一、
三个量的不同,如时间不等,方向不同,路程长短等均可进行恰当统一,转化成相同便于找出数量关系。 例题一, 答案:27小时 分析与解:顺水120+逆水60――》12小时 顺水20+逆水10――》2小时 所以顺水5千米时间=逆水4千米时间;所以:顺流航行120千米,逆流航行60千米用了12时.相当于顺流航行120千米,顺流航行60÷4×5=75千米,用了12时,现在两码头相距195千米,所以顺流所需时间为12÷195×195=12时,逆流所用时间为顺流的5/4 ,即为 12×5/4=15小 时,所以来回共需12+15=27小时。 注意到这题中涉及两次统一,第一次为统一时间,上面都统一为2小时,也可以统一为1小时,也可能统一为60小时;第二次为统一运动方向,把逆流转化成顺流。 二、假设法 假设的目的是为了建立条件间的相同点,在有些题目中,前后两个类似条件在形式上有不同之处,此时,我们可以通过假设把其中一个条件加以变化,使这和另一个条件更接近,更加便于比较。 例题三, 从条件的第一句话可知,在相同时间里,甲走了80千米,乙走了180-80=100千米。也就是甲乙的速度比是4:5。难点是在对第二句的理解上,我们可以假设甲车一开始就把速度提高了50%,4×(1+50%)=6,那么甲与乙的速度比就变为6:5,因此当乙走90千米到中点时,甲应该走90÷5×6=108千米。与实际相差108-90=18千米,这个18千米是把半小时内甲的速度提高50%多出来的,也就是甲用一半的速度走半小时是18千米,那就可以求出甲的速度为18÷1/2÷1/2=72千米/时。 三、方程法 例题四, 答案:8:8 ,8:53 ,8:17 (还缺一个解,自己想想怎么算出来。)
四、倍比法 行程题中,路程、速度、时间的关系已变得很复杂,其中反复用到速度差速度和与路程时间之间的倍数关系,思考起来稍用难度。 例题五, 分析与解:由已知,第一天甲、乙相遇时乙、丙的距离是两人每分钟所走路程和的10倍,而第二天甲、乙相遇时乙、丙的距离是两人每分钟所走路程和的20倍,因此第二天甲、乙相遇时,乙、丙的距离是第一天的2倍。由于乙、丙的距离是乙、丙的速度差与甲、乙相遇所需时间的乘积,所以第二天甲、乙相遇所需时间是第一天的2倍。 由于第二天甲、乙相遇所需的时间=AB的距离÷甲和乙的速度差,而第一天甲、乙相遇所需的时间=AB的距离÷甲和乙的速度和,因此甲、乙的速度和是甲、乙的速度差的2倍。 由于甲、乙的速度和是甲的速度的2倍加上两人速度差,因此甲速度的2倍等于甲、乙速度差,由此知乙的速度是甲的3倍,即乙每分钟走40*3=120米。 在第一天中,甲、乙相遇用了4800÷(120+40)=30分钟,又乙返回10分钟后与丙相遇,因此乙、丙速度和是乙丙速度差的3倍,从而丙的速度为每分钟120*(3-1)÷(3+1)=60米。即丙每分钟走60米。 这道行程题中,路程、速度、时间的关系已变得稍复杂,其中反复用到速度差速度和与路程时间之间的关系,思考起来稍用难度。
五、列表法 两人的速度时间等都在变化时,不好统一列式计算,我们可以列一个表观察一下。 例题六, 分析与解:因为两人的速度都在变化,不好统一列式计算,我们可以列一个表观察一下。 由上表看出,乙在出发后3分多钟追上甲。从3分钟后开始计算,乙追上甲还需(2772-2262)÷(2.9×33-6.6×23)=510÷25.5=20(秒)。所以,出发后3分20秒乙追上甲。
六、分步思考 在有些行程问题中,既有路程上的前后调头,又有时间上的走走停停,同时又有速度上的前后变化。遇到此类问题,我们应分析其中的运动规律,把整个运动过程分成几段,再仔细分析每一段中的情况,然后再类推到其它各段中去。这样既可使运动关系明确、简化,又可减少复杂重复的推理及计算。
七、直观图解 通过画图直接看出结果是个很好的办法,分线段图与坐标图举两个例子。 例题八, 第一次相遇时甲、乙各行了80分钟,到第一次超越时,甲共行100分钟,而乙在第一次相遇到第一次超越的这20分钟内行的路程,相当于甲行80+100=180(分)的路。所以甲、乙的速度之比为20∶180=1∶9。 例题九, (1)如果两人同时开始练习,那出发多长时间后,甲、乙二人第一次相遇? (2)如果甲比乙提前9秒开始练习,那两人在练习的过程中一共相遇了多少次?(追上也认为是相遇) 人大附03-04考题。
通过上表甲在12×5~13.5×5之间时在D E之间, 于是,为甲60~67.5 假设在距D处x米,则距E处30-x; 有60+ =65+ ; 得x=24,60+ =60+6=66秒,所以在66秒时相遇。
由下图我们知道,相遇四次。
八、扫清烟幕 有些行程问题的条件变化看上去很复杂,其实它内涵的某些本质是不变的,必须扫清迷雾,抓住本质。 例题十, 不管怎么变化,每次的速度比都一定,每一次相遇A车都行90米,B车都行160米,160乘10除以250得6圈余100米,行了100米。还要行150米。 150米
九、界定范围 给速度、时间、或路程确定一个范围,在可能的范围内寻找符合要求的解比较方便。 例题十一, 确定临界值 精假设乙在某顶点刚休息完,正准备跑时,甲到达该顶点(追上乙)。此时,乙比甲恰好多休息1次。设甲纯跑步时间为t1秒,则乙纯跑步时间为(t1+5)秒。根据甲比乙多跑200米,可得方程7t1-5(t1+5)=200解得t1=112.5秒。 甲跑一条边需 秒,而112.5不是 的倍数,所以这种情况不成立。 再假设甲在某一边上而不是某一顶点上追上乙,那么甲比乙恰好多休息2次。设甲纯跑步时间为t3秒,则乙纯跑步时间为(t3+10)秒。根据甲比乙多跑200米,可得方程 7t3-5(t3+10)=200,解得t3=125(秒)。因为在t1=112.5与t3=125之间, = 是的整数倍,所以当甲纯跑步时间为t2= 秒时,甲第1次追上乙。此时乙跑了7× -200=600米。(为什么必须是100/7的倍数,课上详解。)
十、 数据分析 对数据的产生过程逐一分析,往往能找到突破口。 例题十二, 150级=甲走150级的时间内扶梯上升级数+扶梯级数, 75级=扶梯级数-乙走75级时间内扶梯引升级数 150-75=75=甲走150级时间内扶梯上升级数+乙走75级时间内扶梯上级数, 75级=甲走150级+75×3=375纺时间内扶梯上升级数 甲速=5梯速
十一、枚举验证 动点所处的位置往往不止一种状态,需要列举出来逐个验证,注意到答案的不唯一性。 例题十三, 分析与解:首先得弄清楚甲乙丙三人的位置,要得到这题的一个解其实特别容易,不管甲在何处只要乙追上丙两人在同一地点时,乙丙必与甲距离相等。因此:6÷(18-16)=3小时。
上式的右边表示小时后甲追乙的路程减去4,正好等于这时乙、丙距离的一半。分子部分表示原来乙丙相距6千米,小时后由于乙追丙一段,距离变为6-(18-16)。 可解得: = 。 因此这道题目已经有两个答案,3与,那还会不会有第三个答案呢?不会。因为小时后甲在乙丙中间,3小时后甲已经超过乙丙。当三人的位置从后往前成为丙、乙、甲时,随着时间的推移,再也不会出现相等情况。 |
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