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解答题 1.（安徽）设椭圆 过点 ，且左焦点为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当过点 的动直线 与椭圆 相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足 ．证明：点Q总在某定直线上． 2.（北京）对于每项均是正整数的数列 ，定义变换 ， 将数列 变换成数列 ． 对于每项均是非负整数的数列 ，定义变换 ， 将数列 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 ； 又定义 ． 设 是每项均为正整数的有穷数列，令 ． （Ⅰ）如果数列 为5，3，2，写出数列 ； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列 ，证明 ； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 ，存在正整数 ，当 时， 3.（福建）已知函数 ． （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）记f(x)在区间 （ ）上的最小值为 ，令 ． （Ⅲ）如果对一切n，不等式 恒成立，求实数c的取值范围； （Ⅳ）求证： 4.（广东）设 为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足 ， ， （ …）．（1）证明： ， ；（2）求数列 的通项公式； （3）若 ， ，求 的前 项和 ． 5.（宁夏）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为y=3． （Ⅰ）求 的解析式： （Ⅱ）证明：函数 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线 上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 6.（湖北）已知数列 和 满足： ， ， ，其中 为实数，n为正整数． （Ⅰ）对任意实数 ，证明数列 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）设 ，Sn为数列 的前n项和．是否存在实数 ，使得对任意正整数 ，都有 ?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由． 7.（湖南）已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若不等式 对任意的 都成立（其中 是自然对数的底数）． 求 的最大值． 8.（江苏）若 ， ， 为常数， 且 （Ⅰ）求 对所有实数成立的充要条件（用 表示）； （Ⅱ）设 为两实数， 且 ,若 求证： 在区间 上的单调增区间的长度和为 （闭区间 的长度定义为 ）． 9.（江西）已知函数 ． 当 时，求 的单调区间； （2）对任意正数 ，证明： ． 10.（辽宁）设函数 ． （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值； （Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式 的解集为（0，+ ）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由． 11.（全国1）设函数 ．数列 满足 ， ． （Ⅰ）证明：函数 在区间 是增函数； （Ⅱ）证明： ； （Ⅲ）设 ，整数 ．证明： ． 12.（全国2）设函数 ． （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围． 13.（山东）如图，设抛物线方程为 ， 为直线 上任意一点，过 引抛物线的切线，切点分别为 ． （Ⅰ）求证： 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当 点的坐标为 时， ．求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点 ，使得点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，其中，点 满足 （ 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 14.（陕西）已知数列 的首项 ， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的 ， ， ； （Ⅲ）证明： ． 15.（上海）(3’+7’+8’)已知以a1为首项的数列{an}满足：an＋1＝ ⑴当a1＝1，c＝1，d＝3时，求数列{an}的通项公式 ⑵当0＜a1＜1，c＝1，d＝3时，试用a1表示数列{an}的前100项的和S100 ⑶当0＜a1＜（m是正整数），c＝，d≥3m时，求证：数列a2－，a3m+2－，a6m+2－，a9m+2－成等比数列当且仅当d＝3m 16.（四川）已知 是函数 的一个极值点． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求函数 的单调区间； （Ⅲ）若直线 与函数 的图像有3个交点，求 的取值范围． 17.（天津）在数列 与 中， ， ，数列 的前 项和 满足 ， 为 与 的等比中项， ． （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）求数列 与 的通项公式； （Ⅲ）设 ，证明 ． 18.（浙江）已知数列 ， ， ， ． 记： ， ． 求证：当 时， （Ⅰ） ； （Ⅱ） ； （Ⅲ） 19.（重庆）设各项均为正数的数列 满足 ， （Ⅰ）若 ，求 ，并猜想 的值（不需证明）； （Ⅱ）记 ，若 对 恒成立，求 的值及数列 的通项公式． |
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