|
2000.6.20. 前言 第一节：数学美的本质 1.1 数学美的本质 1.2 数学美学研究的意义 1.2.1 素质教育的需要 1.2.2 发展学生认知结构的需要 1.2.3 培养兴趣、启迪思维的需要 1.2.4 丰富美学理论的需要 第二节：数学美育的价值功能 2.1 忽视数学美育的价值功能的析因 2.2 数学美育的价值功能 2.2.1 数学美能够激发人们创造发明的激情 2.2.2 寓美于教，能激发学生的学习兴趣 2.2.3 以美启智，提高学生探索问题和解决问题的能力 第三节：数学美育教育之途径 3.1 展示明显的数学美，培养学生的审美感知能力 3.2 挖掘隐含的数学美，培养学生把审美趣味创造性运用于学习 3.3 将美学原理应用于解题实践 3.3.1 审视数学美，启迪问题解决的思路 3.3.2 挖掘数学美，简化问题解决的捷径 3.3.3 创造数学美，探索问题解决的途径 3.3.4 追求数学美，总结问题解决的规律 前 言 综观当前的教育形势，举国上下正在全力推进素质教育，培养德智体美劳全面发展、具有创新意识和实践能力的人才已成为教育者关注的焦点。德育已得到高度的重视，教育界高举“德育领先”旗帜；智育在传统教学中有着深厚的根基，重视程度不言而喻；体育本着全民健身的宗旨，活动有声有势；劳动教育或许与生活实践比较密切，也相应受到越来越多的人的关注；然而，美育？……美育没有受到相应的重视！此外，我们在谈论人文精神的时候，常常把人文精神定位在追求“真、善、美”和人的全面自由的发展之最高层面上，在讨论艺术美的理论中，也常常谈到“真、善、美”三位一体的问题。怀特海曾经指出，数学是真、善、美的辩证统一。一个正确的数学理论，反映客观事物的本质和规律，这就是真；数学理论不管离现实多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向，这是数学的善；数学理论本身的奇特、微妙、简洁有力以及建立这些理论时人的创造性思维这就是数学的美。而这些观点在教学过程中是否得到充分的体现吗？没有！苏霍姆林斯基曾说：“没有审美教育就没有任何教育”。在此，不想夸大美育的作用。但是，作为素质教育的重要组成部分，未能得到充分重视，确是深感遗憾。值得高兴的是，高中数学课程标准（讨论稿）已提出了数学教育必须注意培养学生的科学精神和人文精神，特别是“数学与文化”这一单元体现了数学文化的一个重要功能是在美学方面，这种功能是鼓舞人们把对数学的追求化为一种对完善的追求。基于此，提出本课题研究本课题，或许可以对中学数学教学中如何加强美育提供一些有益的启示。 第一节：数学美的本质 1.1数学美的本质 自从有人类社会以来，人们就爱好美，追求美。尽管一些从事数学教育工作的同志，对数学中存在美这样一个观点还不能完全接受，但在实际的数学教学中还是自觉不自觉地运用了它。数学作为启迪学生思维、培养学生能力的一门学科，除了具有其本身严密的逻辑性、抽象性之外，还具有其本身特有的美，即数学美。 那么什么是数学美？换言之，数学美的本质是什么呢？ 这主要体现在两方面： 一、从价值追求上，数学的审美，说到底是一种理性的精神，正是这种精神，使得人类的思想得以发挥到非常完善至美的程度；正是这种精神，从一定程度上影响了人类的物质、道德和社会生活，并试图回答了有关人类自身提出的一些问题；正是这种精神，使得人们能尽可能地去理解、了解、控制自然，从而掌握客观世界的规律；正是这种精神，使人们有可能去探求和确立已经获得知识的最深刻的、最完美的科学内涵。 二、从表现形式上，数学美实际上是数学语言（符号）呈现出来的以秩序、和谐、对称、简洁等为主要内容的结构美，是一系列符号的形式美。从内涵上讲，反映的是这些符号秩序所表现出来的一种一致美、和谐美。 1.2数学美学研究的意义 1.2.1 素质教育的需要 数学教育的目的之一，是让学生具备对数学美的鉴赏分析能力，从而既有利于激发学生对数学学科的爱好，也有助于培养学生的创造能力。我们知道，在数学教学过程中，比较重视知识的传授、能力的培养，对于完成美育的教育任务却常常落不到实处，培养学生欣赏美、鉴赏美的能力往往成为一句空话，而通过对数学美的研究和探讨，可以使教师在教学过程中自觉地培养学生的审美观念、审美情趣、审美理想、审美情感和审美能力，使学生在学习过程中陶醉于数学美的享受之中，心旷神怡，使身上的肌肉松驰而消除紧张学习带来的疲劳，调节生理节律，使大脑得以积极的休息，实实在在地完成美育的教育任务。 1.2.2 发展学生认知结构的需要 数学认知结构是学生通过自己主动的认识而在头脑里建立起来的数学知识结构，再完善的知识结构也只有通过学生自己的主动认识，才能转化为其头脑里的认知结构。黑格尔曾说过：“审美带有令人解放的性质”。美具有完整性与和谐性等特点。人在数学美领域里得到的既合规律又合目的的自由愉悦，有利于学生全面掌握数学知识、从整体上把握数学知识与方法。 1.2.3 培养兴趣、启迪思维的需要 开发智力、培养能力的核心是发展思维，而兴趣则是最好的老师。美感和兴趣虽然并非一回事，但美容易引起人们的兴趣，启迪人们的思维。对数学缺乏审美素养的学生往往感到数学单调枯燥、神秘莫测，难以激发学习热情，更谈不上启迪思维了。只有对数学美有深刻的领悟和感受，才能对数学学习产生兴趣，这是乐此不疲地进行创造性思维的一种持久的驱动力。所以，教师应该寓教学于学生对美的享受之中，使学生自觉接受教学美的熏陶和感染，获得知识，锻炼能力，实现精神的愉悦，心灵的满足，从而达到开发非智力因素、启迪思维的目的。 1.2.4 丰富美学理论的需要 数学中存在着美，这早已为古代哲学家和数学家所肯定，也为古往今来的数学家所体验并留下一些零散的论述。尽管有关数学美的论述早已有之，但国际、国内的数学、数学教育及美学领域内，对数学美讨论的蓬勃兴起，还是近二十年的事。我国数学美的研究始于1982年，到现在不过二十年的历程。就其发展速度而言，在国际上是处于比较领先的地位，但就总体而言，整个数学美的研究还处于方兴未艾的状况，存在着研究面狭窄、理论深度不够、实验研究少等问题。作为一门正在形成中的边缘学科，理论的构建尚处于初始阶段的数学美学，有待于各位同仁添砖加瓦，对数学美学作更广泛、更深入的研究，争取突破性的成果，从而加速数学美学理论体系的构建，丰富整个美学理论的研究。 第二节 数学美育的价值功能 2.1 忽视数学美育价值功能的析因 第一是感到数学头痛。陌生的符号、抽象的概念，使人望而生厌，句读之未通，符号之不识，哪里还谈得上审美观的情趣。 对于第一种观点是不难理解的，数学的确比较抽象，使大多数人望而生畏。但持这种观点的人，只要他们多少掌握一些数学知识，无论是初等的或高等的，他们就会体会到一些数学美，从而逐渐改变自己的看法。古希腊有一句名言：“哪里有数，哪里就有美。”数学中处处是数，能没有美吗？ 第二是认为科学不同于艺术，科学不允许个人的情感掺杂其中，而艺术没有个人情感则是不可思议的。科学家的情感只是他在从事创造性劳动过程中的情感，并非其劳动成果的本身包含着情感。因此，用科学手段得到的东西，既不是艺术，更不是美本身，因而也谈不上什么美的享受。 现在我们来谈第二种观点。这种观点，实则也是似是而非，至少对数学不能适用。 首先，我们看看数学家是怎样认识的。罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种泛而严肃的美。这种美，不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。” 再次，数学的本质是自由。数学研究在本质上是一种创造，这种创造与艺术的创造并无二致，也充满了个人的情感。 开始在很长一段时间里人们认为一切连续函数都是可微函数，但偏偏有那么一些人标新立异，“创造出”了处处不可微的连续函数。当人们第一次看到从连续函数中跳出这么一个奇怪的函数时，又是多么地令人激动。 2.2 数学美育的价值功能 数学是美的。 数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。” 美作为现实的事物和现象，是物质产品和精神产品、艺术作品等属性的总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的功能。 数学，始终是美的。 审美教育的范围正日益广泛地渗透到人类社会的各个领域之中。人们不仅通过音乐、艺术，而且也通过自然美、社会美、科学美，得到美的熏陶，美化精神境界。数学教学的目的之一，应当是培养学生对数学美的鉴赏能力，这不仅有利于激发他们对数学的爱好，也有助于提高他们的创造发明能力。 基于上面数学美的论述，数学美育具有下述的价值功能。 2.2.1数学美能够够激发人们创造发明数学的激情 首先，我们可以看一看如下例子。据说，古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他很小的时候就跟随丢番图学习数学。有一天他向老师请教一个问题：有四个数，把其中每3个数相加，其和分别为22、24、27、20，求这四个数。 而在教学过程中具体表现如何呢？ 众所周知，圆锥曲线的标准方程之形式是如此简洁、优美、匀称，它给人以一种美的享受。就双曲线而言，平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。如图，取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设M（x，y）是双曲线上的任意一点，焦距是2c，M与F1，F2两点距离之差绝对值等于常数2a，则得其标准方程为x2/a2-y2/b2=1，在数学过程中，可以提出为什么要取“2c”与“2a”，而不取“c”与“a”呢？为什么要引进b呢？为何叫标准方程呢？ 我们说，数学的发明和创造，除了反映客观世界的数量关系和空间形式，还来源于对美的追求。衡量一个理论是否成功，不仅要有实践标准，逻辑标准，还要有美的标准。当一种理论尚未达到美的境界时，就必须继续改进发展，“按照美的规律来制造”。如上一问题，按定义可得：p={M| |MF2|-|MF2|=±2a}得方程 2.2.2寓美于教，能激发学生的学习兴趣 心理学研究表明，兴趣是人们积极主动地认识客观事物的一种心理倾向，它表现为一种好学精神。运用数学美的感染力,能够使学生产生愉快的心理体验，激发学生浓厚的学习兴趣。数学美有的是可以直接感受的，如雅致的图形、流畅的曲线、对称的方程、简单的解法等；有的不那么明显，且往往容易被忽视，如一些概念、公式、定理、法则所蕴含的较高层次的数学美，它们需要教师在备课时充分挖掘，在上课时明确展示。 为了让学生更好地掌握无穷等比数列各项和的公式和相应的数学思想，本节课抓住无限向限转化所揭示的数学美，由一个著名的悖论导入：古希腊神话中的善跑英雄阿里里斯和乌龟赛跑，设阿里里斯的速度是乌龟的10倍，乌龟的在阿里里斯前面100米，二者同时起跑。当阿里里斯追赶100米后，乌龟已向前走了10米，当他又追赶10米时，乌龟又走了1米，当他追赶1米时，乌龟又走了0.1米，……，如此继续，当阿里里斯追到乌龟原来位置时，乌龟已向前走了一定的距离，因此，乌龟总在阿里里斯的前面，而阿里里斯永远追赶不上乌龟。 问题一提出来，同学们都笑了，他们知道这结论是错的。教师问：“错在哪里”，学生的兴趣来了，都积极回答，但都对自己或他人的答案感到不满意。教师指出：答案就在本节课要学的内容中。引导学生看书，学习本节内容后，再回到这个悖论上，学生指出：阿里里斯在追赶乌龟的过程中分别走了，100m、10m、1m、0.1m、0.01m、……，这是个|q|<1的无穷等比数列，它的各项的和： 最后，在教师的引导下，同学得出结论：无限能向有限转化，而悖论的错误在于没有看到这一点。 这里，教师充分利用数学美的奇异性（意料之外的思维）和简单性（一目了然的结论），使学生的思维受到强刺激，产生强烈的学习兴趣和求知欲望，整节课处在最佳的学习状态之中。 我们知道，对数的学习是比较机械的、枯燥的。如在本章学习之前，先提出一个问题，“一张0.01mm厚的纸折叠十次以后，有多厚”学生是可以计算得了。再此，又提出问题，若是折了100次呢？有的学生或许可以算得，估算即为2100层纸厚，为2100=（210）10≈（103）10=1030即为103×0.01×0.01×0.01km=1022km，这有1022公里长度。学生都为之惊叹。这一数字，只是估算，学生感到有趣、好奇，它的新颖奇特在学生的心灵中引起了一种愉快的惊异，趣中孕育着“美感”。进一步为了解决这一繁而惊人的计算，而因追求计算的“简单性”——数学美的表现形式之一，导致了对数计算方法的产生。学生带着兴趣、美感、追求，开始学习对数运算。 2.2.3以美启智，提高学生探索问题和解决问题的能力 数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。 庞卡莱指出：“在解题中，在证明中，给我们以美感的东西是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称，是它们的巧妙、平衡”。 解析几何是用数研究形的数学分科，形数结合是研究解析几何的基本观点，运动变化是解析几何的主导思想。若能注意点拨这一优美、和谐的知识结构，将可以增强学生的“美的意识力” 。 若以常规方法，设P（x，y）为抛物线上一点，则|MP|+|PF|= 考虑到数形结合，由定义可知，|MP|+|PF|=|PM|+P到准线距离，如图易得P点坐标为P（-2，1/2），这个解法巧妙、简捷、合理、优美。——它来自于解析几何知识结构以及“美的意识力”的思考。 但这里取不到等号。进一步分析基本不等式中极值与均值的统一美，猜想极值可能会在均值处 再如，对于问题，已知x2+y2=1，求证 从审美的角度观察其特征，可得到下面两种简捷证法： 分析1：不等式等价于(|y-ax|)/ 分析2：由x2+y2=1联想到可设x=cosθ，y=sinθ 则y-ax=sinθ-acosθ= 故|y-ax|=| 从两种优美的解答中发现，数学美的指导思想起了决定性的作用。 第三节 数学美的教育之途径 3.1 展示显明的数学美，培养学生的审美感知能力 徐利治教授指出：“学生的学习应该是主动的、富有美感的智力活动，学习材料的兴趣和美学价值乃是学习的最佳刺激，强烈的心智活动所带来的美的愉悦和享受是推动学习的最好动力。”学生通过发现、认识、体验和运用显现的数学美的形式，直觉地感受到数学美震憾人心的力量，形成强烈的认知趋向和身心满足。在百思不得其解之后，一个巧妙的方法跃然而出，显得那么奇特、新颖，内心深处由衷产生无比的喜悦与冲动，刻骨铭心，这就是数学的奇异美；当冗长的陈述、繁杂的关系用数学语言演绎而出时，学生无不被数学的简洁美所折服；数与形的统一、对称图形、对称等式、对称变换的运用，显得那么和谐生动，使学生与数学的统一美，对称美交融一体。 把棱(圆)柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的体积公式统一到： 无论多复杂的二次曲线（圆锥曲线）均可用方程：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示。在极坐标系下，还有更简洁、统一的形式：ㄗ=p/(1-ecosθ)（P为焦点参数）。 而对三角函数的充分理解和应用，是把三角函数的定义与三角函数的符号结合，与有向线段结合，与极坐标结合，与复数结合，与参数方程结合，与数列和不等式结合。 上述三个问题把相应的知识统一到某个公式或某个定义上，体现了数学美的统一性与抽象性。教学中，应注意揭示这些知识的数学美，让学生去体验去感受，不但有助于学生把各种知识联系起来，形成知识的整体结构，而且有助于加深学生对具体知识各自特征的认识，更好地把握知识间的区别与联系，帮助学生构建良好的数学认识结构。 勾股定理c2=a2+b2，这一简单而整齐的形式，表达了一切直角三角形边长之间的关系。 二项展开式的系数、正多面体、圆等都具有明显的对称性，甚至有人感叹：圆是最美的图形。 “黄金分割”除了自身直觉美感外，由于它的许多美妙性质还有一种奇异美：不仅与其它的数有密切联系，在社会、生活、人体、艺术等方面都有广泛应用。 例如，为了引进对数概念，教师先引导学生复习由等式ab=N所定义的两种运算：①已知a、b，求N的运算——乘方；②已知N、b，求a的运算——开方。再启发学生从考虑数学和谐性的形式出发，必须要研究另一种运算；③已知a、N，求b的运算——求对数。这样，就从弥补原有的知识结构不对称的缺陷开始，完成了引进对数概念的任务。在数学教学中，或是让学生分析现存的知识结构的缺陷，提出反映“和谐性”形式的课题；或是让学生改进已有的解题方法的缺点，寻求具有“简单性”形式的方法；或是让学生对前面的数学概念质疑问难，构造带有“奇异性”形式的反例，所有这些，只要持之以恒，就一定能培养起学生对数学的审美感觉，使他们能透过抽象的数学符号看到美的形象，透过严密的逻辑推理领略美的风采，为最终能驾起数学美的风舟，驶向创造思维的彼岸作铺垫。 3.2挖掘隐含的数学美，培养学生把审美趣味创造性地用于自己的学习 以数学美的完善与追求，是发现新理论、创造新发明的重要线索和有力手段。事实上，当某个理论、某个问题或某个对象，无论是其思想内容，还是其形式方法，尚未完善时，往往会遵循审美标准、依据美的规律去继续创造、发展直至完善它，这就是补美思想。 创造补美思想具有直觉性、统一性和创造性，创造补美思想在数学教学中处处有所体现。 当n是自然数，n！表示从1到n的n个自然数的乘积，而当n=0时，0！显然无意义，这就破坏了阶乘定义的整体和谐美，考察公式Cnm=m!/(n!(m-n)!)，这里m、n是自然数，且m>n，当m=n时，左边为Cnm=1，右边为m!/(m!0!)，为使m=n时，公式仍成立，就必须补充规定0!=1，从而满足了和谐性。 直角坐标系下，椭圆标准方程的推导，两角和的余弦函数公式“Cα+β”的证明中，都可运用补美思想，促进方程和等式对称，整齐，从而简捷推演。 数学美作为一种诱因，往往能促进学生对数学知识的理解与掌握，一旦学生的学习活动，充满了审美趣味性，学习过程便会在前进中留下美的轨迹，审美趣味将成为学生心理生活的催化剂，成为学生积极的自我完善的力量，让学生对前、后知识进行比较，理解它们的内在联系，从而形成知识的有序结构和解题的方法体系，既减轻了学生的学习负担，又提高了学习效率，例如,为了介绍等差数列通项公式的几何意义,教师要求学生将公式αn=α1+(n-1)d变形为αn=dn+（α1-d），看到当d≠0时，αn是关于n的一次式。若令y=αn，x=n，k=d，b=α1=d，则可得直线方程y=kx+b，由此可见，以自然数集N为定义域的函数αn=f(n)的图象应是直线y=kx+b上那些x∈N的点的集合，而这一直线的斜率k=d，在纵轴上的截距b=α1-d，这就是等差数列通项公式的几何意义。等差数列通项公式与直线方程的形式是相同的，学生从中获得了和谐的美感，很自然，在和谐美的启示下，学生容易将经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)，创造性地用来解决由等差数列的两项αm、αn来求其公差d的问题，即d=(αn-αm)/(n-m)，此公式还能简捷地用作解决不少的等差数问题，学生从中获得了美的享受，启迪了思维，深化了对知识的理解。 3.3将美学原理应用于解题实践 数学伴随着一个探索发现的过程，需要综合运用逻辑思维与非逻辑思维去找寻解题途径，达到正确的、完美的解题目的。而在这一问题解决过程中，数学审美活动起着不可忽视的潜在作用。 法国启蒙思想家狄德罗有一段名言精辟地指出：“数学中所谓美的问题，是指一个又一个难以解答的问题。所谓美的解答是对一个困难复杂问题的简易回答。”数学美的主要表现有：简单性、和谐性、奇异性和抽象性。在问题解决过程，若能从应用数学审美的角度出发，审视问题结构的和谐性，追求问题解决方案的简单性、奇异性、新颖性，挖掘命题结论的统一性，带领学生进入数学美的王国，陶冶精神情操，这对于诱发学生的求知欲，激发他们的学习兴趣，提高学习效率，培养创造性思维能力是不言而喻的。 3.3.1 审视数学美，启迪问题解决的思路 美的观点一旦与数学问题的条件与结论的特征相结合，人们就能凭借已有的知识和经验产生审美直觉，从而确定解题的总体思路和入手方向。因此，数学美感在解决数学问题的过程中能启迪思维，引导人们探索解决数学问题的新路。基于此，在数学问题的解决中就需要我们以数学审美的眼光去观察，从数学审美的角度去思考，按数学审美的要求去猜测，有意识地用数学审美的眼光观察、思索数学问题的外在形式上的美学特征，然后做出直觉的判断，从而找到问题的解决方案。 分析：审视数学美，就要求我们在问题解决过程，首先应审视所提供问题的表面形式上的“美”的特征。可以发现，给出的三个方程井然有序，给人以和谐的美感，于是直觉也能感觉到，如果直接求出x2，y2，z2，就会破坏这种美的形式且运算浩繁！和谐、美妙的形式特征，必须有着“美”的解答。经过认真观察对比，可知22，42，62是方程： 从命题的外在形式美的特征得到启示，找到了美的解法，这决不是偶然的巧合，而是在和谐美的指引下的必然结果。因此，我们说，问题解决过程中，应从全方位、多层次、多角度地审视数学美，这为问题解决提供了一个重要途径。 3.3.2 挖掘数学美，简化问题解决的捷径 数学中的数、式、形有着优美的结构。而这一美的结构往往隐蔽在问题之中，这就需要我们充分挖掘隐含在问题中的“美”。我们如能有意识地引导学生从数学审美的角度，充分挖掘问题中数量关系或空间形式的简单性、秩序性等，加以简单化、秩序化，可以使解题者走许多捷径，还可以发现具有创造性的解法。 例2: 评析：数学中的数、式、形有着优美的结构，呈现出许多秩序美，对称美的形式。挖掘到本题中条件 x+y+z=6，对于x，y，z，是均衡的，亦即是对称。又结论xy2z3是由字母 次数依次递增，存在着秩序美的形式。考虑到诸多方面的美，利用不等式 本题的解决挖掘了秩序美这一特征，从而找到了简化问题的解决的捷径。 3.3.3 创造数学美，探索问题解决的途径 在解决问题时，呈现在我们面前的往往是错综复杂的数量关系或繁杂的图形，从其形式上难以发现其是否存在“美”的形式，有时，甚至无从下手。但是，经过我们努力去发现、构造、运用其可能的对称性、和谐性，往往可以找到解决问题的途径。也就是说，在问题解决过程中，利用问题形式的变换与化归。而变换与化归的依据在于各种形式问题在其本质上的和谐与统一。通过变换与化归，创造其美的形式，达到解决问题的目的。 例3：证明三角形三内角的平分线小于三边的连乘积. 如图1：如果记三角形的三边分别为 a, b, c ,它们上的角平分线相应为 ta , tb , tc , 那么要证的结论是 tatbtc<abc . 该问题的解决，体现了从不对称到对称这一过程，而这一数学美的创造过程，为我们提供了问题解决的途径。 3.3.4 追求数学美，总结问题解决的规律 例4：已知平面上有5条直线，其中任何两条都不平行，证明其中一定有两条直线其夹角不大于36°. 分析：如图2 ，本题中5条直线的位置不定，若用逐条线来加以分析的办法，这显然是不“美”的，也难以奏效，但由题没知，5条直线中的任何两条都不平行，这意味着平移其中的任何一条直线都不可能与其它直线重合。既然如此，我们从追求数学美的角度去考虑：能否设想通过平移（即不改变每条直线的方向）的办法，使5条直线共点，如图3，这就是一种简单化、有序化了的位置关系。至此我们便找到了解题的起点。 因为此时在每相邻两条直线所成的十个角中，不可能都大于36°，否则这十个角的和将大于360°，由此可得到问题的解决。 这种证法抓住了问题简单化、有序化这一数学美的特征，证题过程明快、流畅、言简意赅，给人一种美的享受。为了追求数学美的统一性，因而发现、总结了相关类型问题解决规律。 参考文献： 欧阳维诚著 数学 科学与人文的共同基因.湖南：湖南师范大学出版社 2000.7 马忠林主编 郑毓信著.数学方法论.广西：广西教育出版社出版 1996.12 戴汝潜主编 胡炯涛 张芃著.中学数学教学纵横谈.山东：山东教育出版社 1997.9 戴汝潜主编 任勇 张芃著.中学数学教学艺术.山东：山东教育出版社 1999.1 徐利治 数学美与数学教学.苏州:中学数学1984.5 张雄 数学美与数学教育. 陕西:中学数学教学参考1997.8 林少安 数学问题解决中的审美活动. 兰州:数学教学研究2001.3 林少安 素质教育观下数学美育的价值功能. 福建:福建中学教学2001.4 林少安 浅议数学美的教学功能. 扬州:高中数学教与学2001.6 林少安 提高数学教学艺术，培养学生数学美的鉴赏能力.福建：福建基础教育丛书 1999.10 陈纪伟 朱华根 审美与构造. 湖北:数学通迅1992.7 张雄 论数学美及其研究. 湖北:数学通迅1992.6 吴开朗 数学美学.北京：北京教育出版社会性 1993 方延明 数学文化导论 南京：南京大学出版社 1999.10 张振国 提高数学教学艺术 增强数学美育熏陶 浙江:中学教研88.6 |
|
|
