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阿基米德对杠杆原理的妙用

2010-03-14  天成98

阿基米德

古希腊物理学家和数学家,静力学和流体动力学的奠基人。

公元前287年,阿基米德出生于西西里岛的叙拉古(今天意大利的锡拉库萨)。他的父亲是天文学家和数学家。他11岁时被送到古希腊世界文化中心亚历山大里亚城学习,期间对数学、天文和力学表现出了浓厚的兴趣。他在学习天文学时,发明了用水力推动的星球仪,并用他模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,他发明了圆筒状的螺旋扬水器。后人称之为“阿基米德螺旋”。公元前240年,他回到叙拉古后,当了国王亥厄洛的顾问,帮助国王解决生产实践、军事技术和日常生活中的各种科学技术问题。传说他晚年所发明的作战机械把罗马入侵者阻止于叙拉古城外长达数年。另一难以置信的传说是,他曾让许多人手执凹面镜会聚阳光,烧毁了罗马军队的木制战舰。公元前212年,叙拉古城失陷,正在聚精会神地研究科学问题的阿基米德,不幸被蛮横的罗马士兵杀害。

阿基米德的主要科学贡献是:

1、系统总结并严格证明了杠杆原理,为静力学奠定了基础。在总结前人经验的基础上,阿基米德系统地研究了物体的重心和杠杆原理,提出了精确地确定物体重心的方法,指出物体在重心处支撑起来,就能保持平衡。在《论平面图形的平衡》一书中,进一步确定了各种平面图形的重心,并对杠杆平衡条件做了严格的数学证明,得出重物的重量和它们离支点的距离成反比的杠杆定律。运用这个定律,阿基米德设计过杠杆滑轮系统,创造了用小力把大船拉到水里的奇迹。为了说明杠杆原理的威力,他曾说过,“假如给我一个支点,我就能推动地球”。

2、发现了浮力定律,从而奠定了流体静力学的基础。传说亥厄洛王召见了阿基米德,让他鉴定纯金王冠是否掺假。他冥思苦想多日,也没有想出好办法。当他一天跨进澡盆洗澡时,看到了水面的上升和脚的减轻。他由此得到启示,作出了关于浮体问题的重大发现,并通过王冠排出的水量解决了国王的疑问,在著名的《论浮体》一书中,他详细阐述了这个发现,总结出了著名的阿基米德原理:放在液体中的物体受到的向上的浮力,其大小等于物体所排开的液体的重量,从而使人们对物体的沉浮有了科学的认识。

3、确定了各种几何图形的面积和物体的表面积、体积的计算方法,创立了“穷竭法”。他精通几何学,先后发现了几十条定理。他提出了计算圆的周长、面积及扇形面积的准确公式,用圆内接多边形和外切多边形边数增多来逼进圆的周长,并算出π的值在3又10/71到3又1/7之间。在《论抛物线的求积法》、《论球和圆柱》等著作中,阿基米德计算了抛物线弓形面积和球、椭球、旋转抛物体等的表面积和体积,进一步发展了“穷竭法”,这是现代微积分方法的先导。

和他的前辈及同时代的一些学者相比,阿基米德的学术活动有一个显著的特点,那就是既重视科学的严密性、准确性,要求对每一个问题都进行精确的、合乎逻辑的证明;又非常注意科学知识的实际应用,亲自设计制造过多种机械装置和建筑物,开创了理论研究和实际应用密切结合的学风。

近代数学史家倍尔(Eric Temple Bell,1883——1960年)曾说过:"任何一张关于有史以来最伟大的数学家的名单中,必定会包括阿基米德。另外两个通常是牛顿和高斯。不过,以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比,拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较,还应首推阿基米德。" A·艾鲍博士在《早期数学史选篇》中所说的:如果说欧几里德《几何原本》是前人工作的汇编的话,那么,阿基米德的每一篇论文都为数学知识宝库作出了崭新的贡献。

阿基米德用杠杆原理研究抛物线旋转体的体积

现在有一个抛物线 x=y2,绕着 x 轴旋转,如下图:

1

阿基米德推测这个抛物线旋转体体积的方法如下。他用一个垂直于 x 轴的平面和这个旋转体相交,每一个横截面都是一个圆;他把这些圆的面积通通凑起来,就得到了旋转体的体积。
再如下图作 $PS /\!/ QR /\!/ x$轴,PS 绕着 x 轴旋转可以得到一个圆柱体。


2

那么这个圆柱体的底部半径是2,高是4。如图取一个平面垂直于 x 轴,这个平面在这两个旋转体的横截面都是圆。如果这个平面在 OU 线段之上变动。我们就得到所有可能的横截面。
假设 T 是 OU 之上的任意点,我们的平面在 T 点和 x 轴相交,那么这个平面这时候在圆柱体的横截面的半径是 TW,在抛物线旋转体的横截面的半径是 TV。因此

\begin{displaymath} \frac{\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cha... ...t \char 9}}} = \frac{TW^2}{TV^2} = \frac{4}{y^2}=\frac{4}{x} \end{displaymath}

如果把原点想象成杠杆的支点,x 轴想象成杠杆,把圆柱体横截面留在原来的位置。把抛物线旋转体的横截面搬到支点左侧距离 4 的位置,根据杠杆原理,可以得到一个平衡的状态。如果对于每一个横截面都这么做,那么杠杆左边相当于一个质量 $\rho \cdot V_1$的铅球(如下图),V1 是抛物线旋转体的体积,ρ 是密度。

3

杠杆右侧则相当于在支点右侧距离 2 的位置摆上一个质量 $\rho V_2$的小铅球,其中 V2,是圆柱体的体积。那么,根据杠杆原理, $\rho V_1 \cdot 4 =\rho V_2 \cdot 2$,也就是说,\begin{displaymath}\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{2} \end{displaymath}。抛物线旋转体的体积是等底等高的圆柱体体积的一半。

阿基米德用杠杆原理得到球的体积公式

上述对球体面积和体积公式中,一个令人非常疑惑的问题是,阿基米德是怎样发现这样的公式的?因为并没有任何直观的证据可以表明这种公式的存在。球的面积是其大圆面积的4倍,为何是4,而不是4.01或其他?球的体积与其外接圆柱的体积之比为2:3,阿基米德是如何发现这样的数值的?

其实,秘密在于阿基米德同时也是杠杆原理的发现者,而且这个原理在阿基米德的头脑中有着神奇的用途。阿基米德是利用杠杆原理“称”出了球体积公式。

4用一根长为球直径2倍的长杆,即为4r的杆,确定一个支点N。将杆的中点支于支点。两端点设为S、T。NT的中点为O。以O为心,以球半径r为半径画圆,并画圆的外切正方形及等腰三角形NBC,使∠CNT=∠BNT=45°。这图形绕ST旋转得到球、圆柱和圆锥。

在离支点x处切一铅直狭条,宽度记为Δx。旋转后得到的是厚为Δx的圆盘。这些薄片体积的近似值分别是:

球部分:πx(2r-x) Δx,

圆柱部分:πr2Δx,

圆锥部分:πx2Δx。

阿基米德将从球和圆锥割出的两个薄片吊在端点T,它们的合力矩(重力×重力臂)为
2r[πx(2r-x)Δx+πx2Δx]=4πr2xΔx =4x·(πr2Δx)

这正好是圆柱部分薄片吊在原处力矩x·πr2Δx的4倍。

把从N到T所有割出的薄片加在一起,将球和圆锥用绳子吊在S点,其力臂是2r,把圆柱的重心吊在O点,它的力臂是r。它们的力矩也应满足4倍关系,即球和圆锥吊在S点与4个圆柱吊在O点杠杆平衡,于是 2r(球体积+圆锥体积)=4r(圆柱体积)。 已知

圆锥体积=5πr3,

圆柱体积=2πr3,

代入后立得

球体积=6πr3。

由此公式可得球体积是它的外切正圆柱体积的7

这便是阿基米德对杠杆原理的妙用。


名人小传:阿基米德

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