第8章 8.1 8.2 8.1 8.1.1 8.1.2 1.变步长辛普生法 基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为: 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S = n = 2.牛顿-柯特斯法 基于牛顿-柯特斯法,MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为: [I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似,只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值,且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数,从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。 例8-2 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi) I = 2.4674 例8-3 调用函数quad求定积分: format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I = n = format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254754 n = 33 3.被积函数由一个表格定义 在MATLAB中,对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。 例8-4 命令如下: X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); trapz(X,Y) ans = 0.28579682416393 8.1.3 使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为: I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol,trace的用法与函数quad完全相同。 例8-5 (1) 建立一个函数文件fxy.m: function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 调用dblquad函数求解。 global ki;ki=0; I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ki I = ki = 1038 8.2 8.2.1 数值差分与差商 8.2.2 在MATLAB中,没有直接提供求数值导数的函数,只有计算向前差分的函数diff,其调用格式为: DX=diff(X):计算向量X的向前差分,DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1。 DX=diff(X,n):计算X的n阶向前差分。例如,diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶差分,dim=1时(缺省状态),按列计算差分;dim=2,按行计算差分。 例8-6 命令如下: V=vander(1:6) DV=diff(V) 例8-7 程序如下: f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2'); g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5'); x=-3:0.01:3; p=polyfit(x,f(x),5); dp=polyder(p); dpx=polyval(dp,x); dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; gx=g(x); plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'); |
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