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摘要：对数学的本质应该怎样认识，这不仅是数学哲学的一个基本问题，而且是一个具有时代性、前瞻性、发展性、综合性的数学哲学核心问题．对数学本质的认识不应该从传统数学哲学的角度退缩到方法论的一个狭隘的层面，而应该从更广阔的、更为多样的角度进行透视．林夏水先生的"数学是一门演算的科学"的见解，忽略了数学的非演绎性和非算法性，因而无法完全概括数学的本质．在数学深刻的思想与知识变革过程中，"数学是关于模式的科学"的观点是对数学本质的恰当定位．
关键词：数学的本质；演算；模式
中图分类号：G40-02 文献标识码：A 文章编号：1004-9894（2003）03-0037-05
黄光荣老师在《数学教育学报》上发表的"对数学本质的认识"[1]一文中，谈到对林夏水先生在《哲学研究》上发表的"论数学的本质"[2]一文的一些看法．紧接着，林夏水先生就撰文对这篇文章提出了争鸣意见[3]．由于什么是数学的本质这样的问题一直是笔者关心的一个课题，笔者就再次认真地拜读了林夏水先生发表在《哲学研究》上的原文．通过学习和思考，本着学术争鸣的科学态度，这里就文[2]中的一些主要论点提出一些商榷意见，并在这些问题上表明自己的见解．不妥之处，还请林先生指教．
1 探讨数学的本质应采取什么样的研究路线
文[2]一开头就对从认识论的角度探讨数学本质问题提出了异议，这就涉及到探讨数学的本质究竟应该采取什么样的研究路线的问题．文[2]认为随着数学的发展暴露出不同时代的哲学家和数学家从认识论角度看待数学的片面性和局限性．这一见解当然是无可置疑的，因为每个时代对数学的认识都只能是那个时代特定的数学研究水平，数学发展方向，数学思想、方法，数学传统甚至数学思维旨趣的产物．但问题在于这种历史的局限性并不意味着从认识论探讨数学本质问题这一研究路线是不可行的．与文[2]另寻它途的观点不同，笔者认为，正是因为不同时代数学家、哲学家的见解有其片面性和局限性，才更需要我们进一步地从认识论角度去探讨数学的本质．这就正如关于哲学的许多基本问题一样，从来就不可能在任何时代获得一劳永逸的、终结性的、不可变更的答案．哲学的基本问题都是历久弥新的，随着人类认识的进步，对这些问题的回答也将有新的方法和途径．我们不能因为哲学家对许多哲学基本问题的认识有局限性和片面性，就予以放弃或加以消解．
在我们看来，对数学本质的认识不仅不应该从传统数学哲学的角度（即本体论、认识论和方法论）退缩到方法论的一个狭隘的层面，而是应该更进一步地，从更广阔的、更为多样的（全方位）的角度进行透视．这里简要地从数学哲学的新发展和数学的社会文化研究2个角度做一分析．
20世纪以来，数学的发展进入一个新的历史时期．数学从追求一劳永逸的终极性目标并拥有一成不变的、形而上学的、绝对永恒的知识体系及其价值，转化为追求分解了的、可实现的子目标和按逻辑程式、知识法则和思维方法所设置的各种可能的、多样化的理论框架．相应地，数学哲学研究也逐步展现出许多不同于其传统范式的新特征．郑毓信教授把数学哲学新的研究路线和数学范式的这种转变概括为以下4个方面："（1）研究立场的转移，即从严重分离转移到与实际数学活动的密切结合．（2）对于数学史的高度重视．（3）研究问题的转移．（4）动态的、经验和拟经验的数学观对于静态的、绝对主义的数学观的取代．"[4]数学的发展和数学哲学研究的新范式不仅极大地丰富了数学的本体论内涵，而且深刻地变革了关于数学本质的传统观念，体现了人类思想的新价值，开拓了人类理性认识的新维度．这些新的转变以及数学研究展现的新特征给我们的启示是，探讨数学本质必须着眼于当代数学的实际研究，必须与数学的各种对象、关系及结构的分析相结合．只有置身于当代数学发展的真实语境之中，才可能获得关于数学本质的较为全面的认识．
数学的社会-文化研究是一个比数学哲学更为宽广的透视数学本质的视角．数学的社会-文化研究所意欲表达的是一种广泛意义下的数学观念，即不仅超越把数学视为一门科学体系的单纯的科学主义观念，而且超越把数学作为以本体论、认识论、方法论为主线的数学哲学观念，而把数学置身于其真实的历史情景和语境中以及迅猛变革的现实社会文化背景之中，从更为广阔的视角去透视数学，领悟数学的社会意义和文化含义．从宏观角度探讨数学自身作为人类整体文化有机组成部分的内在本质和发展规律，并进而考察数学与社会及其文化的相互关系的作用形式．简而言之，数学文化旨在对数学的意义、本质和价值进行重新估计和诠释．这种理性重建是数学观念演变史上的一次具有深远历史意义的、革命性的范式转换，即从对数学的单纯的科学性（特别是其自然科学性）理解中摆脱出来，代之以数学与其它科学关系的视角（不仅包括自然科学，还包括人文、社会科学等）以及实际的数学活动（特别是数学的前沿探索）等．20世纪以来，数学除了自身的长足进步以外，在人文、社会科学研究中的应用价值日益增强，诞生了大量的交叉学科和跨学科研究领域．所有的科学（包括自然科学与人文、社会科学）都需要数学为其提供模式、语言与方法，这一普遍的"数学化"趋势为数学文化的理论建构提供了丰厚的素材，也使数学的科学文化本体论意义发生泛化，数学从其理论与应用等多个层面获得了超越科学文化的含义．数学文化的研究的深入开展，需要从真（对应于科学性及其价值）、善（对应于社会性及其价值）、美（对应于艺术性及其价值）3个基本层面及其相互关系深入探讨数学的科学性质、社会属性和艺术本质以及数学与科学、社会、艺术的互动关系．只有这样，才能获得对数学本质比较全面的认识．
2 "数学是一门演算的科学"能够概括数学的本质吗
文[2]的一个主要工作是通过在方法层面对数学演与算的辩证关系的讨论，得出"数学是一门演算的科学"的结论．但即使在这个层面上，我们也不能认同文[2]对数学本质的概括．因为从数学方法论的结构看，是由各种不同的辩证关系构成的．例如有限与无限、连续与离散、具体与抽象、质量与数量、局部与整体、演绎与归纳、逻辑与直觉等，而不仅限于演与算这一对关系．以下对其某些论证和结论进行一些质疑性分析．
从逻辑的角度看，"数学是一门演算的科学"的结论既有定义过宽的缺点，又有定义过窄的缺陷．定义过宽表现在：演绎法固然是数学采用的一种逻辑方法，但如果完全把数学看作是关于演绎的科学，那其实就把逻辑也包含在内了．演算只是数学研究方法的一种，这一方法也不是数学所独有的．从更广泛的领域看，自然科学、人文社会科学的研究也都不同程度地采用数学和逻辑的方法．正如实验是生物学的一个基本方法，但我们如果把生物学的本质理解成是一门实验的科学，那无疑就没有概括出生物学的特点．实际上，化学、物理学等自然科学也都采用实验的方法．所以，"数学是一门演算的科学"就不能认为很好地概括了数学的本质，因为它的定义项过于宽泛了．而定义过窄表现在2方面：一方面仅仅注意到数学的演绎性、算法性的一面，而忽略了数学的非演绎性、非算法性一面．仅从方法论和思维的角度看，逻辑思维方法和非逻辑思维方法（如直觉）都是数学研究的有效方法．"算"这一概念（按文[2]，算表示计算或算法）是无法完全概括数学的非演绎性和非证明性特征的（如果按文[2]，把"演"对应于推理和证明的话）．如果数学可以归结为"演与算"，那计算机就是水平最高的数学家了．我们必须注意到数学的非算法特征．英国数学家和物理学家彭罗斯认为非算法化才是数学的本质[5]．
具体来看，"计算表征了数学经验知识的特点"，"可以用'演'来反映数学知识的演绎性．因此，我们可以用'演算'来反映数学本质的经验性和演绎性．"[6]按文[2]的观点，"计算"概念和"演绎"概念分别表示数学的经验性和演绎性2个侧面．然而，这种划分过于简单和机械了．计算并不仅仅停留在经验层面，数学中有些计算根本就没有任何经验背景．例如康托的无穷集合论的运算，是与有限的现实世界完全无关的．而有些计算可能具有强烈的证明性质，如数论中的一些计算，本身就是证明的一部分．而演绎也有其经验性的背景．从算法化的现代发展来看，是与计算机技术的发展密切相关的，算法化的理论背景是推理的机器化和程序化．从这个意义上讲，演与算实现了某种统一．然而，问题是，按照哥德尔不完全性定理，形式化是有其内在局限性的．哥德尔定理告诉我们，数学认识活动和数学思维的本质决不是形式化、算法化、程序化、机械化所能完全概括的．数学固有的非算法本质表明，人类思维和精神是不可能被电脑完全模拟的，从而数学本质和数学真理也绝不仅限于用形式化方式加以表征．就获得数学真理的方式和数学的知识建构过程来看，形式化和非形式化都是极其有效的手段．数学并不完全被蕴含在形式化的逻辑框架内，非形式化常常是开辟数学研究新境界的锐利武器．数学家Magnus这样论述道："人类的智慧要优于任何可以想象到的计算机……我们的数学能力，为我们在自然界中所处的特殊地位提供了也许是最简单，也是最强有力的，非形而上学的证据．"[6]在数学史上，从来都不存在"定义+公理+推理=定理"的纯粹演绎模式．在构造性、算法化与形式化之外有着广袤的数学疆域．如何对非形式化的本质进行数学概括就是一个数学哲学应该回答的理论课题．然而，演与算却无法对数学的非形式化特征做出较好的解释．
从数学的历史发展看，"数学是一门演算的科学"的表述能否反映数学从初等到高等的深刻思想演变呢？从19世纪以来，数学发生了深刻的变革．例如代数学从研究方程到研究各种结构，还有关于数学的结构主义思想，如何从"演算"中看出来呢？事实上，正是关于不同数学结构的研究，关于不同数学对象之间关系的研究，使数学超越了"演与算"的范畴．再如，数学对机会、可能性、变化和复杂系统的研究，对突变现象、模糊现象、混沌和分形现象的研究等都是演算无法概括的．
所以，与仅仅停留在演算的形式表象上相比，演什么？算什么？这样的问题才是数学和数学家最关心的．"数学是一门演算的科学"丢掉了数学对象的特征和性质，掩盖了数学科学性的许多丰富内在特征（如数学思维与方法的多样性、动态性和发展性，如想象、直觉、猜测、假设、检验、试错、归纳、试验等），也忽略了数学的文化属性和社会属性，忽视了数学作为一种人类文化创造的特征．所以，"数学是一门演算的科学"的表述就无法完全概括数学的本质．
3 关于两个具体观点的质疑
文[2]中的一些具体观点也有值得商榷之处．
第一，关于数学与现实、实践的关系问题．文[2]认为"最古老的算术和几何学产生于日常生活、生产中的技术和测量"，这一观点是不全面的，也有些简单化．固然，数学的产生有日常生活和生产的背景和基础，但对数学渊源的问题我们还要看得更深入一些．远古人类特有的思想范式、思维结构和文化习性不可不查．这就是其神秘主义的、巫术化的、原始宗教的文化底蕴和背景．考察数学的起源，这是一个不可忽视的角度．例如中国古代各种算经大多都有关于占卜、占星等方面的内容．而《周易》更是以其"像数神秘主义"而著称．与此相关的，文[2]的"数学作为对客观事物的一种认识"的观点也是偏颇的．事实上，不仅当代数学的认识对象远远不止是客观事物了，即使在古希腊、中国古代、古巴比伦、古印度等，数学的研究对象也不局限于客观事物．对于古人来说，数学不仅是与自然物打交道的一种工具或手段，而且具有慰藉人的心灵、陶冶人的智慧和性情的功能．如果仅从数学与客观事物的关系看，数学对客观事物的研究采取的是抽象化、理想化的方法．在当代数学研究过程中，其理论建构、理论思维、形式化、虚拟化，认识对象远远超越了客观事物．数学认识并不是完全被动地保持着与客观事物的关系，而是具有其理论建构的自主性．数学的客观性也因此获得了新的异于物质客观性的意义．波普尔认为数学属于"世界3"，有其自身的不以人的意志为转移的精神产品的客观性．波普尔论证说："也许可以说，一个数系是人的创造或发明，而不是它们的发现．但是奇数和偶数、可除数和素数之间的区别是一个发现：一旦数系存在，作为构成这个系统的（意想不到的）结果，客观上就有这些独特的数字集合；而它们的性质就会被人发现．"[7]这一见解是很发人深思的．
第二，对于"数学知识是通过实践而获得的"和"对于'不可判定命题'的真假，只有诉诸实践检验"的见解的质疑．数学是其历史发展过程的产物，其理论化的程度与实践之间是有距离的．不可否认，实践永远都是任何真理检验的最终标准．但是问题在于，这种理论上的实践观在有限的科学活动中还有一个可行性和可能性的问题．首先，如果是可判定命题，如已经经过证明的命题，而不是"不可判定命题"，是否就不用实践检验了．换句话说，如果实践可以作为数学命题正确性的标准，那数学证明的意义和价值又何在呢？如果实践检验不能取代数学证明，那实践又为什么可以作为"不可判定命题"的检验标准呢？这是否构成了数学真理检验的双重标准呢？是否混淆了数学自身的标准和实践标准呢？其实，所谓"可判定命题"和"不可判定命题"的划分，只是对特定的形式化公理体系而言的，并没有绝对的界限和标准．其次，用实践作为验证具有重言式性质的数学命题是否符合科学证明的逻辑？由于实践过程只能提供有限的、个别的、具体的事实和证据，所以在有限场合使用归纳法对数学命题而言应该只具有例证的功能，而不能看作对数学命题的真假性的严格判断．再次，实践标准有其内在的局限性和相对性．"不可判定命题"的实践检验很有可能并不具备实际操作性．例如对被冯·诺伊曼称为多次抽象的数学对象和理论，其现实与经验背景已无法追溯的时候，如何用实践对这些理论进行检验？在这种情况下，数学命题的判断就更需要建立起自己的标准．李浙生的分析是有道理的："数学是一门高度抽象的科学，数学真理的判定有着明显的特点．判定数学真理，从来有2个标准：逻辑标准和实践标准．所谓逻辑标准就是用逻辑方法证明数学理论的真理性．逻辑证明有2个方面、2种方法，用演绎推理证明数学定理的正确性，用模型方法证明数学理论的相容性．19世纪，非欧几何的出现标志着：数学摆脱了直接经验的束缚，进入了理性自由创造的新时期．这时，已经不可能用实践来制定数学真理，逻辑成了检验数学理论的唯一标准．"[9]尽管我们不赞同上述逻辑是检验数学理论的唯一标准的说法，但我们必须看到，随着数学进一步抽象化，数学已逐步形成了自己的真理检验标准．我们也应该看到，虽然对于数学的真理性而言，数学自身的标准与实践性标准可能在数学特定的历史发展时期内是有距离的，但当数学发展到较为完善的阶段，也就是当数学的"真"与"善"达到某种程度的统一的时候，2者就会表现出一致的、相互符合的趋势．
4 数学是关于模式和结构的科学
综上，笔者认为，关于数学本质的问题是一个具有时代性、前瞻性、发展性、综合性的数学哲学核心问题．在数学的任何发展阶段都不可能有固定的、永恒不变的答案，这应该成为数学哲学研究的一条认识论原则．单纯片面地从某个角度去看数学的本质都会是有失偏颇的．正如传统的本体论角度无法提供关于数学本质的真知灼见一样（如柏拉图主义数学观），要想全面、深刻的认识数学的本质，就必须在哲学层面（包括本体论、认识论和方法论）和社会-文化层面上进行辩证、综合、系统地分析和探索．而且这种分析必须与数学实体性、本体论、认识论和知识论的探讨相结合，必须结合20世纪以来数学的新发展．实际数学活动的特点是其开放性、发展性、有限性、变动性、甚至是革命性的．
从数学哲学的历史发展看，关于数学的本质的认识首先是一个本体论和认识论问题．柏拉图试图通过设立一个"理念世界"来回答关于数学本体论的存在性和真理性问题，但19世纪以来一系列的数学变革摧毁了数学柏拉图主义[9]．著名数学家贝尔奈斯主张"放弃绝对的柏拉图主义"，采用"有限制的柏拉图主义"[10]．这实际上已经把强意义下的柏拉图主义给消解了．关于数学真理，人们也已经获得了更多的超越柏拉图主义和形而上学的认识．这些都为从本体论、认识论角度重新认识数学本质奠定了坚实的基础．
从本体论意义上探讨数学本质新的构成可能性是从结构、模式、形式系统等思想的产生开始的．在已有的各种从本体论和认识论的角度对数学本质进行的哲学概括中，"数学是关于模式或结构的科学"这一表述是迄今对数学本质概括得比较准确、全面和具有动态性的刻画．著名数学家、逻辑学家怀特海在其"数学与善"的讲演中把数学看作是对各种类型的模式进行理智地分析的活动，认为"数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术"[11]．《今日数学》、《明日数学》的主编、美国数学家斯蒂恩论述到："数学是模式的科学．数学家们寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式．"[12]麦克莱恩在"数学模型--对数学哲学的一个概述"一文中论述到："数学在于对形式结构的不断发现，而形式结构则反映了客观世界和人类在这个世界里的实践活动．强调的是那些具有广泛应用和深刻反映现实世界某一方面的结构……换句话说，数学研究相互关联的结构．"[13]A.Albert认为："数学是结构的科学．当直觉和未经分析的经验表明在许多不同的背景下存在着共同的结构特征时，数学就有了任务，这就是以精确的和客观的形式，系统地阐明基本的结构特征．"[12]
"数学是关于模式和结构的科学"的表述，不仅能较好地解释数学的演绎性与经验性、理论性与现实性的辩证关系，而且更重要的是这一表述把握住了20世纪以来数学发展的脉搏，具有强烈的时代特色．法国著名的布尔巴基学派提出的结构主义数学思想正是适应当代数学发展现实要求的产物．布尔巴基致力于寻求数学新的统一性的理论基础，运用数学结构的思想，通过对数学结构的分析，重新整合庞杂多样的数学分支，以代数结构、序结构、拓扑结构为核心结构，通过各种复合、引进新的关系等方法，把数学的各个分支纳入数学结构的严密体系中．布尔巴基的代表人物之一狄奥多涅在"布尔巴基的数学哲学"一文中指出："真正的数学的认识论或数学哲学应该以数学家具体的研究方式为其主题．"[14]模式和结构的概念所具有的高度的概括性和层次性，包含了从抽象理论到现实经验之间的各种"谱系"．无论是对于数学的语言（符号、形式等）、理论结构，还是对于数学的科学工具性、应用性，都有很好的解释功能．
当然，正如我们所倡导的，探讨数学的本质应该设立多个视角．我们也应看到，"数学是关于模式的科学"表述也有其局限性，这就是没有充分揭示关于数学本质的方法论特征．而文[2]探讨数学本质的方法论定位恰恰是在这个方向上的一种努力，这一点是应该充分肯定的．
参考文献：
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[13] 邓东皋．数学与文化[M]．北京：北京大学出版社，1990．121．
[14] [法]布尔巴基．数学的建筑[M]．南京：江苏教育出版社，1999．187．
How Should We Recognize the Essence of Mathematics
HUANG Qin-an
(Faculty of Mathematics and Information Science, Shanxi Normal University, Shanxi Xi'an 710062, China)
Abstract: How should we recognize the essence of mathematics, it was not only a basic issue of the philosophy of mathematics, but also an important thesis related to what kind of view of mathematics education should be established. The outlook that "mathematics should be a science of deduction and algorithm" which was posed by Professor Lin couldn't be regarded as a satisfied generalization on the essence of mathematics because. In the transformation of mathematical thought and knowledge, the notion that "mathematics should be a science of pattern" was the suitable description about the essence of mathematics.
Key words: the essence of mathematics; deduction and algorithm; pattern
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