一定要学好三门学科美国数学家L。A。斯蒂恩在《今日数学》中写道： “这三门学科――－代数、分析和拓扑――代表了现代数学家的共同修养。这些领域的定理、定义和方法，形成数学教育的经典：一个人不能阅读用代数、分析和拓扑的语言写的数学书，就不能自命真有数学知识。从二十世纪初期的这三个领域里产生了五花八门、难易相信的现代数学。” 这三门学科其中两门――代数和分析是大一的必修课。一定要认真学好。 学习高等数学，一定要坚持数学概念第一，运算技巧第二的原则。 数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。这里的“数”和“形”应做广义的理解。这样，结构、范畴、模型等对象都可包括在里面。 数学是推理的科学。推理的第一步就是要定义概念。毛泽东在《实践论》中写道：“社会实践的继续，使人们在实践中引起的感觉和印象的东西反复了多次，于是在人们的脑子里生起了一个认识过程中的突变（即飞跃），产生了概念。概念这种东西已经不是事物的现象，不是事物的各个片面，不是它们的外部联系，而是抓着了事物的本质，事物的全体，事物的内部联系了。概念同感觉，不但是数量上的差别，而且有了性质上的差别。循此继进。使用判断和推理的方法，就可产生出合乎论理的结论来。” 逻辑学上把概念看成是思维的细胞，是反映对象本质属性的思维形式。在思维过程中人们依靠概念构成判断并形成推理。 2003级数院学生孙洪宾谈到姜伯驹老师非常强调对于基本数学定义的理解与记忆。在期末考试中，几乎每一道题目都有一小问是要求我们叙述定义或是公理。 数学有一个特点就是高度抽象。数学的抽象能力是很重要的能力。许宝马录先生非常强调这点，他说：“数学中的抽象能力是重要的，一些问题经过抽象之后，不仅问题简明了，而且它的实质也更清楚了。”他经常用实例教育学生，如何进行抽象，就是经常分析和比较，能把表面上看起来似乎不相干的内容经抽象后看出来实质上是一样的。 代数和几何这些基本原理是来源于对日常生活经验的抽象。这种抽象可以一环套一环地反复进行。这里“抽象”这个词要理解为“去除”的意思，也就是去掉那些对有关问题的来龙去脉或对某特定目的来说是非本质的东西。因此，我们对数学概念不仅要知道它是怎样定义的，而且要知道它是怎样抽象出来的。有些重要的数学概念如实数、函数不是一开始就这样定义的，而是经过多人、多年才得到今天的概念。就是说有些数学概念不是“不刊”的，而是“可刊”的。 抽象的过程就是由感性认识到理性认识过程，毛泽东是这样描述这个过程的：“要完整地反映整个事物，反映事物的本质，反映事物的内部规律性，就必须经过思考作用，将丰富的感觉材料加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、禹及里的改造制作工夫，造成概念和理论的系统。”我们学习数学概念就要学习这概念是如何抽象出来的，还要能回到具体对象去。 我们学好数学是为了更好的运用数学，一定要“真懂”。不要认为考试得了高分就是“真懂”了。我大学同学朱健士每次考试成绩不高，但他考试后还继续看书，真正弄懂，后来被选为工程院士。 学习方法上还是华罗庚先生的由厚到薄，印到厚的过程。许宝马录先生将第一阶段再分为两个阶段，他说，读一本书要经过变厚再变薄的几个阶段。第一阶段要变厚，就是要补充书上未详细给的、甚至未给的证明；找出书上的错误给以更正；自己想到的内容，给以补充。。。。，这样念完一本书，这本书就变厚了。第二阶段是由厚再变薄。这就是要把书中的关系、推理的关键步骤和基本方法提炼出来，掌握了这些，全书的内容都了然如指。这第二个阶段是不容易的，没有这第二阶段，就不易进入研究的领域。 在第一阶段，许先生的读书方法是看清楚了一条定理的条件和结论后，应自己去设法证明，写出来与书上的进行比较，看哪些是书上的好，什么地方是自己的好，弄清原因，然后再整理，这样才能真正吸收书上的内容。这样做当然很费工夫，没有勤奋好学的毅力，是很难坚持的。 许先生还要求念一本书，就要故意和作者作对，尽量去挑书上的毛病，不要认为写书的人是大专家，不会有错，很难找到一本一点错也没有的书。许先生就是这样做的。张尧庭教授说，他随许老师十年，发现许先生读过的书几乎都被他找出各种大大小小的错。张教授还举出自己经历的事例，他说，刚念费勒的《概率论及其应用》时，许先生说书中的循环事件定义有问题。还指出，定义为什么不妥，应如何修改。当时张教授是快大学毕业的学生，从未想过书上的定义有问题，特别像费勒这样的大专家，他写的书，定义还会有问题，似乎是难以想象的。隔了一年，费勒的书出了修订版，张教授拿到新书后，看到循环事件的定义真是修改了，而且是和许先生说的一样，自此以后，张尧庭念书时对新的概念特别注意它的定义是否合适。 关于印到厚，2004级数院学生韩思蒙（获哈佛大学全额奖学金，攻读统计学博士）体会很深，他说：“陈天权老师曾经谆谆教导我们说：学数学一页书要读出十页笔记，虽然作者会跳过一些内容，但是作者所明白的其中的奥妙，我们未必清楚，所以需要在笔记中全部补充完整。就这样薄薄的一本书，我们往往要写下厚厚的笔记。“ 对于由厚到薄，张景中院士这样讲的：“学习数学，切忌死记硬背，机械推演，贵在联系贯通，举一反三。数学概念要联系生活实际，数学方法要解决实际问题。数学本身的各部分内容，更有密切的联系。“由于有密切的联系，所以可以压缩。他举了指数函数、对数函数和幂函数。 他说：”非0实数的0次幂为1“，当F（x）是指数函数时表述为F（0）＝1，当F（x）是对数函数时表述为F（1）＝0； “1的任意次幂为1“，对于指数函数、对数函数表现为底不为1，对于幂函数F（x）表现为F（1）＝1，在图上又表现为曲线经过点（1，1）。 这三类函数都有单调性，但归根结底无非是两点，就是“大于1的正数，正指数幂大于1；小于1的正数，正指数幂小于1“。因为大于1的正数的倒数小于1，两点又归为一点。 一件事有几种说法，说来说去是一回事。一个城市的电话号码增1位，人口增长10倍，说明指数增长快；人口增长10倍，电话号码才增加1位，说明对数增长慢。 看清楚这一点，学数学就能举一反三，就有了味道，就记得住，就用得活。 100多页的数学课本，这样想来想去，就只有十几页，两三页，甚至只有几行了。但这几行又能千变万化，解决大量实际问题。“ 学数学，必须要做习题。习题有三种，一是很容易的，主要是直接套用公式或定理，，一是不容易做的，技巧性很高的，许宝马录先生对这类题很重视，说这个题不容易做，那正说明你应该做这个题目。我记得我读书时有道题用了几天才做出。有同学很快做出来了，我不去问他，我想别人能作得出，我也能做得出。我们那时绝大多数人的作业是独立完成的。 第三种习题本身就是定理，不够格放于正文，只能当习题。这些题必须做，做了后就可以当定理用。 许宝马录先生很认真做习题，他还保存了40年代在西南联大教书时做的习题。除了自己认真做外，还要求学生做题不仅要对，而且方法要好，他不仅对作业批改对不对，而且还指出这个题解的方法好不好，对不好的，批示给出另外更好的方法。 我们学数学不仅是学知识，还要学数学的思维方法。北大丘维声教授概括为： 观察――抽象――探索――猜测――论证。 具体来说，就是观察客观现象，抓住主要特征，抽象出概念或者建立模型，猜测可能有的规律，然后进行深入分析、逻辑推理和计算，揭示事物的内在规律。 他给学生上第一堂课时就提出数学的思维方式，他说：“也许三年后，你们都不会记得这些推导，十年后，都不会记得这些定理，但是数学的思维方式，会影响你们一辈子。“ 其实，不仅数学思维是如此，物理等自然科学的研究也是如此，从观察现象，再抽象，设计实验，提出假说，然后论证，只是论证方法不同而已。 就是文学，也需要细致观察，找到共同特征，得到形象语言。高尔基说：“文学是用语言来创造形象、典型和性格，用语言来反映现实事件、自然景象和思维过程。”据说短篇小说之王莫泊桑毕业论文就是观察100个马车夫，抽象出共同特征用一个马车夫来表达。每门学科都有自己的语言，表达方式和形式不同。 将各门学科的知识概括为共性的学科就是哲学。哲学的原意就是爱智。对哲学的定义有多种。有一说法是：哲学可以用三句话来描述：（一）哲学就是培养智慧；（二）哲学就是发现真理；（三）哲学就是印证价值。 冯友兰先生认为哲学的内容是“人类精神的反思”，北师大周桂钿教授把人类精神分为三大类：真、善、美。因此，哲学按研究内容分，可以分为求真的哲学，求善的哲学与求美的哲学。 求真的哲学，根据科学成果，通过逻辑分析，探讨宇宙本原，西方哲学以求真的科学哲学为主流。 求善的政治哲学，研究的主题是社会治理的问题，以历史上政治兴衰成败作为借鉴，以当代人的性情作为依据进行研究。 有一点是共同的，那就是学习哲学，能使人聪明。我希望你们在通选课中选点哲学课，如不选也要旁听几课。能进北大的学生都是聪明的，学了哲学更聪明，何乐而不为呢？ 你们二年级后就要分专业了，不论学什么专业，这三门课一定要学好。学好了这三门，以后的学习就不太费力了。你们中不可能都从事数学工作，很可能大部分转行，也需要一部分人转行（主要是非数学领域的专家数学知识普遍不精，不排除个别人的数学比学数学的还好。）数学在绝大多数领域都能发挥作用，到北大后，你必须寻求你最感兴趣的学科，本科以后再去。因此本科的学习对你们今后学什么专业都是很重要的。 北大数院的学生，好样的。 我们读大学时绝大多数人都希望对数学有所贡献，有人更想在数学史上留下自己的名字。但是由于这种或那种原因，我们的黄金时间被虚耗了。我们年级才出了7个院士。我们老了，做不到“老骥伏枥，志在千里。”了。王选曾说，“老骥伏枥”，最好用“扶植新秀，甘为人梯”的精神来实现自己“志在千里”的雄心壮志。我没有王选的水平，没有能力“扶植”，我说掌握的知识不足以做“人梯”。我只有期望，让你们实现我们的愿望：使我国数学重整雄风，在世界数学中有重要一席位置。 一． 我在中学时很少听课，老师在上面讲，我就在堂上做作业，讲完课，我作业也做完了，比老师布置的作业要多。但到大学后我听课很认真，一是你不听好课，无法做题。一是老师讲的太好了。王选在总结他取得成绩有几条，其中之一就是听了许多大师讲的基础课，打下非常扎实的数学基础。听完课后还要好好复习。至少达到1比1。即1小时课要用1小时复习。我指的是主干课。我们年级有位同学叫朱贱士，考试成绩中下，打他 二． 科学就是用已知探索未知，就要走前人未走过的路。这条路很艰巨，需要勇气和锲而不舍的实干精神。支撑他们的是对科学的痴迷和热爱。爱因斯坦说过：只有把科学作为自己的热爱，把科学的真、善、美作为自己的追求，把科学内化为我们精神一部分的时候，才有产生伟大的科学思想的热情和灵感。 很多数学家取得成就的主要原因是热爱数学，追求数学美。 数学最初是以非常朴实的方式发展起来的。它从数1，2，3，。。。和直观易见的几何图形如点、线段、直线、空间的平面、角、三角形、圆等出发，逐步发展成具有数域和图形域的较为复杂的结构，这些数域和图形域的研究并不各自成一体系，而是通过测量这个概念来相互联系。就这样产生了数学。开始是巴比伦人和埃及人，但把数学推倒一个崭新阶段的却是希腊人。他们觉得不能光是向前探索，更应回顾思索，通过他们的努力，数学才发展成为具有现代概念的一门科学。一方面，他们已认识到，（数学）证明就是将数学命题通过最简单的合乎逻辑的推论，归纳为其他一些已知事实，即归纳为那些已为经验所证实、足以使人信服的东西。另一方面，他们已意识到，这种归纳过程不可能无限进行下去，而只能局限于数或图形的某些最简单的性质，这些性质的可靠性又可由直观或经验来确定。 就这样，他们第一次有意识地搜集一系列的基本事实，如过两点只能引一条直线等。并将其编纂成集，同时他们还奠定了逻辑学基础。这两方面的专著使几何由简单到复杂地建立起来了。欧几里徳几何学就成为这门科学的典范。 这样说来，数学主要依靠推理，我为什么要求培养想象力呢？英国数学家德。摩根（De Morgan1806－1871）说：“数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。”试想，如果没有想象力，数学怎能和艺术结合。 想象力培养更需要人文科学特别是文学。我们知道很多大数学家文学修养很高，如苏步青先生2000年出版一本书《数与诗的交融》，里面精选了苏老的诗词（他写了500多首）。 三． 高斯在给Schumacher的信中说：“现代数学的一个特征就是在我们的符号和名词的语言中，有一个杠杆，通过这个杠杆可以将非常复杂的论证简化成某个机理，尽管在大多数情况下，这样做的实质就是默认某些假设，然而机械地使用这个杠杆，却是多么地屡见不鲜。我认为，每当进行运算，每当运用概念时，我们都必须始终不忘初始条件，却不能把通过这种机理得出的结果，看成是超出明确规定范围的数学性质。” 对数学概念我们要彻底理解。如函数概念是现代数学的一个重要的特征。现代数学是研究函数关系的数学。再如极限概念。高等数学就是从严格的极限理论开始的。极限理论一方面是无穷数列和函数理论的基础，另一方面又是函数连续性和微积分计算的基础。连续函数和微积分的重要性不仅在于是整个数学结构的基础，而且在物理、技术等方面都有很重要的应用。很多物理问题是以微分方程的形式出现的。再如集合论。集合论是现代数学大厦的基石。几乎所有数学概念的精确定义都是建立在集合论基础上的，而且数学演绎方法就具有逻辑论证与集合论论证相结合的特征。简单地说，集合论语言是全世界数学家表达和领会的公共用语。因此，如果谁想在高等数学本身或者它的实际应用中取得任何进展，那么他就必须熟悉集合论的基本概念和结果，以及表达它们的语言。 现代数学的一些大的分支，特别是代数、几何、分析，都是建立在公理体系上的。建立过程大致如下：已知为一组数学对象（通常称为集），该集的各个元素和用于描述这些数学对象的基本性质的一组公理，接着就提出下列工作:首先由这些公理推出尽可能多的推论，即尽量将这一数学结构扩展到最大范围；然后将有关公理体系的所有处理方法进行全面考察。 康托提出集合论后，产生了矛盾，数学家借此机会更彻底地思考了在定义数学概念时涉及到的问题。于是，一门系统的数理逻辑便发展起来了。 四． 我们现在学到的证明不是原始的证明，最好了解证明改进过程。这个证明是否定型。不少数学家活动的一大部分是寻求旧定理的新证明，他们想找到最快捷、最漂亮、最有效的途径。1955级同学当年就改进了课本上的证明。 看《通俗数学名著译丛》国际数学联盟将2000年定位“世界数学年”，其主要宗旨就是’使数学及其对世界的意义被社会所了解，特别是被普通公众所接受。“为了迎接2000年世界数学年，上海教育出版社1997年出版了《通俗数学名著译丛》。丛书的读者对象很广泛。对于专业数学工作者，本丛书的部分作品也是值得一读的。因为现代数学是一株分支很多的大树，一个数学家对于他所研究的专业以外的领域，也往往深有隔行如隔山之感，也需要涉猎其他分支的进展，了解数学不同分支的联系。 除了丛书以外，还可以读些数学史，如《古今数学思想》等。这些是辅助读物，目的是扩大眼界，当然首先要听好课，学好教材。 对目前所用教材，我没有看过。我手头上只是部分读过的。那时教材主要是苏联的，也参考西方的（很多没有译本，只有看原版）。有的教材没有习题，另有习题集。有的是附有习题的。 对于附有习题集的，作者都强调要认真做。如《测度论》的作者在序中说：“差不多在每一节的末尾，总有一些习题，有些以问题方式提出，但大部分是作为肯定的命题提出而希望读者能加以证明的。应该将这些习题看作构尘书的有机部分；在这些习题里，不但有了解理论不可缺少的正例和反例，也有新概念的定义，偶尔更有在不久以前还是研究对象的完整理论。 对于没有习题的，就需要从习题集中精选，是否做完，我们过去要求多做些（老师要求多看文献，少做点题，说这是对看文献来说的，但习题量是不少的），前几年，在北大任教大学同学对我说，由于有了数学软件，现在要求学生做题比我们那时少得多。 学数学要注意逻辑推理，更重要的是想象力，这是德。摩根说的；“数学的原动力是想象力而不是推理。”数学的思维方式是：观察――抽象―――探索――猜测―――论证。 要培养想象力，就需要多读文学作品特别是诗歌。 |
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