| 共 32 篇文章 |
|
微分几何方法。假设我们已经得到同一器官的不同曲面，或者两个三维实体，注册问题的微分几何提法如下：给定三维欧氏空间中的两个嵌入流形，，给定初始映射 ，求两个流形间的微分同胚，这个微分同胚和初始微分同胚同伦，，满足一定的限制条件，例如将特征点映到相应的特征点，；基于微分几何的注册方法也有多种，比较常用的是基于共形几何（conf... 阅25 转0 评0 公众公开 18-08-31 18:21 |
魔方方面的研究主要有两个方向：人类复原魔方算法和计算机复原魔方算法。等价地，我们将魔方群分解成嵌套的正规子群序列，每个整个子群对应一个状态子空间，子群的嵌套关系对应着状态子空间的包含关系，每个阶段的搜索范围对应着相邻两个正规子群形成的商群。在《魔方和群论（1）》中，我们将魔方群分解成一系列子群的积：角块位置的排列、楞块... 阅527 转1 评0 公众公开 18-08-31 18:21 |
菲尔兹奖青睐的领域：最优传输和蒙日-安培方程。最优传输问题。最优传输方案退化成最优传输映射依赖于传输代价函数。最优传输的理论等价于特殊的蒙日-安培方程，蒙日-安培方程最早出现于凸几何的闵可夫斯基-亚历山大夫理论。最优传输理论目前在工程和医疗领域得到广泛应用，例如图形学中的参数化、视觉中的曲面注册、大数据中的几何分类、网络... 阅137 转0 评0 公众公开 18-08-10 11:48 |
超材料设计中的共形几何。如果我们对源曲面进行共形变换，不改变目标曲面，则映射的调和能量不变。首先，我们用共形几何的方法将兔子的曲面共形映射到平面上，将平面上的棋盘格回映到曲面上，由此诱导了曲面的曲边坐标系和四边形剖分。我们首先在平面上用拓扑优化方法设计处单元结构，然后通过共形映射，将人脸曲面铺陈到平面上，用单元结构来... 阅417 转2 评0 公众公开 18-08-10 11:39 |
在计算机中，光滑曲面经常用离散曲面来表示，由此我们需要研究几何逼近理论：如何在曲面上采样，如何计算采样点的三角剖分，才会保证离散曲面在各种范数下收敛到光滑曲面。曲面上可以定义实或者复微分形式，微分形式构成曲面的de Rham上同调群，反映了曲面的拓扑性质。如果我们扫描得到一系列的动态曲面，例如人脸曲面带有表情变化，应用曲面配... 阅987 转4 评0 公众公开 18-08-10 11:39 |
深度学习的几何理解（3） - 概率变换的几何观点。更进一步，在距离下，最优传输映射的Kantarovich势能函数和Brenier势能函数满足简单的等式：最优传输的理论天然地和凸几何闵可夫斯基理论等价，因此我们可以用更为直观的几何观点来分析概率变换问题，从而可以将深度学习中的黑箱部分用透明的数学模型来取代。如果，我们用距离函数，，那么Wasse... 阅43 转0 评0 公众公开 18-08-10 11:38 |
我们参看弥勒佛曲面的编码映射，如图4所示，编码映射（参数化映射）可以被ReLU神经网络表示成分片线性映射，右列显示了输入空间和参数空间的胞腔分解。图7显示了一条嵌入在平面上的曲线，左帧的曲线线性可编码，右帧的曲线不可线性编码。我们可以将流形分成很多片，每一片都是线性可编码，然后映分片线性映射来构造编码解码映射，如此分解所需... 阅83 转0 评0 公众公开 18-08-10 11:37 |
为了保证映射是微分同胚，丘先生又说“我年轻时有一个结果：如果目标曲面上的黎曼度量诱导负曲率，度为一的调和映射是微分同胚。”“如何在目标曲面上构造负曲率度量？”“可以用Bergman度量，求取同伦群的典范基底，求其对偶的全纯一形式基底，每个全纯一形式对应一个带有奇异点的平直度量，在把这些平直度量加起来即可。”这种方法适用范围很... 阅21 转0 评0 公众公开 18-06-10 19:24 |
计算机应用中存在性证明的代数拓扑方法。他们认为目前机器定理证明依然无法证明整体微分几何定理，例如著名的高斯-博纳定理，即高斯曲率在整个曲面上的积分和欧拉示性数的关系。如果机器定理证明方法能够证明代数拓扑定理，那么整体微分几何定理就可以被计算机自动证明。图7. 若当曲线定理。因为这个古怪的定理可以推出区域不变性定理，而区域... 阅32 转0 评0 公众公开 18-06-10 19:24 |
答案是用人脸图片的样本集来训练深度神经网络，我们可以得到人脸图像流形的参数化映射（编码）和局部参数表示（解码）。我们已经训练好了网络，得到了流形的参数表示，一张白噪声图像就是一个局部参数（编码），其解码后的像在人脸图像的重建模型上，因而是一张人脸图像。如图9所示，给定一张人脸图像，生成这张脸二十年后的图像，或者倒推这张... 阅51 转0 评0 公众公开 18-06-10 19:23 |
