第七章式与方程 第一节:用字母表示数 要点:1、在具体情境中会用字母表示数。 2、结合简单的实际情境,了解等量关系 图解: 用字母表示数 分解知识点: 一、用字母表示数的意义和作用 用字母表示数,可以把数量关系简明地表达出来,同时也可以表示运算的结果。 例如:用字母a表示每本书的单价,买3本书应付的钱可以写成3a。 注:“3a”这个式子清楚地表示出当单价是a时,单价,购买本数和应付钱数三个量之间的关系,同时,它也表示了买3本书的总钱数。 相关知识的链接: 代数式:用加、减、乘、除等运算符号,把数和表示数的字母连接成式子,这样的式子称为代数式。 例如:3+5x,x+y, +a÷2等都是代数式。特别地,单独的一个字母或数字。 如a、x、8等,也叫做代数式。 第二节:用字母表示数量关系 1、路程用s表示,速度用v表示,时间用t表示,三者之间的关系: s=vt,v=s÷t (或 ),t=s÷v(或 ) 2、总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系: a=bc,b=a÷c(或 ),c=a÷b(或 ) 3、收入用a表示 ,支出用b表示,结余用c表示,三者之间的关系: a=b+c,c=a-b,b=a-c 4、工作效率用a表示,工作时间用t表示,工作总量用c表示,三者之间的关系: c=at,t=c÷a(或 ),a=c÷t(或 ) 警示区:一个字母只能表示一种数量吗? 注:一种数量用什么字母来表示,一般是约定俗成的,但不是绝对的。例如:时间一般用字母t来表示;例如:a既可以表示总价,也可以表示收入,但在同一个数量关系中,一个字母只能表示一种数量。 第三节、:字母表示常见的运算定律和性质,我们学过的运算定律,都可以用字母来表示,这比用语言叙述更为简洁明确。 警示区:a2与a的区别是什么? a2=a×a表示两个a的积,而2a=a+a表示两个a的和,只有当a=2或a=0时,a2=2a。 例如:加法交换律可表示为:a+b=+b+a 加法结合律可表示为:a+(b+c)=(a+b)+c 乘法交换律可表示为:ab=ba 乘法结合律可表示为:(ab)c=a(bc) 乘法分配律可表示为:(a+b)c=ac+bc 减法的性质可表示为:a-b-c=a-(b+c) 第四节:用字母表示公式及运算法则 一、数学中的计算公式或运算法则,都可以用字母很简明地表示出来。 例如: 名称 字母意义 字母分式 长方形 a—长 b—宽 c=2(a+b) 正方形 c—周长 s—面积 s=ab 平行四边形 a—边长 c—周长 c=4a s—面积 s=a2 三角形 a—底 h—高 s= ah s—面积 梯形 a—上底 b—下底 s= (a+b)h h—高 s—面积 (*)s=mh (*)m=中位线 圆 π—半径 d—直径 c=πd=2πr c—周长 s—面积 s=πr2 扇形 r—半径 s= ×n n—圆心角度数 s—面积 长方体 a—长 b—宽 h—高 s=2(ab+ah+bh) s—表面积 v—体积 v—abh 正方体 a—棱长 s=6a2 s—表面积 v—体积 v=a3 圆柱 h—高 c- 度面周长 s—表面积 S侧=ch S侧—侧面积 S表=S侧+2S S底—底面积 V=sh v—体积 圆锥 h—高 S—底面积 V= Sh v—体积 第五节:用字母表示的数在写法上的规定 1、数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作“· ”或者省略不写,数字要写在字母的前面,例如:3×a=3·a=3a 2、当“1”与任何字母相乘时,“1”都省略不写,例如:1·a=a 3、在一个问题中,同一字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示,例如: 3x+b=2(b+c) 4、用含字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母,如果式子中加号或减号,要先用括号把含字母的式子括起来,再在括号后面写上单位名称。 第六节:将数值代入式子求值 1、含字母式子的值 当字母的数值确定时,把它代入原式中进行计算,所得的结果就是含字母式子的值,又称代数式的值。 例如: ab,当a=6,b=10时,则 ab 的值是 ×6×10=20 2、将数值代入式子值的方法。 把具体的数值代入式子求值时,要注意书写格式;先写出字母等于几,然后写出原式,再把数值代入式子求值。字母表示的是数,不写单位名称,同一个式子,当式子所含字母取不同的数值时,所求出的式子的值也不相同。 例题精讲 例1:用含字母的式子表示下面各题的数量关系。 (1)a与4的和的7倍。 (2)比m的8倍少n的一半的数。 精讲:这道题是用含字母的式子表示数量关系。(1)按照字母表示数的规定,a与4的和乘7,乘号省略并且7要放在“和”的前面,所以最后写成: 7(a+4);(2)n的一半,一般不写成n÷2,而写成 n,所以最后写成:8m- n。 例2:写出下面各题的简便算法,再用字母表示出来 。 (1)125-12.2-7.8 (2)7000÷125÷8 精讲:(1)是利用“一个数连续减去两个数,等于减这两个数的和”的性质进行简算的, 所以125-12.2-7.8=125-(12.2+7.8) 用字母表示为a-b-c=a-(b+c) (2)是利用“一个数连续除以两个数,等于除以这两个数的乘积”这一性质进行简算的,所以7000÷125÷8=7000÷(125×8) 用字母表示为a÷b÷c=a÷(b×c) 例3:一辆客车平均每小时行a千米,一辆货车平均每小时行b千米,客车行了3小时,货车行了5小时,用含有字母的式子表示出两车共行了多少千米? 精讲:这道题是根据应用题到算式,客车行了3a千米,货车行了5b千米,它们的和为共行的路程,当3a和5b分别为一个整体时,写单位名称时不用括号而它们的和3a+5b为一个式子,如果不加括号而上单位名称千米,那就是表明了5b的单位是千米,3a的单位,没有表示出来,所以要把式子括起来再写单位名称,答案为(3a+5b)千米。 例4:用3辆载重为x吨的卡车,运了4次货物。 (1)用式子表示一共运的货物的总数。 (2)根据式子,求x=8时,一共运了多少吨货物。 精讲:(1)因为是用3辆载重为x吨的卡车运货,所以3辆卡车一次运货的吨数可表示为3x吨,又因为是运了4次,再乘4,因此一共运的货物总数可以表示为(3x×4)吨。 (2)当x=8时,求运货物的总数,可以把x=8代入含有未知数的式子中,求出值即可。 解答:(1)一共运的货物的总数为3x×4=12x (2)当x=8时,12x=12×8 = 96 答:一共运了96吨货物。 例5:汉口到上海的水路长1125千米,一艘轮船以每小时26千米的速度从汉口开往上海。 (1)开出t小时后,离开汉口有多少千米? 如果t=12,离开汉口有多少千米? (2)开出t小时后,到上海还要航行多少千米?如果t=20,到上海还有多少千米? 精讲:关键在于理解题意,弄清轮船行驶的方向,根据题意可以画出线段图。 (1)开出t小时后,离开汉口有多少千米? 26t千米,如果t=12,离开汉口有多少千米? t=12,26t=26×12=312 (2)开出t小时后,到上海还要航行多少千米? (1125-26t)千米 如果t=20,到上海还要航行多少千米? t=20,1125-26t=1125-26×20=605 例6:在下面竖式中,a、b、c、s各代什么数字? 精讲:观察竖式的特点,一个四位数乘9,积仍是四位数,我们还可以看到,一个因数的四位数字与积的四个数字相同,而排列的顺序恰好相反,抓住这个特点,就很容易分析出来了。 a b c d × 9 ————— d c b a |
|