第一讲 函数、连续与极限
一、理论要求
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1.函数概念与性质 |
函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） |
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2.极限 |
极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 |
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3.连续 |
函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） |
二、题型与解法
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A.极限的求法 |
（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） |
1.
（等价小量与洛必达）
2.
已知
（洛必达）
3.
（重要极限）
4.已知a、b为正常数，
（变量替换）
5.
解：令
6.
（变量替换）
7.已知在x=0连续，求a
解：令（连续性的概念）
三、补充习题（作业）
1. （洛必达）
2. （洛必达或Taylor）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求
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1.导数与微分 |
导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 |
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2.微分中值定理 |
理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 |
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3.应用 |
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） |
二、题型与解法
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A.导数微分的计算 |
基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 |
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1. 2. 解：两边微分得x=0时 3. |
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B.曲线切法线问题 |
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求
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C.导数应用问题 |
6.已知
解：令 7. 解：定义域
8.求函数 解： |
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D.幂级数展开问题 |
10.求 解： = |
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E.不等式的证明 |
11.设 证：1）令 2）令 |
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F.中值定理问题 |
12.设函数
证： 其中 将x=1，x=-1代入有 两式相减：
13. 证： 令 令
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三、补充习题（作业）
1.
2.曲线
3.
4.证明x>0时,
证：令
