线段、角 一、判断题(每小题1分共8分,对的在括号内画“√”,错的画“×”). 1.经过三点中的每两个,共可以画三条直线…………………………………( ) 【提示】平面内三点可以在同一条直线上,也可以不在同一条直线上. 【答案】×. 【点评】要注意,三个点的相互位置共有两种情况,如图 (1) (2) 因此,平面内经过三点中每两个的直线可以是同一条,也可以是三条,必须把上面两种情况全部考虑到,再分类解决,若只考虑其中的第二种情况,判断就会出错. 2.射线AP和射线PA是同一条射线………………………………………………( ) 【提示】表示射线端点的字母要写在前,另一个字母写在后,端点不同的射线不是同一条射线. 【答案】×. 3.连结两点的线段,叫做这两点间的距离…………………………………………( ) 【提示】连结两点的线段的长度,叫做这两点的距离. 【答案】×. 【点评】“线段”表示的是“图形”,而“距离”指的是线段的“长度”,指的是一个“数”,两者不能等同. 4.两条直相交,只有一个交点……………………………………………………( )[来源:Zxxk.Com] 【提示】两条不同的直线,如果它们有一个公共点,我们就说它们相交,若两条直线相交,有两个公共点,那么根据直线公理:经过两点有且只有一条直线,则这两条直线实际上是同一条直线了.同样两条不同的直线不能有三个或更多的公共点. 【答案】√. 5.两条射线组成的图形叫做角……………………………………………………( ) 【提示】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 【答案】×.[来源:学&科&网] 【点评】“角”的构成有两个条件:①有公共端点;②两条射线组成的图形.两者缺一不可,按题中的叙述,可以画出这样的图形(如下图),显然这个图形不是角. 6.角的边的长短,决定了角的大小.( ) 【提示】角的大小,与组成角的两条射线张开的程度相关,或者说与射线绕着它的端点旋转过的平面部分的大小相关,与角的边画出部分的长短无关. 【答案】×.[来源:学科网] 【点评】我们在现实生活中看到的直线或射线,其实大多数以线段的形式出现的,所以在运用直线或射线概念时,千万别忘了它们的几何意义,否则就要出错. 7.互余且相等的两个角都是45°的角…………………………………………( ) 【提示】“互余”即两角和为90°. 【答案】√. 【点评】设相等的两个角为x°,由“互余”得,2x=90,∴ x=45(度),以正确的计算为依据,也是作判断题的方法之一.注意,角度是一个带单位的数.设未知数时,未知量带单位,则列式中即可不用带单位.这与解其他类型的应用题格式相同. 8.若两个角互补,则其中一定有一个角是钝角……………………………………( ) 【提示】“互补”即两角和为180°.想一想:这里的两个角可能是怎样的两个角? 【答案】×. 【点评】两角互补,这里的两角有两种情形,如图: 图(1) 图(2) 因此,互补的两个角中,可能有一个是钝角,也可能两个角都是直角,因此在作出判断前必须全面地考虑,这就要求有“分类讨论”的思想,“分类讨论”是数学中重要的思想方法之一. 二、填空题(每空1分,共28分) 1.过平面内的三个点中的每两个画直线,最少可画____条直线,最多可画_____条直线. 【提示】分三点在一条直线上和三点不在同一条直线上两种情况. 【答案】1,3. 2.如图,线段AB上有C、D、E、F四个点,则图中共有_____条线段. 【提示】方法一:可先把点A作为一个端点,点C、D、E、F、B分别为另一个端点构成线段,再把点C作为一个端点,点D、E、F、B分别为另一个端点构成线段……依此类推,数出所有线段求和,即得结果. 方法二:先数出相邻两点间线段的条数,再数出中间隔一点或隔二点、或隔三点……数出各种情况线段的条数,将它们相加,即得结果. 【答案】15. 【点评】一条线段上有4个点,则共有5+4+3+2+1条线段;若线段上再增加一个点,即有5个点,则共有6+5+4+3+2+1条线段;若一条线段上有n个点呢?则有(n+1)+n+(n-1)+…+3+2+1=条线段,每增加一个点,就增加(n+1)条线段. 3.线段AB=6 cm,BC=4 cm,则线段AC的长是______. 【提示】分点C在AB的延长线上或点C在AB上两种情形. 【答案】10 cm或2 cm. 【点评】(1)当点C在AB延长线上时,如图,则AC=AB+BC=6+4=10(cm); [来源:学科网ZXXK] (2)当点C在AB上时,如图,则AC=AC-BC=6-4=2(cm),点有位置不同,故应有两种情形. 4.把线段AB延长到点C,使BC=AB,再延长BA到点D,使AD=2AB, 则DC=_____AB=____AC;BD=_____AB=_____DC. 【提示】根据题意,画出符合条件的图形,如图,答案是否明白了? 【答案】4,2;3,. 【点评】判断线段间的数量关系,应画出符合题意的图形,结合图形正确分析方能得出正确的结论,这里要注意“延长线段AB”与“延长线段BA”的区别. 5.45°=______直角=_____平角=____周角. 【提示】1直角=90°,且1直角=平角=周角. 【答案】,,. 6.18.26°=___°___′___″;12°36′18″______°. 【提示】1°=60′,1′=60″,高一级单位化成低一级单位,用乘法,乘以60;低一级单位化成高一级单位,用除法,除以60.[来源:学,科,网] 【答案】18,15,36;12.605. 7.只有_____角有余角,而且它的余角是_____角. 【提示】①互余的两角和为90°;②0°<锐角<90°. 【答案】锐、锐. 8.如图,∠AOC=∠COE=∠BOD=90°,则图中与∠BOC相等的角为_____; 与∠BOC互余的角为______,与∠BOC互补的角为______. 【提示】互余的两角和为90°,互补的两角和为180°;同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等. 【答案】∠DOE,∠AOB、∠COD;∠AOD. 【点评】互补两角,图形上并非一定出现相邻两角为平角,而只要求和为180°,类似地,也应这样去理解互为余角的概念. 9.∠α与它的余角相等,∠β与它的补角相等,则∠α+∠β=____°. 【提示】互余且相等的角是45°,互补且相等的角是90°. 【答案】135°. 10.互为余角两角之差是35°,则较大角的补角是_____°. 【提示】先根据互余两角和为90°,差是35°,求出较大角,然后再求较大角的补角. 【答案】117.5°. 【点评】设互余两角为α,β,且α>β,则.解这个方程组,即可求出∠α的度数,这种和用方程组解决几何计算题的方法以后还会经常用到. 11.钟表在12时15分时刻的时针与分针所成的角是_____°. 【提示】钟面上时针每小时旋转1大格为30°,则每分旋转0.5°;分针每小时旋转12大格为360°,则每分转6°. 【答案】如图,∠BOC=∠AOB-∠AOC =30°×3-0.5°×15 =90°-7.5° =82.5° 12.用定义、性质填空: (1)如下图, ∵ M是AB的中点, ∴ AM=MB=AB.( ) (2)如下图, ∵ OP是∠MON的平分线, ∴ ∠MOP=∠NOP=∠MON.( ) (3)如右图, ∵ 点A、B、C在一条直线上, ∴ ∠ABC是平角( ) (4)如右图, ∵ ∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°, ∴ ∠1=∠3( ) 【提示】根据线段中点、角平分线概念、互为余角的性质填写. 【答案】线段中点的定义,角平分线的定义,平角的定义,同角的余角相等. 【点评】定义性质是推理的依据,要学会定义、性质的符号表达式,为后面的进一步学习做好准备. 三、选择题(每小题2分,共16分) 1.如图,B、C、D是射线AM上的一个点,则图中的射线有………………( ) (A)6条 (B)5条 (C)4条 (D)1条 【提示】射线是指直线上一点和它一旁的部分,射线有一个端点,可以向一方无限延伸. 【答案】B. 2.下列四组图形(其中AB是直线,CD是射线,MN是线段)中,能相交的一组是( ) (A) (B) (C) (D) 【提示】直线没有端点,可以向两方无限延伸;射线有一个端点,可以向一方无限延伸;线段有两个端点,题中四组图形,画出部分都没相交、要找出能相交的一组,就看直线、射线可延伸出部分能否与另一条线相交. 【答案】B. 3.如图,由AB=CD,可得AC与BD的大小关系是…………………………( ) (A)AC>BD (B)AC<BD (C)AC=BD (D)不能确定 【提示】由AB=CD,两边同时减去CB,即可找出答案. 【答案】C. 4.如图,M是线段AB的中点,N是线段AB上一点,AB=2a,NB=b,下列说法中 错误的是…………………………………………………………………………( ) (A)AM=a (B)AN=2a-b (C)MN=a-b (D)MN=a 【提示】由“M是线段AB的中点,AB=2a”,可得AM=MB=AB=a. 【答案】D. 5.下列说法中正确的是…………………………………………………………( ) (A)角是由一条射线旋转而成的 (B)角的两边可以度量 (C)一条直线就是一个平角 (D)平角的两边可以看成一条直线 【提示】角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形,角的边是射线,角有顶点. 【答案】D. 【点评】平角的两边互为反向延长线,可以构成一条直线,但不可把直线当作直角,因为直线没有明确角的顶点. 6.下列四个图形中,能用∠,∠O,∠AOB三种方式正确表示同一个角的图形是( ) (A) (B) (C) (D) 【提示】当且仅当顶点处只有一个角时,可用顶点的大写字母表示这个角. 【答案】C.[来源:学#科#网Z#X#X#K] 7.如图,∠AOB是一直角,∠AOC=40°,OD平分∠BOC,则∠AOD等于( ) (A)65° (B)50° (C)40° (D)25° 【提示】∠AOD=∠AOB-∠BOD或者∠AOD=∠AOC+∠COD. 【答案】A. 【点评】观察图形,确定角与角之间的关系是解决此题的关键. 8.下列说法中正确的是…………………………………………………………( ) (A)一个角的补角一定比这个角大 (B)一个锐角的补角是锐角 (C)一个直角的补角是直角 (D)一个锐角和一个钝角一定互为补角 【提示】0°<锐角<90°,1直角=90°,90°<钝角<180°,互补两角的和是180°. 【答案】C. 四、计算(每小题2分,共8分) 1.37°28′+44°49′; 2.108°18′-52°30″; 3.25°36′×4; 4.40°40′÷3. 【提示】1°=60′,1′=60″,低一级单位满“60”,要向高一级单位进“1”,由高一级单位借“1”要化成“60”加入低一级单位参与运算. 【答案】1.82°17′; 2.56°17′30″; 3.102°24′; 4.13°33′20″. 五、画图题(共15分) 1.(4分)读句画图:如图,A、B、C、D在同一平面内. [来源:学科网ZXXK] (1)过点A和点D画直线; (2)画射线CD; (3)连结AB; (4)连结BC,并反向延长BC. 【答案】如图: 【点评】画直线AD时,要画出向两方延伸的情况,画射线CD时,要画出向D的一旁延伸的情况,画线段AB时,则不要画出向任何一旁延伸的情况,线段是射线、直线的一部分,射线又是直线的一部分. 2.(4分)已知线段a、b(如图),画出线段AB,设AB=3a-b,并写出画法. 【答案】方法一: ①量得a=1.9 cm,b=2.6 cm; ②算AB的长,AB=3×1.9-×2.6=4.4(cm); ③画线段AB=4.4 cm. 则线段AB就是所要画的线段. 方法二: ①画射线AM,并在射线AM上顺次截取AC=CD=DE=a;[来源:Z.xx.k.Com] ②在线段EA上截取EB=b. 则线段AB就是要画的线段. 【点评】①写画法就是按照画图的顺序,交代清楚在什么位置(在射线AM上)上画什么样的线段,怎样画(顺次截取),哪一条线段就是要画的线段. ②涉及到的概念用语(是射线还是线段),位置术语(在……上),动作术语(截取还是顺次截取)等都要仔细体会,正确运用. 3.(4分)用三角板画15°与135°的角. 【提示】15°=45°-30°=60°-45°;135°=90°+45°=180°-45°. 【答案】如图: 或 则∠AOC就是所要画的15°角. 或 则∠MON就是所要画的135°的角. 4.(3分)已知:∠1与∠2,且∠1>∠2,画∠AOB,使∠AOB=(∠1-∠2). 【答案】方法一 ①量得∠1=120°,∠2=44°; ②算∠AOB=(120°-44°)=38°; ③画∠AOB=38°.[来源:学科网] 则∠AOB就是所要画的38°角. 方法二 ①画∠AOC=120°; ②以O为顶点OC为一边在∠AOC的内部画∠COD=44°; ③量得∠AOD=76°,则∠AOD=38°; ④以O为顶点,OA为一边,在∠AOD的内部画∠AOB=38°. 则∠AOB就是所要画的38°的角. 【点评】无论方法一还是方法二,都要使用量器画角,有一定的局限性,常常会有误差.以后,我们还要学习“尺规作图”的方法,从而能提高画图能力. 5.读句画图填空(每空1分,共10分) (1)画∠AOB=60°. (2)画∠AOB的平分线OC,则∠BOC=∠____=∠____=____°. (3)画OB的反向延长线OD,则∠AOD=∠____-∠AOB=_____°. (4)画∠AOD的平分线OE,则∠AOE=∠____=_____°,∠COE=_____°. (5)以O为顶点,OB为一边作∠AOB的余角∠BOF,则∠EOF=____°,射线OC、OB将∠____三等分. 【答案】(2)AOC、AOB、30;(3)BOD、120;(4)DOE、60,90;(5)150,AOF. 【点评】读句画图,看图填空,把几何图形与语句表示,符号书写融为一体,看到了图形形成的过程,利于识图. 六、解答题(每小题5分,共15分) 1.如图,M是线段AB的中点,点C在线段AB上,且AC=4 cm,N是AC的中点,[来源:学科网] MN=3 cm,求线段CM和AB的长. 【提示】CM=MN-NC,AB=2 AM. 【答案】∵ N是AC中点,AC=4 cm, ∴ NC=AC=×4=2(cm), ∵ MN=3 cm, ∴ CM=MN-NC=3-2=1(cm), ∴ AM=AC+CM=4+1=5(cm), ∵ M是AB的中点,[来源:Zxxk.Com] ∴ AB=2 AM=2×5=10(cm). 答:线段CM的长为1 cm,AB的长为10 cm. 【点评】在进行线段的有关计算时,要依据已知,仔细看图,找出已知线段与所求线段的关系,关于线段中点的三种表达方式,应结合图形灵活运用. 2.已知∠a与∠b 互为补角,且∠b 互为补角,且∠b 的比∠a大15°,求∠a的余角. 【提示】互补两角和为180°,根据题意可知列出关于∠a、∠b的方程组,求出∠a,再根据“互余两角和为90°”,求出∠a的余角. 【答案】由题意可得: 解之得: ∴ ∠a的余角=90°-∠a=90°-63°=27°. 答:∠a的余角是27°. 3.如图,∠AOB是直角,∠AOC等于46°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数. 【提示】∠MON=∠CON-∠COM. 【答案】∵ ∠AOB是直角. ∴ ∠AOB=90°(直角的定义), ∵ ∠AOC=46°, ∴ ∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+46°=136°, ∵ ON平分∠BOC, ∴ ∠CON=∠BOC=×136°=68°(角平分线定义), ∵ OM平分∠AOC, ∴ ∠COM=∠AOC=×46°=23°(角平分线定义),[来源:学*科*网Z*X*X*K] ∴ ∠MON=∠CON-∠COM=68°-23°=45°. 答:∠MON=45°. 【点评】和线段计算一样,在进行有关角度计算时,也要根据已知,仔细看图,找出已知角与所求角的关系,此题中的∠MON还可看成是∠BOM与∠BON的差,∠MON也可看成是∠AOM与∠AON之和,请试一试怎么算,比一比哪种方法较简便.关于角平分线的三种表达式,也应结合图形灵活运用. |
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