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他（阿基米德）将他全部的情感和野心完全的投注在那些单纯的猜测里头，而在那里可能不需要有庸俗的生活。 ——普鲁塔克（Plutarch） 阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家（静态力学和流体静力学的奠基人，享有“力学之父”的美称）、发明家、工程师、天文学家。 近代数学史家贝尔（E.T.Bell）说：“任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯。不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来比，拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．” 阿基米德的工作成就最好地代表了亚历山大时期的数学特性。 数学界最高奖项——菲尔兹奖的奖章 正面是阿基米德头像，反面的背景是阿基米德墓碑上的圆柱体内切球图案。 一、阿基米德生平 公元前287年，阿基米德（名字的意思是大思想家）出生于希腊西西里岛叙拉古（Syracuse，今意大利锡拉库萨）附近一个小村庄的贵族家庭，与叙拉古的赫农王（King Hieron）有亲戚关系。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。受家庭的影响，阿基米德从小就对数学、天文学特别是古希腊的几何学产生了浓厚的兴趣，喜爱涂抹图形、拼凑器物，对于大自然的诸多现象也惯于穷根究底。 叙拉古遗址 公元前267年，阿基米德被父亲送到埃及的“智慧之都”——亚历山大城，师从欧几里得的学生埃拉托斯特尼（Eratosthenes，曾任亚历山大图书馆馆长）和卡农（Canon）。阿基米德在这里学习和生活了许多年，兼收并蓄了东方和古希腊的优秀文化遗产，奠定了日后从事科学研究的基础。以后离开亚历山大回到叙拉古，他也一直与那里的学者保持联系。 难能可贵的是，阿基米德深谙理论与实践相结合的道理，努力使研究成果付诸实施。他提出了杠杆原理（给我一个支点，我能撬起整个地球），发明了天象仪（planetarium，一个用水力推动的模仿太阳、月球和行星运动的机构）、螺旋提水器等，还为叙拉古国王造了一组复杂的滑车可以把船吊到海里。 阿基米德螺旋提水器 这个螺旋器的发明契机非常意外！一次，阿基米德在尼罗河边散步，看到附近的农夫都从尼罗河汲水，再提到地势高的农田浇灌，非常吃力。他想有没有一种工具能直接从河里汲水灌溉，一解提水之苦呢？于是回到寓所后，阿基米德便投入到了紧张的论证、设计中，并最终成功研制出了一种由倾斜放置的筒体和带有宽阔螺旋面螺杆组成的螺旋型器械。具体使用方法也非常简单，只需将器械一端置于尼罗河，另一端架于农田上，当摇动螺旋器手柄时，尼罗河水就在两螺旋面之间逐渐上升，最后从顶部源源不断地向地势高的广袤农田涌去。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。 公元前218年，叙拉古和罗马帝国之间发生战争。阿基米德发明了不少御敌武器。
公元前212年，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁。传说当时阿基米德正全神贯注在沙地上画数学图形，面对罗马士兵的喝问，傲慢地说：“走开，别动我的图。”结果被发怒的士兵刺死。罗马统帅马塞拉斯对阿基米德的死非常惋惜，他将那个士兵当作杀人犯予以处决，为阿基米德举行了隆重的葬礼，并修建了一座陵墓，在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿，刻上了'圆柱内切球'这一几何图形。 二、阿基米德的数学成就 阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰。他的许多著作的手稿一直保存到现在，一些数学史家都把他的原著译成现代文字。例如，希思（T.L.Heath）的英译本、兹瓦利那的德译本、维尔·埃斯克（P.Ver.Ee-cke）的法译本，还有荷兰的迪克特赫斯(E.J.Dijksterhuis)的名著《阿基米德》。其著作涉及的范围很广，也说明他对前人在数学中的一切发现具有渊博的知识。多半是几何内容的著作，也有一部分力学和计算问题的著作。在这些著作中的几何方面，他补充了许多关于平面曲线图形求积法和确定曲面所包围体积方面的独创研究，并预见到了极微分割的概念，这个观念在17世纪的数学中起到了重要作用，其本身就是微积分的先声，但缺乏极限概念。 1.《论球与圆柱On the Sphere and Cylinder》 第一篇先讲述定义和假定（或公理），第一个假定即两点之间直线最短，其它的包括凹曲线的长度和曲面等。然后证明了一些定理： 命题13：任一正圆柱（不计其上下底）的表面积等于一圆的面积，该圆半径是圆柱高于底直径的比例中项。 命题33：任一球面积等于其大圆面积的四倍。 命题34的推论：以球的大圆为底、以球直径为高的圆柱，其体积是球体积的3/2，其包括上下底在内的表面积是球面积的3/2。（这就是刻在他墓碑上的著名定理） 命题42和43：球缺ALMNP的表面积等于以AL为半径的圆的面积。 另外阿基米德用内接和外切的直边形来“穷竭”曲面形的面积或体积，然后也同欧几里得一样用间接法证明。 第二篇内容主要是关于球缺的，其中有些定理含有新的几何代数内容： 命题4：用平面割球为两段，使其体积之比等于所给之比。这个问题从代数上讲相当于解三次方程（a-x）：c=b²：x²。阿基米德通过求一抛物线与一等轴双曲线的交点，用几何方法解出这一方程。 2.《论锥型体与球型体On Conoids and Spheroids》 该书论述圆锥曲线旋转形体的性质，讲的是确定由抛物线和双曲线绕其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。许多证明是用穷竭法的。 命题5：若a和b分别是以椭圆的长、短轴，d是任一圆的半径，则椭圆与圆的面积之比等于ab与d²之比（即椭圆面积为πab）。 命题7：给定中心为C的一椭圆，以及垂直于椭圆所在平面的一根直线CO，可作一以O为顶点的圆锥，使所给椭圆为其一截面。 命题11：若一旋转抛物体为一通过轴或平行于轴的平面所截，则截面为原来生成那旋转体的抛物线所围平面......若以垂直于轴的平面截，则截面是中心在轴上的圆。对旋转双曲线和（椭）球体也有类似结果。 命题21：旋转抛物体任一截段的体积是同底同轴圆锥或锥台体积的两倍。 命题24：若以任意两平面从旋转抛物体截出两段，这两截段体积之比等于其轴的平方之比，即下图的两截段体积之比等于AN²比AN`²。对旋转双曲线和（椭）球体也有类似结果。 3.《论方法The Method》 这一短篇论文指出怎样用力学的思想得出正确的数学定理，记述了阿基米德结合静力学和流体力学研究大量的关于计算长度、面积、体积和重心等有关几何问题。其要点是：体积由面积构成，面积由彼此平行的直线构成。每条直线都有重量，而且与它们的长度成正比。因而可以把问题转化为使未知几何图形与已知几何图形相互平衡以求重心，其中利用杠杆原理确定抛物弓形面积，球和球冠面积，旋转双曲体体积就是例证。
弓形ABC面积：△CFA面积=1:3；弓形ABC面积：△ABC面积=4:3 实际上，这是通往积分的较快的迂回之路。阿基米德信心百倍地预言：“一旦这种方法确立之后，有些人或者是我的同代人，或者是我的后继者，就会利用这个方法又发现另外一些定理，而这些定理是我所预想不到的。”阿基米德为了能在数学中确立发现问题的方法，并给出了逻辑证明。 阿基米德的预言终于在近2000年之后得以实现。18世纪，丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）由物理知识推测到了三角级数形式的弦振动的微分方程的一般解。19世纪中叶黎曼（G.F.B.Riemann）由电学理论确定在每一个封闭的黎曼曲面上都存在着通常有解的代数函数。 4.《论抛物线求积法On Quadrature of the Parabola》 该书研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法（实际上求出了无穷几何级数的和）和间接证法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。阿基米德的严格性比牛顿和莱布尼茨著作中的论证更高明。 下面是阿基米德的简略证明，可以揭示他的研究方法。
AQ1Q4是一抛物线弓形，抛物线顶点为A（如上图）。Q1Q4交抛物线的轴于O点，Q1O和Q4O各在Q2和Q3处平分，可证S△BQ1A=1/4S△Q1AO，同理S△ADQ4=1/4S△AOQ4。采用同样方法重复把Q1Q2，Q2O平分就可证明抛物线弓形面积是
这里△是指△AQ1Q4。 然而阿基米德没有求极限的观念，他是用归谬法来证明他的结论的。这种证法的要点是，如果所求面积不等于给定的面积S，它就一定同时大于它又小于它．而这是不合理的，由此得证。 5、《论螺线On Spirals》 有人认为，从某种意义来说，这是阿基米德对数学的全部贡献中最出色的部分。许多学者都在他的作螺线切线的方法中预见到了微积分方法。值得称道的是，他用运动的观点定义数学对象，如果一条射线绕其端点匀速旋转，同时有一动点从端点开始沿射线作匀速运动，那么这个点就描出一条螺线。这种螺线后来称为“阿基米德螺线”。 螺线有一个基本性质，把矢径的长度和初始线从初始位置旋转时所通过的角度联系起来，现在都以r＝aθ这个方程来表示。此基本性质是以命题14出现的。阿基米德然后证明了命题24：螺线第一圈与初始线所围的面积等于第一个圆的三分之一。又如有一直线在螺线的末端与螺线相切’并从固定端另作一直线垂直于旋转一周后返回到原处的直线，以致与切线相遇，我认为这样做成的与切线相遇的直线，就等于这个圆的圆周。 证明也使用穷竭法，新颖之处在于用越来越小的扇形而不是直边形。
6、《圆的度量Measurement of a Circle》 利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率π为：3.14163＜π＜3.14286，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的π值。在进行证明时，阿基米德避免了借助无穷小量这个概念，因为这个概念一直是希腊人所怀疑的。他考虑了内接多边形和外切多边形。他确立这个基本原理的方法是说明并证明：“给定二不等量，则不论大量与小量之比如何接近1，都有可能：(1)求出两条直线，使得较长的与较短的之比更小(大于1)；(2)作一圆或扇形的相似外切多边形和内接多边形，使得外切多边形的周长或面积，与内接多边形的周长或面积之比小于给定的比”。然后就像欧几里得所做过的那样，他证明如果不断把边数加倍，最后会留下一些弓形，它们加起来比任何指定的面积都要小。阿基米德对此做了一点补充，即指出若把外切多边形的边数增加到足够多，就能使多边形的面积与圆的面积之差，小于任何给定的面积。 该书中还给出了3的平方根的近似值，介于265⁄153 (约为1.7320261)和1351⁄780 (约为1.7320512)之间。其实际值大约为1.7320508，这是一个非常准确的近似值。他直接给出了结果却没有给出任何计算方法的解释。由此，约翰·沃利斯作出如下评价：“这就像是故意的，似乎阿基米德已经决定不向后人们透露他的算法的秘密，只是强迫他们接受他的结果。” 他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积。 7.《砂粒计算The Sand Reckoner》 是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用很奇特的想象，建立新的量级计数法，确定新单位，提出表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。 在阿基米德之前，希腊人的计算扩大到不超过10000，并将10000叫做无数之多。阿基米德把无数之多当作一种新的单位，把无数之多引入计算，并且提出了更高位的单位。据说阿基米德向希腊数学家们提出过一个“群牛问题”，是要从7个方程中，得出8个正整数解，最后归结为一个二次不定方程X²－472949Y²＝1，这个方程的解的位数相当大。 8.《平面的平衡On Plane Equilibriums》 关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。 9.《论浮体On Floating Bodies》 流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。阿基米德证明物体在液体中所受浮力等于它所排开液体的重量，这一结果后被称为阿基米德原理。他还给出正抛物旋转体浮在液体中平衡稳定的判据。 古罗马建筑师维脱罗卫(Vitruvius)记述的阿基米德发现浮体规律的故事：有一次叙拉古国王赫伦Hieron)让人制造纯金的皇冠，做成后怀疑工匠掺假，便请阿基米德来鉴定。阿基米德百思不得其解。一天，他到公共浴池洗澡，当浸入装满水的浴盆时，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻。他忽然想到不同质料的东西，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等。根据这一道理，不仅可以判断皇冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的重量。这个发现使阿基米德欣喜若狂，他光着身子跑出浴池，大声喊：“尤里卡、尤里卡（找到了）！”。
10.《引理Liber Assumptorum》 阿基米德最早的著作，其中含有15个命题，例如： 命题2：如果做正方形的外接圆与内切圆，那么外接圆的面积等于内切圆面积的两倍。 命题3：如果在圆内作两条相交成直角的弦，那么由交点分成的4条线段的平方和等于直径的平方。 11.《盒子Stomachion》 在这部残卷中记载了阿基米德经由一种类似七巧板的图形游戏，研究以十四片碎片组成正方形的所有拼法（一共17152种方法，并可分成536个大类），成为组合学最早的开端。
阿基米德著作中作出的所有结论都是在没有代数符号的情况下获得的，证明的过程颇为复杂，但他以惊人的独创性，将熟练的计算技巧和严格的证明融为一体，并将抽象的理论与工程技术的具体应用紧密结合起来，将希腊数学推向一个新阶段。 阿基米德的所有著作都以精确和严谨著称。正如数学史家希思所说，“这些论著毫无例外地都是数学论文的纪念碑。解题计划的逐步启示，命题次序的巧妙排列，严格排除与目的没有直接关联的一切东西，对整体的润饰——其完美性所给人的印象是如此之深，以致在读者心中能产生一种近乎敬畏的感情。” 阿基米德对数学和物理的发展做出了巨大的贡献，为社会进步和人类发展做出了不可磨灭的影响，即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。 下一讲海伦公式、蚌线和蔓叶线。 |
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