第一章
概述 第一节 数学是什么 一. 数学的“定义” 1.古今数学家的说法 (美)R·柯朗: “数学,作为人类智慧的一种表达形式,反 映生动活泼的意念,深入细致的思考,以及完美和谐的愿望,它 的基础是逻辑和直觉,分析和推理,共性和个性。 ” (法)E·波莱尔: “数学是我们确切知道我们在说什么,并 肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。 ” (英)罗素: “数学是所有形如 p 蕴含 q 的命题的类” ,而最 前面的命题 p 是否对,却无法判断。因此“数学是我们永远不知 道我们在说什么,也不知道我们说的是否对的一门学科。 ” 2.数学的 15 个“定义”《数学文化导论》的收集) ( 这十五种“定义”都有它的道理,也都有片面性,但可使我 们从各个角度考察、理解数学。 1) 哲学说 来自古希腊;亚里士多德、欧几里德。 哲学是研究最广泛的事物,数学也是研究最广泛的事物,这 是它们的共同点。但是,数学与哲学的研究对象不同,研究方法 也不同。两者虽有相似之处,但数学不是哲学的一部分,哲学也 不是数学的一部分。现在有人说“哲学从一门学科中退出,那就 11 意味着这门学科的建立;而数学进入一门学科,就意味着这门学 科的成熟。 ” 2) 符号说 3) 科学说 4) 工具说 5) 逻辑说 6) 创新说 7) 直觉说 8) 集合说 9) 结构说(或关系说) 10) 模型说 11) 活动说 12) 精神说 13) 审美说 14) 艺术说 15) 万物皆数说 方延明: 数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的 结构的一门科学。 徐利治: 数学是 “实在世界的最一般的量与空间形式的科学, 同时又作为实在世界中最具有特殊性、 实践性及多样性的量与空 间形式的科学” 。 [思]:请你在学习“数学文化”课的过程中,始终带着下面 12 的问题——在学完 “数学文化” 课后, 给出一个你自己对 “数学” 的定义。 二、数学的特点 第一是抽象性,第二是精确性,第三是应用的广泛性。 1.抽象性 从中学和大学数学的学习中我们已经体会到数学的抽象性 了。直线、平面、空间都是抽象的概念, n 维空间以至无穷维 空间更是抽象的概念。 不过,抽象不是数学独有的特性,任何一门科学都具有这一 特性。数学抽象的特点在于:第一,在数学的抽象中只保留量的 关系和空间形式而舍弃了其他一切;第二,数学的抽象是一级一 级逐步提高的, 它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的 抽象; 第三, 数学本身几乎全在处理抽象概念和它们的相互关系。 2.精确性 数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的 确定无疑性。 数学的精确性不同于物理、化学等其它大多数学科。汉克尔 说: “在大多数科学里,一代人要推倒另一代人所修筑的东西, 只有数学,每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。 ” 两个例子: ① 地心说→日心说→开普勒三定律 ② 高温超导的上界(朱棣文)30º→90º→120ºK 13 3.应用的广泛性 华罗庚:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球 之变,生物之谜,日用之繁,数学无处不在。 例子:①哈雷彗星的发现;②海王星的发现;③电磁波的发 现。 三、 数学与其它领域的联系 数学文化的外延广泛,数学与物理、化学、生物、天文等学 科的联系是大家比较了解的。我们从另外几个学科来看。 1.数学与教育 数学对于受教育者,不仅仅是学会一门课程、一门知识、更 重要的是学习数学的思想、方法、精神,把数学作为成才的基本 素质要求。 1) 波利亚: “让我们教猜想吧! ” 波利亚还说: “在数学家证明一个定理之前,必须猜想到这 个定理;在他完成证明的细节之前,必须先猜想出证明的主导思 想。 ” 事实上,教育并不总是在让学生认知,教育在很大程度上是 让学生欣赏,只有这样,才有最佳的教育效益。 2)作为数学教授的大学校长:丁石孙——北大,苏步青— —复旦,谷超豪——科大,潘承洞——山东大学,齐民友——武 汉大学,伍卓群——吉林大学,侯自新——南开大学,李岳生— —中山大学,曹策问——郑州大学,杨思明——湘潭大学,展涛 14 ——山东大学,黄达人——中山大学,吴传喜——湖北大学,周 明儒——徐州师大,王梓坤——北师大,陆善镇——北师大,王 建磐——华东师大,史宁中——东北师大,路钢——华中师大, 邱玉辉——西南师大,王国俊——陕西师大。 大学校长是综合素质比较好的学者; 众多大学校长都是数学 教授,这也说明数学教育对人的综合素质的提高影响很大。 2.数学与文学 1)用数学方法对作品和语言进行写作风格分析和句型频谱 分析 《红楼梦》 80 回与后 40 回的作者不同; 例: 前 《静静的顿河》 的作者是肖洛霍夫。 2) 语言学好比一个公理系统 (语法好比法则和定理) 3)语音学(关于语调)的研究 计算机模拟人的语调, 是南开大学中文系与计算机系合作的 一个成果,曾获得国家级教学成果二等奖。 3.数学与史学 1)史衡学 数学的介入,使史学的研究成果更加客观、严谨,较多地排 除了人为因素。 2)考古对数学史的推进 1986 年上海陆家咀发现元朝玉挂,谈祥柏教授研究后发现, 15 它是一个四阶完全幻方。过去以为只有印度历史上才有这种“完 全幻方” 。 4.数学与哲学 1)数学中无限的概念、连续的概念,一出现,便成了哲学 研究的对象。 2) “没有数学,我们无法看透哲学的深度,没有哲学,人 们也无法看透数学的深度,而若没有两者,人们就什么也看不 透。 ” 3)哲学系的“逻辑学”与数学系的“数理逻辑” 5.数学与经济 1)普遍运用数学建立经济模型 2)获诺贝尔经济学奖的学者中,数学家出身的和有数学背 景的人占一半以上 6.数学与社会学 1)定量社会学、实证社会学已经形成了一套逻辑严密的研 究模式 2) “社会科学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望 尘莫及的阶段。 ” 7.数学与工程技术 “1991 年的海湾战争就是信息战争、数学战争” 1) 2)数学与工程技术的相互渗透,非常广泛、深刻 16 2000 年是联合国宣布的“世界数学年” ,联合国教科文组织 指出: “纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥 匙。 ” |
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