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Description
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 Input 输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。 Output 输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible" Sample Input 1 2 3 4 5 Sample Output 4 解如下： 就是扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程。 设过s步后两青蛙相遇，则必满足以下等式： (x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....) 稍微变一下形得： (n-m)*s+k*l=x-y 令n-m=a,k=b,x-y=c,即 a*s+b*l=c 只要上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。 首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值，看是否存在s,l的整数解，若存在则输入最小的s， 但显然这种方法是不可取的，谁也不知道最小的s是多大，如果最小的s很大的话，超时是明显的。 其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决，先来看下什么是欧几里德扩展原理： 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 d | b , d |r ，但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证 欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为： int Gcd(int a, int b) { if(b == 0) return a; return Gcd(b, a % b); } 当然你也可以写成迭代形式： int Gcd(int a, int b) { while(b != 0) { int r = b; b = a % b; a = r; } return a; } 本质上都是用的上面那个原理。 补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使 用C++的实现： int exGcd(int a, int b, int &x, int &y) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } int r = exGcd(b, a % b, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; return r; } 把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。 可以这样思考: 对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b') 由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法) 那么可以得到: a'x + b'y = Gcd(a', b') ===> bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===> ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b) 因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y). 在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下： 求a * x + b * y = n的整数解。 1、先计算Gcd(a,b)，若c不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1; 2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解； 3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为： x = n' * x0 + b' * t y = n' * y0 - a' * t (t为整数) 上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。 下面来看看我这题的代码： # include <stdio.h> __int64 gcd(__int64 a,__int64 b)//求a,b的最大公约数 { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } void exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &m,__int64 &n)//求a * x + b * y = Gcd(a,b)的一组整数解，结果储存在m,n中 { if(b==0) { m=1; n=0; return ; } exgcd(b,a%b,m,n); __int64 t; t=m; m=n; n=t-a/b*n; } int main() { __int64 x,y,m,n,l,a,b,c,k1,k2,r,t; while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF) { a=n-m; b=l; c=x-y; r=gcd(a,b); if(c%r)//如果c不能被r整除，则由数论中的相关定理可知整数解一定不存在 { printf("Impossible\n"); continue; } a/=r; b/=r; c/=r; exgcd(a,b,k1,k2);//求a*k1+b*k2=Gcd(a,b)的整数解，此时Gcd(a,b)=1 t=c*k1/b;//见注1 k1=c*k1-t*b; if(k1<0) k1+=b; printf("%I64d\n",k1); } return 0; } |
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