一题多解 分数和百分数应用题(1)

例1   某厂五月份计划用电2500度，实际用电2125度，节约百分之几？

　　【分析1】先求出实际用电比计划节约了多少度，再除以五月份计划用电度数，即得实际用电比计划节约百分之几.

　　【解法1】实际比计划节约用电几度？

　　2500-2125=375（度）

　　实际比计划节约用电百分之几？

　　375÷2500=0.15=15％

　　综合算式： （2500-2125）÷2500

　　=375÷2500=15％.

　　【分析2】把计划用电看作标准“1”。先求出实际用电是计划的百分之几，再求出此百分数与“1”的差，即为实际比计划节约的百分数.

　　【解法2】实际是计划的百分之几？

　　2125÷2500=0.85=85％

　　实际用电比计划节约百分之几？

　　1-85％=15％

　　综合算式：1-2125÷2500=1-0.85=15％.

　　答：实际用电比计划节约了15％.

　　【评注】解法1是一般解法，易于理解和掌握，并且运算较简便，是本题较好解法.

　　例2  某厂五月份生产机床160台，六月份生产200台，六月份比五月份增产百分之几？

　　【分析1】先求出六月份比五月份增产多少台，再除以五月份生产台数，即得六月份比五月份增产百分之几.

　　【解法1】六月份比五月份增产多少台？

　　200-160=40（台）

　　六月份比五月份增产百分之几？

　　40÷160=0.25=25％

　　综合算式：（200-160）÷160=40÷160=25％.

　　【分析2】把五月份生产台数看作“1”.先求出六月份生产台数是五月份的百分之几，再减去“1”，即得六月份比五月份增产百分之几.

　　【解法2】六月份是五月份的百分之几？

　　200÷160=1.25=125％

　　六月份生产台数比五月份增产百分之几？

　　125％-1=25％

　　综合算式：200÷160-1=1.25-1=25％.

　　答：六月份比五月份增产25％.

　　【评注】解法1 的思路简明，运算较为简便，也是通常使用的解法.

　　例3   红星机床厂，上个月计划生产机床200台，实际比计划多生产40台，实际产量是计划的百分之几？

　　【分析1】先求出实际生产多少台，再除以计划生产的台数，所得百分数就是实际产量是计划的百分之几.

　　【解法1】实际生产机床多少台？

　　200+40=240（台）

　　实际产量是计划的百分之几？

　　240÷200=1.2=120％

　　综合算式：（200+40）÷200=240÷200=120％.

　　【分析2】把计划生产的台数看作标准“1”.先求出实际比计划多生产百分之几，再加上“1”即得实际产量是计划的百分之几.

　　【解法2】实际比计划多生产百分之几？

　　40÷200=0.2=20％

　　实际产量是计划的百分之几？

　　1+20％=120％

　　综合算式：1+40÷200=1+0.2=1.2=120％.

　　【评注】解法1是常用解法，思路直接，但计算较繁，解法2思路简明，运算简便，是本题的较好解法.

　　例4  五一班有50人，在一次数学测验中，有1人不及格，求及格率.

　　【分析1】根据“×100％=及格率”，先求及格人数，再求及格率.

　　【解法1】×100％=0.98×100％=98％.

　　【分析 2】先求出不及格人数占全班人数的百分之几，即不及格率，再用标准“1”减去不及格率，即得这次测验及格率.

　　【解法 2】1-10÷50=1-0.02=0.98=98％.

　　答：这次数学测验的及格率是98％.

　　例5  小研看一本课外书，4天看了全书总页数的，照这样计算，他看完这本书还要多少天？

　　【分析1】先求出每天读全书的几分之几，再除全书总页数“1”，即得读全书要用天数.最后减去已用的4天，即得还要用的天数.

　　【解法1】每天读全书的几分之几？

　　÷4=

　　读全书共用多少天？

　　1÷=6（天）

　　看完全书还要多少天？

　　6-4=2（天）

　　综合算式： 1÷（÷4）-4

　　=1÷-4=2（天）.

　　【分析 2】把读全书要用天数看作标准“1”，那么4天恰是读全书要用天数的，由此可求出读全书用多少天，再求还要多少天.

　　【解法2】读全书共用多少天？

　　4÷=6（天）

　　读完全书还要多少天？

　　6-4=2（天）

　　综合算式：4÷-4=6-4=2（天）.

　　【分析3】把转化为2∶3，那么全书页数可平均分成3份，已读了2份，还剩下1份没有读.由此可求读每份书用多少天，即还要多少天.

　　【解法3】 4÷2×（3-2）

　　=4÷2×1=2（天）.

　　或：设还要用x天.

　　4∶2=x∶（3-2）

　　2x=4

　　x=2

　　【分析4】因为“读书量÷天数=每天读书量”，每天读书量一定，所以读书量和读书的天数成正比例，由此列比例式解题.

　　【解法 4】设读全书还要用x天.

　　（1-）∶x=∶4

　　∶x=∶4

　　x=4×

　　x=

　　x=2

　　【分析5】用倍比解法.把全书总页数看作“1”，先求出“1”里包含几个，那么读全书也就需要几个4天，由此求出读全书要用天数，再求还要多少天.

　　【解法5】 4×（1÷）-4

　　=4×-4=6-4=2（天）.

　　答：他看完全书还要2天.

　　【评注】解法1和解法4都是常用解法，易于理解和掌握，但一般来说计算较繁，其它三种解法都是转换角度进行思考问题，有益于锻炼思维.其中解法2和解法3思维角度选择巧妙，运算简便，是本题的最好解法.

　　例6  六年三班有女生24人，占全班人数的40％，这个班有学生多少人？

　　【分析 1】把全班人数看作标准“1”.根据“比较量÷对应分率=标准量”，用女生人数除以它占全班人数的40％，即得全班人数.

　　【解法1】24÷40％=24×=60（人）.

　　【分析2】把40％转化为40∶100，那么全班人数可分为100等份，其中女生占40份，可先求出每份有多少人，再求100份有多少人即全班的人数.

　　【解法 2】 24÷40×100=0.6×100=60（人）.

　　【分析3】把女生人数看作标准“1”，那么全班人数是女生人数的.由此可根据分数乘法意义求出全班人数。

　　【解法 3】24×=24×=60（人）.

　　【分析 4】根据“全班人数×40％=女生人数”这一等量关系列方程.

　　【解法 4】设全班人数为x.

　　x×40％=24

　　x=24÷40％

　　x=60

　　【分析5】把全班人数看作标准“1”，运用倍比法解题.

　　【解法5】24×（1÷40％）=24×=60（人）.

　　【分析6】根据“女生人数和全班人数的比，等于它们相应的份数比”列出比例式.

　　【解法 6】设全班人数为x.

　　24∶x=40∶100

　　40x=24×100

　　x=2400÷40

　　x=60

　　答：这个班有学生60人.

　　【评注】解法1和解法4是常用解法，思路简明，易于理解.其它几种解法，都是将题中的数量关系进行转化.改变思考角度来解题，这是解答分数应用题必须具备的基本功，只有做到这一点，才能灵活运用知识，巧妙解题.解法3是本题的最佳解法.

　　例7  一个钢厂去年产钢88万吨，今年计划比去年增产25％，今年计划产钢多少万吨？

　　【分析 1】先求出今年计划比去年的增产量，再加上去年的产钢量，即得今年产钢量.

　　【解法1】今年计划比去年增产多少？

　　88×25％=22（万吨）

　　今年计划产钢多少万吨？

　　88+22=110（万吨）

　　综合算式： 88×25％+88

　　=22+88=110（万吨）.

　　【分析 2】先求今年计划产钢是去年的百分之几，再求今年计划产钢多少万吨.

　　【解法 2】 88×（1+25％）

　　=88×=110（万吨）.

　　【分析 3】由题意可知，去年产钢可理解为100等份，今年计划产钢量可理解为（100+25）等份.运用归一解法，先求每份多少万吨，再求出125份多少万吨，即今年计划产钢量.

　　【解法3】 88÷100×（100+25）

　　=88÷100×125

　　=0.88×125=110（万吨）.

　　答：今年计划产钢110万吨.

　　【评注】解法 1和解法 2是常用解法，易于理解和掌握.其中解法2思路简明，运算简便，是本题的较好解法.

　　例8  某校办工厂今年第一季度生产教具6900套，比去年同期增产15％，去年第一季度生产教具多少套？

　　【分析1】把去年第一季度教具产量看作标准“1”.先求出今年第一季度产量是去年的百分之几，再根据“比较量÷对应分率=标准量”，求出去年第一季度产量.

　　【解法1】今年第一季度产量是去年的百分之几，

　　1+15％=115％

　　去年第一季度产量是多少套？

　　6900÷115％=6000（套）

　　综合算式： 6900÷（1+15％）

　　=6900÷=6000（套）.

　　【分析2】根据“标准量×对应分率=比较量”列方程解.

　　【解法2】设去年第一季度产x套.

　　（1+15％）×x=6900

　　x=6900

　　x=6900×

　　x=6000*_

　　【分析3】 把今年第一季度产量看作“1”，那么去年第一季度产量是今年的，由此根据分数乘法应用题的解法，求出去年第一季度产教具多少套.

　　【解法3】 6900×

　　=6900×=6000（套）

　　【分析4】用归一解法.由题意可知，去年的教具产量可分为100等份，今年第一季度产量可分为（100+15）等份.由此可先求每份多少套，再求100份是多少套，即去年第一季度产量.

　　【解法 4】 6900÷（100+15）×100

　　=6900÷115×100

　　=60×100=6000（套）.

　　【分析5】根据今年第一季度产量和去年的比等于它们相应的份数比，列出比例式.

　　【解法5】设去年第一季度产x套.

　　6900∶x=（100+15）∶100

　　115x=6900×100

　　x=6900×100÷115

　　x=6000

　　答：去年第一季度生产教具6000套.

　　【评注】以上五种解法中，解法1和解法2是常用解法，易于理解，但运算较繁.解法3思路简捷明白，运算简便，是本题的较好解法.

　　例9  一种电冰箱，现在每台的价格是1840元，比原来降低了20％，原来每台的价钱是多少元？

　　【分析1】把原价看作标准“1”，那么现价是原价的1-20％，而原价的（1-20％）是1840元，由此可求原价是多少元.

　　【解法1】 1840÷（1-20％）

　　=1840×=2300（元）.

　　【分析2】根据“每台降低的价钱÷降低的百分数=每台原价”列方程解.

　　【解法2】设每台原价是x元.

　　（x-1840）÷20％=x

　　x-1840=20％x

　　x-20％x=1840

　　x=1840÷（1-20％）

　　x=2300

　　【分析3】以“原来每台价钱-每台降低价钱=现在每台价钱”为等量列方程解.

　　【解法3】设原来每台x元.

　　x-20％x=1840

　　80％x=1840

　　x=2300

　　【分析4】以“原来每台价钱×现价占原价的百分率=现在每台价钱”为等量列方程.

　　【解法4】设原来每台x元.

　　x×（1-20％）=1840

　　x=1840÷80％

　　x=2300

　　【分析5】以“现在每台降低的价钱÷原来每台的价钱=降低的百分数”为等量列方程.

　　【解法5】设原来每台x元.

　　（x-1840）÷x=20％

　　x-1840=20％x

　　x-20％x=1840

　　x=2300

　　【分析6】把现在每台价钱看作标准量，那么原来每台价是现在每台价的.由此可求出原来每台价钱是多少元.

　　【解法6】 1840×

　　=1840×=2300（元）

　　【分析7】用归一解法.原来每台价钱可分为100等份，现在每台价钱可分为80等份.由此可求每份是多少元，再求100份多少元即原价.

　　【解法7】 1840÷（100-20）×100

　　=1840÷80×100

　　=23×100=2300（元）.

　　答：原来每台的价钱是2300元.

　　【评注】解法1、解法3和解法4是常用解法，容易理解.解法6是把标准量进行了转换，思路简单巧妙，运算简便，是本题的最佳解法.另外，本题还可运用有关比例的知识解答，读者可试试.

　　例10  电子计算机厂，四月份生产计算器1200件，上旬生产了，中旬生产了.上、中旬共生产计算器多少件？

　　【分析1】先求出上旬生产多少件，再求中旬生产件数，最后求上、中旬生产件数和.

　　【解法1】上旬生产了多少件？

　　1200×=360（件）

　　中旬生产了多少件？

　　1200×=480（件）

　　上、中两旬共生产了多少件？

　　360+480=840（件）

　　综合算式：1200×+1200×

　　=360+480=840（件）.

　　【分析 2】先求两旬共生产的件数占全月的几分之几，再求出两旬共生产多少件.

　　【解法2】两旬产量占全月的几分之几？

　　+=

　　上、中两旬共生产了多少件？

　　1200×=840（件）

　　综合算式：1200×（+）

　　1200×=840（件）

　　【分析3】先求出下旬产量占全月的几分之几，再求下旬产量，最后用全月生产件数减去下旬生产件数，即得两旬共生产多少件？

　　【解法 3】下旬生产了全月的几分之几？

　　1--=

　　下旬生产了多少件？

　　1200×=360（件）

　　上、中两旬共生产多少件？

　　1200-360=840 （件）

　　综合算式： 1200-1200×（1--）

　　=1200-1200×

　　=1200-360=840（件）

　　答：上、中旬共生产计算器840件.

　　【评注】解法1和解法2运用乘法分配律可以相互转化.很明显，解法2的思路较为简捷，运算较为简便，是本题较好的解法.