一、符号积分 符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为: int(s):没有指定积分变量和积分阶数时,系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分; int(s,v):以v为自变量,对被积函数或符号表达式s求不定积分; int(s,v,a,b):求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数,也可以是一个符号表达式,还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时,函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时,函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时,函数返回一个符号函数。 例: 求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数,对z积分下限是sqrt(x*y),积分上限是x^2*y;对y积分下限是sqrt(x),积分上限是x^2;对x的积分下限1,上限是2,求解如下: >>syms >>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) F2 1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) >>VF2=vpa(F2) VF2 224.921535733311431597907100 二、数值积分 1.数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1],i=1,2,…,n,其中x1=a,xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。 2.数值积分的实现方法 基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为: [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 基于变步长、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法,MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为: [I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。 例: 求函数'exp(-x*x)的定积分,积分下限为0,积分上限为1。 >>fun=inline('exp(-x.*x)','x'); >>Isim=quad(fun,0,1) Isim IL=quadl(fun,0,1) IL 0.746824133988447 三、梯形法求向量积分 trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式,数值方法)。 >>d=0.001; >>x=0:d:1; >>S=d*trapz(exp(-x.^2)) S= 0.7468 或: >>format >>x=0:0.001:1; >>y=exp(-x.^2); >>S=trapz(x,y); S |
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