2010年普通高等学校招生全国统一考试数学(陕西卷)

一、选择题

1.集合A= {x∣ }，B={x∣x<1}，则 =                   （D）

（A）{x∣x>1}   (B)  {x∣x≥  1}     (C)  {x∣  }      (D) {x∣ } 

2.复数 在复平面上对应的点位于                                   （A）

 （A）第一象限       （B）第二象限        （C）第三象限       （D）第四象限 

3.对于函数 ，下列选项中正确的是                        （B）

  （A） f（x）在（ ， ）上是递增的          （B） 的图像关于原点对称

   （C） 的最小正周期为2                      （D） 的最大值为2

4. （ ）展开式中 的系数为10，则实数a等于                  （D）

（A）-1             （B）              (C)  1          (D)   2

5.已知函数 = ，若 =4a，则实数a=          （C）

（A）         （B）         (C) 2        (D)  9

6.右图是求样本x ₁，x₂，…x₁₀平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】

(A) S=S+x _n         (B) S=S+          

(C) S=S+ n          (D) S=S+

7. 若某空间几何体的三视图如图所示，   

则该几何体的体积是【C】

(A)             (B)                 

(C) 1              (D) 2

 

8.已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线与圆x²+y²－6 x－7=0相切，则p的值为【C】

(A)    (B) 1      (C) 2      (D) 4

9.对于数列｛a _n｝，“a _n+1＞∣a _n∣（n=1，2…）”是“｛a _n｝为递增数列”的【B】

(A) 必要不充分条件              (B) 充分不必要条件

(C) 必要条件                    (D) 既不充分也不必要条件

10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为【B】

(A) y=    (B) y=       (C) y=       (D) y=

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。

11.已知向量α  =（2，-1），b=(-1,m)，c=(-1,2),若（a+b）‖c, 则m=_-1_____

12. 观察下列等式：1³+2³⁼3²，1³+2³+3²=6²，1³+2³+3³+4³=10²，……，

根据上述规律，第五个等式为­­­­­­­­­­­ _1³+2³⁺__3²__+4³____+5³__=21²___________.

13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为

14.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的 的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

	a	b(万吨)	C（百万元）
A	50%	1	3
B	70%	0．5	6

某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求 的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为_15_ (百万元)

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

A.(不等式选做题)不等式 的解集为 .

B.(几何证明选做题)如图,已知 的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的图与AB交于点D,则 .               

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为 以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 则直线 与圆C的交点的直角坐标为

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)

16.(本小题满分12分)

已知 是公差不为零的等差数列, 成等比数列.

求数列 的通项;        求数列 的前n项和

解 由题设知公差

由 成等比数列得

解得 (舍去)

故 的通项

,

由等比数列前n项和公式得

 

17．（本小题满分12分）

     如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3+ ）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°且与B点相距 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？

解   由题意知AB= 海里，

∠ DAB=90°—60°=30°，∠ DAB=90°—45°=45°，∴∠ADB=180°—（45°+30°）=105°，在△ADB中，有正弦定理得

 

 

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA  ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √  2，E，F分别是AD，PC的重点

（Ⅰ）证明：PC  ⊥平面BEF；

（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

 解法一  （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。

∵AP=AB=2,BC=AD=2√  2,四边形ABCD是矩形。

∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √  2,0)，D(0，2 √  2，0)，P(0,0,2)

又E，F分别是AD，PC的中点，

∴E(0，√  2，0),F(1，√  2，1)。

∴ =（2，2 √  2，-2） =（-1，√  2，1） =（1,0,1），

∴ · =-2+4-2=0， · =2+0-2=0，

∴ ⊥ ， ⊥ ，

∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩  EF=F,

∴PC⊥平面BEF

（II）由（I）知平面BEF的法向量

平面BAP 的法向量

  设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，

则

∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45

解法二  （I）连接PE，EC在

PA=AB=CD, AE=DE,

∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，

又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,

又 ，F是PC 的中点，

∴BF⊥PC.

又

19 （本小题满分12分）

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：

（ ）估计该小男生的人数；

（ ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；

（ ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。

解 （ ）样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。

（ ）有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率 故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率

（ ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4。

设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间”，

则

20.（本小题满分13分）

如图，椭圆C： 的顶点为A₁,A₂,B₁,B₂,焦点为F₁,F₂, | A₁B_1| = ,

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线， ，是否存在上述直线l使 成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

解 （1）由 知a²+b²=7,      ①

由 知a=2c,    ②

又b²=a²-c²                                    ③

由 ①②③解得a²=4,b²=3,

故椭圆C的方程为 。

（2）设A,B两点的坐标分别为（x₁,y₁）(x₂,y₂)

假设使 成立的直线l不存在，

（1）       当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,

由l与n垂直相交于P点且 得

，即m²=k²+1.

∵ ,

21、(本小题满分14分)

已知函数f（x）= ，g（x）=alnx，a R。

（1）       若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

（2）       设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值 （a）的解析式；

（3）       对（2）中的 （a），证明：当a （0，+ ）时， （a） 1.

解 （1）f’(x)= ,g’(x)= (x>0),

由已知得  =alnx，

= ，     解德a= ,x=e²,

两条曲线交点的坐标为（e²,e）   切线的斜率为k=f’(e^{2)= ,}

切线的方程为y-e= (x- e₂).

（1）       当a.>0时，令h (x)=0,解得x= ,

所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0， ）上递减；

当x> 时，h (x)>0，h(x)在（0， ）上递增。

所以x> 是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。

所以Φ （a）=h( )= 2a-aln =2

（2）当a  ≤   0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。

故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)

（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)

则 Φ ¹（a ）=-2ln2a，令Φ ¹（a ）=0 解得 a =1/2

当  0<a<1/2时，Φ ¹（a ）>0，所以Φ （a ）  在(0,1/2) 上递增

当  a>1/2  时， Φ ¹（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。

所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1

因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值

所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）  ≤  1