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很老的东东了，其实也没啥好整理的，网上很多资料了，就当备用把:-) 1. 欧几里德算法和扩展欧几里德算法 欧几里德算法 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证 欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：  int Gcd(int a, int b) { if(b == 0) return a; return Gcd(b, a % b); }当然你也可以写成迭代形式： int Gcd(int a, int b){ while(b != 0) { int r = b; b = a % b; a = r; } return a;}本质上都是用的上面那个原理。 补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现： int exGcd(int a, int b, int &x, int &y){ if(b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } int r = exGcd(b, a % b, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; return r;}把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。 可以这样思考: 对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b') 由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法) 那么可以得到: a'x + b'y = Gcd(a', b') ===> bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===> ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b) 因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y) 2. Stein算法 欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。 考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。 （注：说到抛弃除法和取模，其实辗转相除法可以写成减法的形式) Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。 为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论： gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身 gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。 有了上述规律就可以给出Stein算法如下： 如果A=0，B是最大公约数，算法结束 给出一个C++的实现: int Gcd(int a, int b){ if(a == 0) return b; if(b == 0) return a; if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1); else if(a % 2 == 0) return gcd(a >> 1, b); else if(b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1); else return gcd(abs(a - b), Min(a, b));}
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