来的。把广义相对论和量 子力学融和起来的所有计算，都得到一个相同的答案：无限大。 这是一个当然的信号，告诉我们做错了事情，该让老师打手掌心了。广义相对论的方程平息不了量子泡沫的喧嚣。
不过，应该看到，当我们回到寻常尺度（在图5.1中从上往 下看），小距离尺度上剧烈的随机涨落会平息下来——像借钱的人把钱还了，银行的帐户又干净了——这时，宇宙结构的光滑几 何学又变得精确了。我们有过这样的经历：从远处看到的一幅色 彩均匀光亮柔和的图画，走近一看，却跟光滑的画面大不相同， 原来它不过是一点点色斑，每一点都是分离的。但是你得注意，只有在离图很近，一点点地看，你才会发现它原来是离散的；而从远处看时，它是光滑的。同样，除了在超微观的尺度下，时空 结构都表现得很平坦，这也是为什么广义相对论在足够大的距离 (和时间)尺度——与许多典型的天文学问题相关的尺度——能做 得很好，而在小距离（和时间）尺度上却产生那么多矛盾。广义相对论核心的光滑和轻微弯曲的几何图像，在大尺度上证实了；但在推向小尺度时，却被量子涨落破坏了。
广义相对论和量子力学的基本原理使我们能够在某个很小的 尺度上进行计算，不过，低于那个尺度时，图5.1里的可怕现象会表现得很明显，计算不能再往前走了。因为标志量子作用强度 的普朗克常数太小，描写引力本来强度的引力常数也太小，它们 构成一个更小的儿乎难以想象的普朗克长度：十亿亿亿亿分之一 (1(T33，小数点后面32个零）厘米。5图5.1最高层描绘的就是 在普朗克长度下的超微观的宇宙景观。为了对那尺度有一个具体的认识，我们想象，把一个原子放大到我们的宇宙尺度，那么普 朗克长度也不过是一棵普通的树的高度。
于是我们看到，广义相对论与量子力学间的冲突只是发生在 宇宙相当隐蔽的地方；因为这一点，你当然可以问，那些问题值得去忧虑吗?有些物理学家也很明白那个问题，但他们还是在研究需要的时候，在典型尺度远远超过普朗克长度的问题上，快乐 地运用广义相对论和量子力学。而另外一些物理学家则深信，我 们那两块物理学基石在根本上就是搭配不起的，并不因为超微观的尺度才暴露问题。他们认为，这个矛盾指出了我们对物理宇宙 认识的根本缺陷。这种看法源于一个不能证明然而深人人心的世界观：如果在最深最基本的水平上认识宇宙，宇宙应该能以一个 各部分和谐统一、逻辑上连贯一致的理论来描述。不论那矛盾对 各人的研究是不是根本性的，有一点是肯定的，那就是，大多数物理学家很难相信，我们对宇宙最深层的认识的理论基础是由两 个虽然有力然而搭配不起的数学框架拼接起来的。
为了能让两个理论协调起来，物理学家做过大量的尝试，他 们以这样那样的方法，要么修正广义相对论，要么修正量子力 学；虽然一次次的努力通常都胆识惊人，结果却是一个失败跟着一个失败。
终于，超弦理论来了。
注释
1.你可能还在疑惑：虚空间的区域里还能发生什么事情吗？重要的是 应该知道，不确定性原理为空间能有“多空”作了限制，与我们平常讲的虚空是不同的。例如，关于场的波扰动（如在电磁场中传播的电磁波），不 确定性原理指出，波的振幅和振幅改变的速度也服从一个类似于位置和速 度的反比关系：振幅确定得越精确，它改变的速度就越不精确。现在，我们说一个空间区域是空的，意思是没有波经过这个区域，所有的场都是 零。说得啰嗦一点（但却是有用的），我们可以讲，通过这个区域的所有波 的振幅都为零。但是，如果我们对振幅知道得那么精确，则不确定性原理告诉我们，振幅的改变是完全不确定的，我们可以说它有任意的数值。但 如果振幅改变了，就说明它们在下一时刻不再是零，即使空间区域还是 “空的”。不过，平均说来，场还是零，因为它在某些地方为正，而在其他地方为负，区域的总能童是不会改变的。当然，这只是在平均意义上说 的。量子不确定性说明场的能量即使在空虚的空间区域里也是在涨落的， 我们关心的空间区域距离和时间尺度越小，看到的涨落就越大。因为瞬间涨落得到的能量将通过2转化为瞬时的粒子和反粒子对，然后它们 很快湮灭。结果，能量在平均意义上仍然没有改变。
2.虽然薛定谔写的那个原始的包括了狭义相对论的方程不能准确描写 氢原子中的电子的量子力学性质，但很快发现它在其他场合还是有意义的，实际上今天我们还在用它。不过，薛定谔发表方程的时候，克茉茵 (Oskar K】eiD)和戈登(Walter GorderO已经赶到前头了，所以那个方程叫“克莱茵-戈登方程”。
3.我们为数学爱好者们多说两句。基本粒子物理学用的对称性原理一 般是以群为基础的，而特别应该注意的是李(S. Lie)群。基本粒子表现为不 同群的表示，而它们的时间演化方程则需要体现相关的对称信息。对强力 来说，对称性叫SU(3)(类似于普通的三维旋转群，不过是作用在复空间 的），给定夸克的3种颜色在一个三维表示下变换。正文里讲的颜色转移 (由红、绿、蓝到黄、青、紫)实际上就是作用于夸克“色坐标”的一个SU (3)变换。规范对称则是另一种对称性，它的变换可能依赖于时空：这时 候，在不同空间位置和时刻“转动”夸克的颜色，结果也会不同。
4.在发展引力以外的那三种力的摄子理论过程中，物理学家也遇到过一些无穷大结果的计算，不过，他们后来发现这些无限大的东西可以通过一种叫重整化的技术来消除。在结合引力与量子力学的工作中出现的无限 大要严重得多，重整化技术也无可奈何。只是在近些年，物理学家才意识 到，无限大结果的出现说明我们把理论用到了超越它应用范围的地方。我
们现在的目标是寻找一个实用范围在原则上无限的理论--个“终极的”、“最后的”理论——所以，物理学家想找一个不论分析的物理系统多么极端也不会出现无限结果的理论。
5.我们可以通过简单的论证，即通过物理学家所说的量纲分析，来认 识普朗克长度。思路是这样的：如果一个理论是由一组方程建起来的，为将理论与实在相联系，抽象的符号必然与自然的物理特性相结合。特别 是，我们必须引进一个单位系统，就是说，假如一个符号代表着长度，我 们应该能有一个标准来说明它的数值。例如，一个方程中的长是5，我们当 然需要明白它是5厘米、5千米还是5光年。在涉及广义相对论和量子力学 的理论中，单位的选择是以下面的方式自然出现的。广义相对论依赖于两 个自然常数：光速c和牛顿引力常数G0 fi子力学依赖于一个自然常数ft。 看看这几个数的单位(例如，c是速度，应该表达为距离除以时间，等等h 我们可以发现，组合具有长度的单位，实际上，它等于1.616 x 10^厘米。这就是普朗克长度。它既包含了引力和时空的量（G和c)，也 与量子力学U)有关，所以，在任何联合广义相对论与量子力学的理论中，它都确定了一个测星?标准--个自然的长度单位。我们在文中用“普朗克长度”通常是一个大概的意思，指长度在10-33厘米的几个数量级 范围内。
6.目前，除了弦理论，还有人正积极地从别的方法来结合广义相对论 和量子力学。一个方法是牛津大学彭罗斯（Roger Penrose)的扭量理论，另一 个方法——部分是在彭罗斯的激发下兴起的——是宾夕法尼亚州大学的Ab-hay Ashtekar所引导的新变量方法。虽然本书以后不再史多讨论这两个方 法，但人们越来越觉得它们可能与弦理论有着深刻的联系，而且，同弦理论一起，三个理论都在为同一个结果，为结合广义相对论与量子力学，而 磨刀霍霍。
