一、测量距离的问题
【例题1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，
BAC=
， ACB=
．求A、B两点的距离(精确到0.1m)．
【启发提问】1．
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
2．运用该定理解题还需要那些边和角呢？
【解析】这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边．
根据正弦定理，得
，
≈ 65.7(m)
答：A、B两点间的距离为65.7米．
【注意】在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．
二、测量高度的问题
运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题．
【例题2】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．
【解析】求AB长的关键是先求AE，在 ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长．
选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是
、 ，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在 ACD中，根据正弦定理可得 ， ．
三、测量角度的问题
运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．
【例题3】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为 ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2 ，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4 ，求 的大小和建筑物AE的高．
【解析】本题的综合性较强，主要利用正、余弦定理解题，还应该注意运用多种解题方法．
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在 ACD中，
AC=BC=30， AD=DC=10 ， ADC =180 －4 ，
∴ ．
因为sin4 =2sin2 cos2 ，
∴cos2 = ，得2 =30 ．
∴ =15 ，
∴在Rt ADE中，AE=ADsin60 =15．
答：所求角 为15 ，建筑物高度为15m．
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h，
在 Rt ACE中，(10 + x) + h =30 ，
在 Rt ADE中，x +h =(10 ) ．
两式相减，得x=5 ，h=15．
∴在 Rt ACE中， ．
∴2 =30 ， =15 ．
答：所求角 为15 ，建筑物高度为15m．
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得 BAC= ， CAD=2 ，
AC = BC =30m，AD = CD =10 m．
在Rt ACE中，sin2 = --------- ①
在Rt ADE中，sin4 = --------- ②
② ① 得cos2 = ，2 =30 ， =15 ，AE=ADsin60 =15．
答：所求角 为15 ，建筑物高度为15m．
四、有关三角形的计算问题
运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
我们已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式．在 ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h 、h 、h ，根据以前学过的三角形面积公式S= ah，应用求高的公式如h =bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S= absinC，同理可得，S= bcsinA， S= acsinB．
【例题4】在 ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm ）
（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5 ；
（2）已知B=62.7 ，C=65.8 ，b=3.16cm；
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm．
【解析】这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．
（1）应用S= acsinB，得S= 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm )．
（2）根据正弦定理， ，
，
，
．
（3）根据余弦定理的推论，得
≈0.7697，
≈0.6384．
应用S= acsinB，得S ≈ 41.4 38.7 0.6384≈511.4(cm )．
五、总结
综合以上解三角形应用的例题，可知解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状．特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用．
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经典例题荟萃
【例题1】某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
【解析】这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量．
如上图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x，AB=14x，AC=9， ACB= + = ．
∴（14x） = 9 + (10x) －2 9 10xcos ，
∴化简得32x －30x－27=0，即x= ，或x=－ (舍去)．
所以BC = 10x =15，AB =14x =21，
又因为 ．
∴ BAC =38 ，或 BAC =141 （钝角不合题意，舍去），
∴ ．
答：巡逻艇应该沿北偏东83 方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船．
【注意】在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
【例题2】如图，在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm ）？
【解析】本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．
设a=68m，b=88m，c=127m，根据余弦定理的推论，
≈0.7532，
0.6578，
应用S= acsinB ，
S ≈ 68 127 0.6578≈2840.38(m )．
答：这个区域的面积是2840.38m ．
【例题3】在 ABC中，求证：
（1） ；
（2） ．
【解析】这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明．
【证明】
（1）根据正弦定理，可设 ，
显然 ，所以，左边= =右边．
（2）根据余弦定理的推论，
右边=
=
= =左边．
【例题4】如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6020'，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）．
【解析】根据题意，本题中汽车的液压结构可以简化为下图三角形的形式求解．已知△ABC的两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角A＝66°20′，求BC．
由余弦定理，得
答：顶杆BC约长1.89m．
【例题5】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）（精确到1mm）
【解析】根据题意，本题中曲柄连杆机构可以简化为下图三角形的结构求解．已知△ABC中，BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，求AC．
（如图）在△ABC中，由正弦定理可得： ，
因为BC＜AB，所以A为税角，A＝14°15′ ，
∴B＝180°－（A＋C）＝85°45′．
又由正弦定理：
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