|
玛丽·兰（Mary Leng）是英国当代数学哲学界的青年代表人物之一，她的主要研究兴趣包括数学中的虚构主义、数学反实在论以及数学应用中的哲学问题等，其即将出版的著作为《数学与实在》。2006年5月她专程到山西大学科学技术哲学研究中心讲学访问，在此期间，笔者对她就当代数学哲学中的各种代数式观点进行了专访。
问：传统的数学哲学最关注数学基础问题，哲学家与数学家们都试图为数学找到一个坚实而明确的公理基础。逻辑主义、形式主义以及直觉主义者三大基础纲领已经被发展起来，但学界就这一问题始终未达到共识。请问，数学基础问题的研究在当代西方数学哲学的研究领域中，究竟具有怎样的地位？您认为当前数学哲学工作者关注的核心问题是什么？
答：20世纪，数学哲学家们的注意力都倾注在数学基础的问题上。但是现在经过一百年的发展，数学哲学的基础主义纲领在最近的讨论中被搁置了。我们对“是否能够确定地了解数学”的担忧已经被“是否能够完全地了解数学”这一难题所取代。特别是，贝纳塞拉夫（Paul Benacerraf）的两篇重要论文（What Numbers Could not Be?，Mathematical Truth）已经开启了数学哲学中的论争的新篇章，尤其是他向柏拉图主义提出的挑战。他指出，如果像柏拉图主义者所宣称的那样，认为数字是对象，那么就不会存在关于“这些对象是什么”的满意答案。而且，更令人担忧的是，如果数学真理是关于对象的真理，就像标准的数学真理理论所要求的那样，我们将缺少足够的理由去说明如何能够获得这种真理。可以说，当代数学哲学研究的核心问题就是要为寻求对贝纳塞拉夫所提出难题的解决方案，以期能为人类理解数学提供更好的解释。
尽管关于数学哲学的讨论已经从“是否能够揭示数学知识以及这些知识是确定的还是含糊的”转移到“是否能够完全具有数学知识”上去了，但当代的各种进路与关于基础主义的早期讨论之间仍存在着有趣的关联。我们知道，弗雷格（Gottlob Frege）(逻辑主义者)与希尔伯特（David Hilbert）(形式主义者)关于公理的本质展开的争论对当代数学哲学研究的影响最大。弗雷格将公理视为有关某种预先存在的主体真理的断言，而希尔伯特则认为公理语境地定义其中的非逻辑术语，就像含有不同未知量的代数方程语境地定义其中的未知术语一样。海尔曼（Geoffery Hellman）将这两种关于公理的观点称为确定论观点（Assotory View）和代数式观点（Algebraic View）。弗雷格的确定论观点具有传统的数学柏拉图主义特征，因而会遭到贝纳塞拉夫的质疑。另一方面，许多类似希尔伯特的代数式观点都被视为回应贝纳塞拉夫所提出的，如各种结构主义和虚构主义的观点。
21世纪以来，可以说在当代数学哲学领域中人们最关注的核心问题是：不同的代数式进路为数学提供的解释是否真的优于确定论的观点？
问：作为一种理解数学的方式，确定论观点要面临怎样的挑战？
答：贝纳塞拉夫对确定论观点发起了两个主要的挑战。
贝纳塞拉夫在其1965年的论文“数字不可能是什么？”（What Numbers Could not Be?）中指出，如果皮亚答算术是一种关于对象（自然数）的理论，那么对于这个理论所探讨的是哪种对象这一问题应该只有一种精确的回答。然而，事实似乎并非如此。关于这一问题可能存在多种不同的答案，比如考虑将自然数向集合论的各种可能的化归路径，自然数的序列
0，1，2，3……
被认为可以等同于以下两种集合序列：
Æ，{Æ}，{{Æ}}，{{{Æ}}}，……（策梅罗序数）
或 Æ，{Æ}，{Æ, {Æ}}，{Æ, {Æ}，{Æ, {Æ}}}，……（冯诺伊曼序数）
我们似乎没有关于任何先于自然数的概念（就像皮亚答公理所表达的那样）能够回答2 = {{Æ}}还是={Æ, {Æ}}。但是如果像确定论观点所宣称的那样，对于自然数的皮亚答公理试图断言关于独立存在的对象的真值，那么似乎表明存在一种事实，它能够说明2是否等于策梅罗的{{Æ}}。贝纳塞拉夫对柏拉图主义所提出第一种担忧是，事实上是针对所有确定论观点的：即要成为这种观点就需要决定性的回答，它能够解决所有关于数学对象的同一性问题，然而我们的实践并不能决定对这种问题的正确回答。
贝纳塞拉夫在其1973年的论文“数学真理”（Mathematical Truth）中对确定论观点提出的第二个挑战，是在认识论解释方面的。标准的确定论柏拉图主义认为数学理论的公理是对抽象对象做出真值断言。但问题是，我们如何能够知道或有理由相信公理化的理论符合我们试图对其做出真值断言的对象？如果这些对象是抽象的，那么我们将缺乏足够的解释，去说明我们如何能够具有抽象的知识。弗雷格的回答是，通过“直觉”我们可以知道公理的真值。但这实质上只是对解释数学知识问题的一种回避，它所遗留的难题是“直觉”如何能使我们对数学对象具有真的信念。
问：既然确定论观点遇到了这样的困难，那么在代数式观点那里，贝纳塞拉夫难题就可以得到避免吗？
答：是的。希尔伯特的代数式观点认为数学是对一致公理的结论进行考察的结果。只要我们有理由相信一个公理系统是一致的，那么就无需质疑公理对其做出真值断言的任何对象是否存在。大多类似于希尔伯特的代数式观点都是对贝纳塞拉夫质疑的直接回应。只要采用代数式观点，贝纳塞拉夫的难题就可以得到解决。
首先数学理论不再被认为是试图断言某些特定对象真值，而是用它来定义高阶概念，其中对象的不同系统都可能以此为基础。比如，在代数式观点看来，皮亚答算术公理可被认为是定义一个“自然数序列”的概念。由于策梅罗序数和冯答曼序数都满足皮亚答公理，那么它们都是自然数序列的范例。没有自然数2 = {{Æ}}还是={Æ, {Æ}}这样的问题，因为表明2指涉任何独一无二的对象的预设是不存在的。“自然数2”只是依赖于某人所使用的是哪一种皮亚答公理的范例，许多不同的对象都可以扮演数字2的角色，因而数字2无需被特殊对待。
其次，在认识论解释上的问题也可以被避免，因为在公理与我们试图断言其真值的主体之间不再存在任何鸿沟。由于公理被认为是其核心概念的定义，这些核心概念能够说明什么必须符合对象系统才能将它视为一个“自然数系统”概念的范例。比如，在这种定义下，知道“公理如何适用于对象系统”将不成问题。如果一个对象系统不能满足皮亚答算术公理，那么它将不是一个自然数系统。从这一点来看，质询我们如何知道自然数满足公理似乎没有任何意义。
问：尽管代数式观点克服了上述难题，它在理解数学的本质时是否也会遇到困难？如果有，您认为这种观点会面临怎样的挑战呢？
答：令人遗憾的是，哲学中没有免费的午餐。从确定论转向代数式进路当然是要付出代价的。这主要会产生两个方面的问题：一是关于数学在经验科学中应用的问题；另一个是关于代数式观点所必需的逻辑预设问题。分别来看一下：
第一，数学-经验混合断言的问题。就像我们所提出的那样，代数式观点提供了一种关于公理化数学理论的理解，这种理论为其中的基础概念语境地做出定义，比如自然数的皮亚答公理将符合系统中任意对象的公理系统称为一个自然数系统。那么，由这些公理化理论所做出的直观断言（Apparent assertions）可以被认为是条件断言的速记。比如，当一个数学家在某一数论的语境下做出语句“存在无限多个素数”，将被理解为称“如果á0, N, sñ是一个自然数系统，则在N中存在无限多个素数。”因此，关于特定数学对象真理的直观断言会被那种在满足公理的任意对象系统中为真的断言所取代，或被那种能从理论的公理中逻辑推出的断言所取代。
在公理化的纯数学理论语境中做出这种断言是非常好的，但是我们常常会在纯数学的语境之外对数学对象做出断言。比如，当我们说“行星的个数是9”或“两物体a和b之间的作用力是mambg/d2”。在这些表达中不能避免对数字的直观指称，因为它不能被那些从数学公理中推出的断言所取代。“行星的个数是9”不仅仅是一个皮亚答公理的结论，而皮亚答公理不会告诉我们任何关于行星的信息。因此代数式观点的拥护者如果想要用代数式观点来另辟蹊径，以回避出现在柏拉图主义数学中难题，他们将必须说明人们在谈论“行星的个数是9”的时候，究竟还有什么别的含义。
第二，强大的逻辑预设问题
这里有两个主要的困难：首先，似乎任何合理的代数式进路在阐明数学理论时都必须接受二阶逻辑 ；其次，要避免倒向柏拉图主义，这种进路必须承认存在关于理论一致性的初始模态事实。由于柏拉图主义也做出了这些逻辑预设，这使得代数式观点在质疑柏拉图在本体论和认识论方面的问题时，自身也会遭遇相同的困难。
代数式进路需要二阶逻辑的原因在于，一阶逻辑不足以建立我们的数学概念。根据代数式观点，公理系统定义其中的概念。比如，所有存在的任意自然数系统都是满足皮亚答公理的。然而，如果坚持这些公理的一阶形式，只允许对对象的位置而不能对谓词的位置进行量化，那么这些公理将不足以确立我们倾向于接受的理论解释。如，一阶皮亚答公理能够被对象系统所满足，这些对象系统与自然数序列0，1，2，3……是不同构的。而且，根据勒文海姆-司寇伦（Löwenheim-Skolem）定理，任何具有模型的一阶公理系统都有一个可数模型，ZF集合论公理具有不可数多个集合，因而在一个可数的范围内是真的。如果想要控制这些“非标准”模型作为一个自然数系统的非真理子或一个ZF全域，那么就不能坚持我们理论的一阶公理化，而必须代之以二阶逻辑（即对谓词位置进行量化）。比如，在一阶皮亚答公理中应用归纳公理：
［F(0) & "x((Nx & F(x)) ® F(s(x)))］ ®"x(Nx ® F(x))
用一个表达公理的形式语言中的公式F替代F，则得到完全的二阶归纳公理：
"F［F0 & "x((Nx & Fx) ® Fs(x))］ ®"x(Nx ® Fx)
但是接受二阶逻辑并非易事。二阶逻辑不像一阶逻辑那样，其中不存在完全的证明程序：有些二阶理论的结论是永远无法被证明。而且，在某些关于二阶量词“"F”和“$F”的表达中，变量F的满足范围是在一阶量词“"F”和“$F”范围内的对象集合。如果这是正确的，那么使用二阶逻辑表达的公理系统将隐含了我们对关于某些数学对象或集合做出断言，那样的话，困扰柏拉图主义和确定论观点的问题将会重新出现。为避免出现这种情况，代数式观点的拥护者将不得不抛弃二阶量词的集合论。
虽然代数式观点的拥护者试图否认一般数学理论是关于数学对象所做出的真值断言，但由于他们的理论需要求助于模态假设，因而他们希望为那些数学理论做出某种论断。比如，他们试图断言皮亚答算术是一致的，且语句“存在无穷多个素数”是皮亚答公理的一个结论。这使代数式观点面临一个潜在的问题，即一个理论的一致性仅仅等于它在集合论域中有一个模型。那些断言皮亚答公理一致性的人都是在隐含地断言某一特定数学对象的存在：即这些公理的一个集合论模型。如果这是代数式论者在他们断言皮亚答公理一致时的真正含义，那么他们无论如何也不能否认是对数学对象的存在性所做出了某种断言。其结果是，他们也要承担与柏拉图主义相同的负重。
为了避免这一困难，代数式论者必须反对将理论一致性的模态说化归为关于集合理论模型存在的非模态说。然而，代数式论者又必须承认关于理论一致性的初始模态事实是存在的，这些事实不能化归为集合的非模态事实。代数式进路拒绝任何模态断言的模型理论化归说，就要付出一定的代价：即他们避免了贝纳塞拉夫关于数学对象的担忧，但却将关注的焦点转移到初始模态事实的形成原因上去了。
事实上，某些代数式观点的反对者会纳闷，通过接受初始模态事实，代数式论者是否就不会面临像贝纳塞拉夫对数学对象的初始知识所提出的问题。因为如果与理论一致性有关的初始模态事实存在，那么我们有理由询问如何能够获得关于这种事实的知识。事实上，弗雷格对希尔伯特提出的恰恰就是这个问题，即在没有提供理论的公理在其中都被解释为真的模型的情况下，如何说明一个理论是一致的。
无法为数学理论断言的一致性提供非数学的一致性证明，代数式论者将不得不承认存在某种理由能够使我们相信，如ZF集合论和皮亚答算术是一致的理论，这些理论的一致性将缺乏这样一种证明。
问：事实上，采取代数式进路的一个核心驱动力是要回避柏拉图主义在认识论解释上的难题，来维持他们对于柏拉图主义的优势地位。他们必须表明有更充足的理由去相信数学理论是一致的。在当代的研究进路当中有什么新观点？
答：不区分“纯粹的一致”与“真实的真”的数学假设之间的区别，而只关心从一致的数学假设中推出了什么结论。这种观点对任何一个关注数学实践的人来说都是十分直观的。在数学实践中，我们对理论的选择往往是建立在被认为是“有趣”和“丰富”的，而不是被认为“真实的真”的东西上。因此，在许多当代数学哲学的进路中都容易发现代数式观点的元素。
但要为代数式数学观列举出一些有代表性的例子。我认为结构主义（包括海尔曼（Geoffrey Hellman）的模态结构主义和夏皮罗（Stewart Shapiro）的柏拉图式（ante rem）结构主义）和虚构主义（包括菲尔德（Hartry Field）的虚构主义和新虚构主义）都属于代数式数学观。虽然这些观点对数学解释做了不同的形而上预设，但它们具有一个核心的共同点：即在纯数学中它们都把一致性作为决定性的因素。
问：作为代数式观点的最新进路，结构主义和虚构主义在解释数学本质的时候，有哪些不足，或者说它们所面临的困难是什么？
答：海尔曼的模态结构主义所付出的代价是为数学语言提供非标准的语义学。在模态结构主义者看来，在表达一个数学语句的时候，我们的确是在对相应的关于逻辑结论的论断进行断言。这无疑是一种形而上学的假设。夏皮罗的柏拉图式结构主义作了更强大的形而上学假设。这种结构主义希望为数学论断保持一种标准的语义学，坚持认为数学理论是对抽象结构中的位置所做出的真值断言。这会重新引起贝纳塞拉夫的第二个问题（我们如何能够具有关于抽象结构的知识），同时还会招致更多的质疑：即结构中的“位置”是什么（位置被假定只具有“关系”属性，而不具内在属性，但这种区别似乎有些含糊）？。
在解释数学-经验混合断言时海尔曼模态结构主义与夏皮罗结构主义都遇到了困难：模态结构主义只能为我们能够对其进行分类的非数学事实的真值断言作出一个非循环的解释，而夏皮罗结构主义则只能以丧失对真理的可知性为前提，对混合断言的真值做出非循环的解释。正是由于未能对应用数学做出合理的解释，使得它们关于纯数学有吸引力的观点打了折扣。
虚构主义最有代表性的人物就是菲尔德。他既维护数学的虚构主义也坚持科学实在论。作为一名虚构主义者，他不相信任何的混合断言是真的，因为他认为这些断言的真值会要求数学对象的存在，而且他不相信存在任何这样的对象。但作为一名科学实在论者，他相信用于表达我们最好的科学理论的语句是真的。其结果是，他必须说明最好的理论如何在没有使用数学-经验混合论断的情况下被表达出来。也就是说，他必须说明在科学理论中所使用的数学是可以缺省的。这种代数式进路的困难在于，无法清晰地回答是否可以在没有数学的情况下表达我们的科学理论。菲尔德已经为在牛顿力学理论中缺省数学列出了纲要，但即使在那种情况下数学是可缺省的，如何将这一策略拓展到如量子力学的理论中还是遥遥无期的。
问：作为一名虚构主义者，您的观点与菲尔德的虚构主义有什么区别？
答：代数式观点的本质是：在纯数学领域中，只关心从一致的数学公理中得出结论，而不去考虑这些公理是否与任意的对象相符合。我认为这种观点在虚构主义那里得到了做好的诠释。因为在虚构主义看来，数学是一部有用的虚构小说，一般的数学表达应被认为是表达了小说中的内容。在纯数学中，我们的兴趣在于发现数学概念公理化的表征，然后从那些公理中得出结论，没有理由相信数学表达是真值断言。在应用数学中，尽管我们表面上是对数学与非数学对象之间的关系做出真值断言，但我们并没有任何理由去相信这些断言。
奎因（W.Quine）和普特南（Hilary Putnum）提出了著名的不可或缺性论断。指出要得出数学实在论的结论必须满足以下三个原则：P1：自然主义；P2：证实的整体论；P3：不可或缺性。大多数虚构主义者都接受P1，即应该通过对科学本身的考察来发现我们所应该相信的事物；由于对P2和P3的不同意见而出现了两种不同的进路：菲尔德（Harty Field）的科学实在论虚构主义和新虚构主义。菲尔德认为我们应该相信我们最好的科学理论，因此要维护虚构主义就必须揭示在形成最好的科学理论时无需指称数学对象，即接受P2，拒绝P3。这的确可以使他回避结构主义进路所遇到的形而上的问题，然而他关于数学在科学理论中的可缺性观点遭到了诸多质疑。
另一种选择是拒绝P2、接受P3，就是我所支持的新虚构主义。某些理论的假设是不能通过被科学理论的成功应用而得到证实，这些假设只是有用的虚构物，比如在科学理论中我们假定液体是连续的物质，但作为一个样本理论模型，我们已经知道这种假设是错误的。在其他的情况下，即是我们不知道某个理论实体是否只是一个有用的虚构物的组成部分，我们会拒绝相信这个实体的存在，直到对它的存在具有某种直接的证据。这表明我们应该仔细考察数学假设在科学理论中的作用，以思考这些假设是否应该被看成是在理论实践中得到了证实。
事实上，我认为数学的表征作用是不容忽视的。假定数学假设在我们的科学理论中只是发挥表征非数学对象性质的作用，这种作用只能由虚构假设来完成。不管数学对象是否真的存在，现存理论的非数学对象似乎已经表明对它们的数学表征是很好的。但不管数学假设是否真的存在，如果它们能够发挥表征的作用，那么关于它们的真理就不会被认为是由理论上的成功所证实的。因此，我们能对科学理论中的数学假设采取虚构主义的观点：即我们无需相信它们是真的，但可以只是相信它们是发挥着表征作用、有用的虚构物。
我认为，新虚构主义的这一路径是最好的。因为它不必像结构主义那样对应用数学的“真理”存在令人质疑的形而上学的假设，也不必像菲尔德虚构主义那样面临在科学理论中缺省数学所带来的挑战。因此，新虚构主义是更为合理的代数式进路。
问：如您所说，结构主义和菲尔德的虚构主义不能为混合断言提供好的说明，您是如何解决这一问题的呢？
答：尽管结构主义者和菲尔德是用不同的方式来试图解决这一问题，但他们都是从科学实在论的角度的出发的。也就是说，他们都是实在论者，相信我们最好的科学理论都是真理（至少都逼近真理），并想要在坚持实在论的立场上为数学-经验混合断言提供说明。
我解决这一问题的方式是通过抛弃科学实在论来实现的。即使关于一般的科学理论的混合断言实际上不是真的，我们仍可以将这些混合断言看似真的，这种做法是有益的。此外，采用数学对象存在的伪称能够为我们表征非数学世界提供大量有用的方式。因此关于科学理论的数学表达应被认为是最好的表征，而不是真理的实体。与菲尔德一样，我也主张在处理混合断言的时候没有必要相信这些断言是真的，而同时又回避他在经验科学中缺省这种断言所面临的挑战。
问：众所周知，不管是何种代数式进路都必须接受二阶逻辑，然而它不像一阶逻辑那样是可公理化的。您对此有什么看法？
答：人们常常优先选择一阶逻辑。这是因为，如果某物是一阶假设集合的结论，那么它可以通过有限多个易于检验的步骤从那些假设中推导出来。在一种明晰的意义下，所有关于一阶假设结论的事实都是可知的。另一方面，由哥德尔不完备性定理可知，不是所有二阶假设的结论都能够由形式上的推演而得到。因此存在与二阶结论相关的真理，它们不能通过机械的推演而得到。然而，这种区别何以会对我们具有非同寻常的意义，这一点仍是不清楚的。
这是因为存在某些一阶的结论同样是超出我们的控制范围。有时我们也不能通过有限的步骤证实某个给定的语句不是从一阶假设集中推导而来的。存在某些关于一阶结论的真理不是机械地可证的。因此，我认为以此作为支持一阶逻辑的理由是不能令人信服的。
人们对二阶逻辑的第二个担忧，就是对二阶量词的理解以及对二阶量词的使用，允许一阶量词涉及的那些对象集合的存在。然而，这远不能使人确信：我们必须将二阶量词看作是对集合的量化。当然，我赞同布鲁斯（George Boolos）的建议：二阶量词应被理解为一种复数的量词，即对作为复数的对象进行量化，这将使人们不再相信那些对象的集合。
总之，我认为虽然应该谨慎地对待人们关于二阶量词的担忧，但是从代数式观点的角度出发来为二阶逻辑提出辩护仍是可能的，而且这并不会重新引入任何关于集合的含混假设。
问：作为一名虚构主义者，您是否也预设了关于理论一致性的初始模态事实？您如何为初始模态事实提供合理的本体论及认识论说明？
答：是的，与其他的代数式观点一样，为了避免回到标准柏拉图主义，我在解释关于一致性的事实时也不得不把它们作为初始模态事实。我并不认为模态算子“这是一致的”在被添加到语句S中以形成语句“S是一致的。”的时候附加了任何特殊的本体论意义。这同否定算子“情况不是这样” 一样，在它被附加到语句S中以形成语句“S不是这样的。”的时候，也不附加任何特殊的本体论意义。当然，那些把模态断言化归为关于集合的断言的人不会赞同这种观点。
在认识论层面上，代数式观点的拥护者只要通过做出某些关键假设，就能够说明我们关于一致性和逻辑结论的知识。如果假定我们的标准推导系统允许逻辑结论的事实存在，那么只要我们拥有一个关于某语句的推导，就可以知道这个语句是某一假设集合的推论。如果假定某些基础的数学系统（如数论或集合论）是一致的，那么借助相关的一致证明，我们就可以知道假设的其他系统也是一致的。至于我们关于数论或集合论的一致性所做出的假设，代数式观点的拥护者的最佳做法是，认为这些假设依赖于我们对数字或集合概念的直觉掌握。从描绘这些对象的图景中可以看出，其中似乎没有隐含任何矛盾。也就是说，将可想象性作为可能性的向导。当然，我认为这种方式不能为数学理论的一致性提供可靠的证明。如果放弃对数学理论确定的要求，我们还有很长的路要走。
问：从代数式观点的特征来看，语境主义似乎是它的另一种进路。您如何看待语境主义与虚构主义之间的联系？
答：数学的语境主义者认为数学中的意义和真理是由语境给出的。如果把公理看成一个语境，那么我同意这种语境主义的确是一种代数式的进路。这是因为数学理论的真理将不是由外在标准的指称所决定，而是由语境中公理的一致性所保证的。事实上，我认为这种语境主义是体现希尔伯特意义下的代数式观点的最佳路径。
虚构主义将公理的一致性作为真理和存在的标准，而语境主义认为语句的真和对象的存在是由语境决定的，这两种观点是不谋而合的。二者之间的区别在于，虚构主义接受数学理论的标准语义学（某个理论的真理依赖外在于语境的事实，尽管它们对于语境来说是相对真理），然而语境主义则提出一种非标准的语义学。同模态结构主义一样，语境主义所要面临最大困难是为经验科学中的混合论断提供合理的语义学解释，因为在混合论断中纯数学理论的公理所形成的齐整的语境将与经验调查的语境混杂在一起。我相信，通过对混和语境的深入研究能够极大地丰富语境主义研究内容，使之作为一种有前途的代数式进路得到进一步的发展。
此文发表于《哲学动态》2007年第11期
|
