九年级上教案

反比例函数
教学目标：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
教学程序：
一、导入：
   1、从现实情况和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加强对函数概念的理解，导入反比例函数。
   2、U=IR，当U=220V时，
  （1）你能用含R的代数式表示I吗？
  （2）利用写出的关系式完成下表：
R（Ω） 20 40 60 80 100
I（A）     
当R越来越大时，I怎样变化？
当R越来越小呢？
（3）变量I是R的函数吗？为什么？
答：① I = UR
②  当R越来越大时，I越来越小，当R越来越小时，I越来越大。
③变量I是R的函数。当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数。
二、新授：
1、反比例函数的概念
   一般地，如果两个变量x, y之间的关系可以表示成 y=kx (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
   反比例函数的自变量x 不能为零。
2、做一做
   一个矩形的面积为20cm2，相邻两条边长分别为xcm和ycm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？
解：y=20x  ，是反比例函数。
三、课堂练习：
  P133，12
四、作业：
P133，习题5.1  1、2题
 
反比例函数的图象与性质
教学目标：使学生会作反比例函数的图象，并能理解反比例函数的性质。培养提高学生的计算能力和作图能力。
教学重点、难点：作反比例函数的图象。理解反比例函数的性质。
教学程序：
一、复习：
   1、函数有哪几种表示方法？
答：图象法、解析法、列表法
   2、一次函数y=kx+b有什么性质？
答：一次函数y=kx+1的图象是一条直线。
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
二、新授：
   1、作反比例函数y=4x 的图象：
列表：
X －8 －4 －3 －2 －1 －12
－12
1 2 4 8
y=4x
          

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。
连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=4x 的图象。
 

2、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点。
3、作反比例函数y=－4x 的图象。
4、观察函数y=4x 和y=－4x 的图象，它们有什么相同点和不同点？
图象分别都是由两支曲线组成的，它们都不与坐标轴相交，两个函数图象都是轴对称图形，它们各自都有两条对称轴。
5、反比例函数y=kx 的图象是由两支曲线组成的，当k>0时，两支曲线分别位于一、三象限内，当k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
三、随堂练习
P136：1、2
四、作业：P137 习题5.2  1
 
反比例函数的图象与性质
知识目标：使学生理解反比例函数y=kx (k≠0)的增减性质。培养、提高学生的空间想象能力。
教学难点：反比例函数的对称性质
教学程序：
一、新授：
1、观察反比例函数y=2x ，y=4x ，y=6x 的图象，回答下列问题？
（1）函数图象分别位于哪几个象限内；
（2）在每一个象限内，随着x 值的增大，y的值怎样变化的？能说明这是为什么吗？
（3）反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
答：（1）第一、三象限
   （2）y的值随着x 值的增大而减小；
   （3）不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，因为x≠0，所以图象与y轴不可能有交点，因为不论x取何实数值，y的值永不为0（因k≠0）所以图象与x 轴不可能有交点。

2、考察当k=―2，―4，―6时，反比例函数y=kx 的图象，回答（1）中的三个问题。
3、反比例函数图象的性质：
反比例函数y=kx  的图象，当k>0时，在第一象限内，y的值随x 的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x 的增大而增大。
4、在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的面积为S2,S1与S2有什么关系？为什么？
S1=S2= | K |
5、将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？
反比例函数的图象是一个以原点为中心的中心对称图形；
反比例函数是一个以y=±x 为对称轴的轴对称图形。
二、随堂练习：P139  1、2
三、作业：P141  习题5.3   1、2
 
反比例函数的应用
教学目标：使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。
教学重点：反比例函数的应用
教学程序：
一、新授：
1、实例1：（1）用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？
答：P=600s (s>0)，P是S的反比例函数。
（2）、当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？
答：P=3000Pa
（3）、如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多少？
答：至少0.lm2。
（4）、在直角坐标系中，作出相应的函数图象。
（5）、请利用图象（2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交流。

二、做一做
1、（1）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图5-8所示。
（2）蓄电池的电压是多少？你以写出这一函数的表达式吗？
电压U=36V ， I=60k

2、完成下表，并回答问题，如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
R（Ω） 3 4 5 6 7 8 9 10
I（A）        
3、如图5-9，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=60k 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3 ，23 ）
（1）分别写出这两个函数的表达式；
（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流；
二、随堂练习：
P145~146  1、2、3、4、5
三、作业：P146 习题5.4  1、2

 

花边有多宽
教学目标：
1、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
2、渗透“夹逼”思想
教学重点难点：用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。
教学方法：讲授法
教学用具：幻灯机
教学程序：
一、复习：
1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a≠0)
2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x+1=0  (2)―x2+1=0  (3)x2―x=0  (4)―3 x2=0
二、新授：
1、估算地毯花边的宽。
地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18
也就是：2x2―13x+11=0
你能求出x吗？
（1）x可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0，因为x表示地毯的宽度。
（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？
x不可能大于4，也不可能大于2.5, x>4时，5―2x<0 , x>2.5时， 5―2x<0.
（3）完成下表
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
2x2―13x+11      
从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
地毯花边1米，另，因8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3，8―2x=6，x=1
2、例题讲析：
例：梯子底端滑动的距离x（m）满足(x+6)2+72=102
也就是x2+12x―15=0
（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
（2）x的整数部分是几？十分位是几？
x 0 0.5 1 1.5 2
x2+12x―15 -15 -8.75 -2 5.25 13
所以1<x<1.5
进一步计算
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x―15 -0.59 0.84 2.29 3.76
所以1.1<x<1.2
因此x 的整数部分是1,十分位是1
注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。
三、巩固练习：P47，随堂练习1
四、小结：估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。
五、作业：P47，习题2.2：1、2

 

 

 

 

 

 

 

九年级上期数学教案
直角三角形（第一课时）

教学目标：
1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。
3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学过程：
引入：我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。实际上，利用公理及其推导出的定理，我们能够证明勾股定理。

定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
 
延长CB至点D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，连接ED、AE，则△ABC≌△BED。
∴∠BDE=90°，ED=a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）。
∴四边形ACDE是直角梯形。
∴S梯形ACDE =12 (a+b)(a-b)= 12 (a+b)2
∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°- 90°=90°
AB=BE
∴S△ABC = 12 c2
∵S梯形ACDE = S△ABE +S△ABC+ S△BED ,
∴12 (a+b)2=12 c2+12 ab+12 ab  即12 a2+ab+12 b2=12 c2+12 ab+12 ab 
∴a2+b2=c2

反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？

已知：如图，在△ABC，AB2+AC2=BC2，求证：△ABC是直角三角形。
 
证明：作出Rt△A’B’C’，使∠A=90°，A’B’=AB，A’C’=AC，则
A’B’2+A’C’2=B’C’2  （勾股定理）
∵AB2+AC2=BC2  ，A’B’=AB，A’C’=AC，
∴BC2= B’C’2
∴BC=B’C’
∴△ABC≌△A’B’C’  (SSS)
∴∠A=∠A’=90°(全等三角形的对应角相等)
因此，△ABC是直角三角形。

定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为另一个命题的互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

练习题：随堂作业
作业：P20：1、2、3
 
九年级上期数学教案
直角三角形（第二课时）
教学目标：
1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。
3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学过程：
复习：
1、勾股定理即其逆定理。
2、全等三角形的证明。
新授：
引入：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。

已知：如图，△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°，且AB=A’B’，BC=B’C’，
求证：△ABC≌△A’B’C’
 
证明：Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，
∵AB=A’B’，BC=B’C’，AC2=BC2-AB2  , A’C’2=B’C’2-A’B’2
∵AC2=A’C’2   ∴AC=A’C’
∴△ABC ≌A’B’C’(SSS)

做一做：
用三角尺可以作角平线，如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线
请证明：
 
证明： ∵MC=NC   PC=PC
∴Rt△MCP≌Rt△NCP (HL)
∴∠MCP=∠NCP(全等三角形对应角相等)

议一议：如图，已知∠ACB=BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。

 

随堂练习
判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。

作业：P23 1、2

 

配方法（第一课时）
教学目标：
1、会用开平方法解形如(x+m)2=n (n≥0)的方程；
2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。
教学程序：
一、复习：
1、解下列方程：
（1）x2=9    （2）(x+2)2=16
2、什么是完全平方式？
利用公式计算：
（1）(x+6)2   （2）(x－12 )2
注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
3、解方程：（梯子滑动问题）
x2+12x－15=0
二、新授：
1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？
2、解方程的基本思路（配方法）
如：x2+12x－15=0  转化为
   (x+6)2=51
两边开平方，得
  x+6=±51
∴x1=51 ―6  x2=―51 ―6(不合实际)
因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。
3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+   =(x+6)2
（2）x2―12x+   =(x―      )2
（3）x2+8x+   =(x+      )2
从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。
4、讲解例题：
例1：解方程：x2+8x―9=0
分析：先把它变成(x+m)2=n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解。
解：移项，得：x2+8x=9
配方，得：x2+8x+42=9+42  （两边同时加上一次项系数一半的平方）
即：(x+4)2=25
开平方，得：x+4=±5
即：x+4=5 ，或x+4=―5
所以：x1=1，x2=―9

5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。

三、巩固练习：
P50，随堂练习：1

四、小结：
（1）什么叫配方法？
（2）配方法的基本思路是什么？
（3）怎样配方？
五、作业：P50习题2.3    1、2
六、教学后记
 
配方法（二）
教学目标：
1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
教学重点、难点：用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。
教学程序：
一、复习：
1、什么叫配方法？
2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。
3、解方程：
（1）x2+4x+3=0  （2）x2―4x+2=0 
二、新授：
1、例题讲析：
例3：解方程：3x2+8x―3=0 
分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：两边都除以3，得： x2+83 x―1=0
移项，得：x2+83 x = 1
配方，得：x2+83 x+(43 )2= 1+(43 )2 （方程两边都加上一次项系数一半的平方）
         (x+43 )2=(53 )2  
即：x+43 =±53   所以x1=13 ，x2=―3

2、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。

3、做一做：
   一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：  h=15 t―5t2
小球何时能达到10m高？

三、巩固：
练习：P51，随堂练习：1

四、小结：
1、用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）化二次项系数为1；
（2）移项；
（3）配方：
（4）求根。

五、作业：P33，习题2.4  1、2

六、教学后记
 
配方法（三）
教学目标：1、经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；
2、进一步掌握用配方法解题的技能
教学重点、难点：列一元二次方程解方程。
教学程序：
一、复习：
1、配方：
（1）x2―3x+          =(x―     )2 
（2）x2―5x+          =(x―     )2 
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3、用配方法解下列一元二次方程？
（1）3x2―1=2x    (2)x2―5x+4=0
二、引入课题：
我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：

三、出示思考题：
1、
 
如图所示：
（1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？
(16-2x) (12-2x)= 12 ×16×12
（2）一元二次方程的解是什么？
  x1=2    x2=12
（3）这两个解都合要求吗？为什么？
  x1=2合要求， x2=12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。

2、设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？
  x2π=12 ×12×16
（2）一元二次方程的解是什么？
X1=96π ≈5.5
X2≈－5.5
（3）合符条件的解是多少？
X1=5.5

3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。
（1）花园为菱形？         （2）花园为圆形

（3）花园为三角形？          （4）花园为梯形
 
四、练习：P56随堂练习
五、小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。
2、设计方案时，关键是列一元二次方程。
3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。

六、作业：
P56，习题2.5，1、2
七、教学后记：
为什么是0.618（第一课时）
知识目标：1、掌握黄金分割中黄金比的来历；
         2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。
教学重点难点：列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程
教学程序：
一、复习
1、解方程：
（1）x2+2x+1=0   (2)x2+x－1=0
2、什么叫黄金分割？黄金比是多少？（0.618）
3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？
（方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式）
二、新授
1、黄金比的来历
  如图，如果ACAB =CBAC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。
 
由ACAB =CBAC ，得AC2=AB•CB
设AB=1， AC=x ，则CB=1－x
∴x2=1×(1－x)        即：x2+x－1=0
解这个方程，得
x1=―1+52  , x2=―1―52 （不合题意，舍去）
所以：黄金比ACAB =―1+52 ≈0.618
注意：黄金比的准确数为5 ―12 ，近似数为0.618.
上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。

2、例题讲析：
例1：P64 题略（幻灯片）

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
解：（1）连接DF，则DF⊥BC，
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里
∴AC=2 AB=2002 海里，∠C=45°
∴CD=12 AC=1002 海里  DF=CF，2 DF=CD
∴DF=CF=22 CD=22 ×1002 =100海里
所以，小岛D和小岛F相距100海里。
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里
EF=AB+BC―（AB+BE）―CF=（300―2x）海里
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程：x2=1002+(300－2x)2
整理得，3x2－1200x+100000=0
解这个方程，得：x1=200－10063 ≈118.4
x2=200+10063 (不合题意，舍去)
所以，相遇时，补给船大约航行了118.4 海里。

三、巩固：练习，P65 随堂练习：1

四、小结：列方程解应用题的三个重要环节：
1、整体地，系统地审清问题；
2、把握问题中的等量关系；
3、正确求解方程并检验解的合理性。

五、作业：P66 习题2.8：1、2

六、教学后记：
 
为什么是0.618（第二课时）
教学目标：
1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；
2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点、难点：列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。
教学程序：
一、复习：
1、黄金分割中的黄金比是多少？ [ 准确数为5 ―12 ，近似数为0.618 ]
2、列方程解应用题的三个重要环节是什么？
3、列方程的关键是什么？（找等量关系）
4、销售利润=             －           
[销售价]     [销售成本]
二、新授
在日常生活生产中，我们常遇到一些实际问题，这些问题可用列一元二次方程的方法来解答。
1、讲解例题：
例2、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明，为销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？
分析：
 每天的销售量（台） 每台的利润（元） 总利润（元）
降价前 8 400 3200
降价后 8+4×x50
400－x (8+4x50 )×(400－x)

每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价为x 元，那么每台冰箱的定价就是（2900－x）元，每台冰箱的销售利润为(2900－x－2500)元。这样就可以列出一个方程，进而解决问题了。
解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得：
(2900－x－2500)（8+4×x50 ）=5000
2900－150=2750 元
所以，每台冰箱应定价为2750元。
关键：找等量关系列方程。
2、做一做：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明这种台灯的售价每上涨一元，某销售量就减少10个，为了实现平均每月20000的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
分析：每个台灯的销售利润×平均每天台灯的销售量=10000元
可设每个台灯涨价x元。
(40+x－30) ×(600－10x)=10000
答案为：x1=10, x2=40
10+40=50, 40+40=80
600－10×10=500    600－10×40=200
三、练习：P68随堂练习1
四、小结：五、作业：P68 习题2.9  1六、教学后记：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一元二次方程的复习
教学目标：1、熟练掌握一元二次方程的解法，能灵活选择方法解一元二次方程。
          2、能利用方程解决有关实际问题，提高学生的应用能力。
教学重点、难点：一元二次方程的几种解法；列一元二次方程解应用题。
教学程序：一、复习：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？它的二次项系烽，一次项系数，常数项各是什么？
2、一元二次方程有哪些解法？
3、一元二次方程的求根公式是什么？
4、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？关键是什么？
二、新课讲析：
1、解下列方程：
（1）   2(x+3)2=x(x+3)   (2) x2－25 x+2=0
解：（1）2(x+3)2=x(x+3)
       ∴x1=－3     x2=－6
(2) x2－25 x+2=0
这里a=1 , b=－25 ,c=2
∴b2－4ac=(－25 )2－4×1×2=12
即：x1=5+3   , x2=5-3   三、练习：
1、解下列方程：
（1）  x(x-8)=0
（2）  x2+12x+32=0
2、当x为何值时，代数式x2-13x+12=0的值等于42 ?
3、已知2+3 是方程 x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值。
4、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长。
四、课堂小结：
1、一元一次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0  (a≠0)
2、一元二次方程的解法：
（1）配方法：方程两边同加上一次项系数一半的平方。
（2）公式法：：x=－b±b2－4ac2a  （b2－4ac≥0）
（3）分解因式法：方程一边为0，另一边分解为两个一次式的积。
3、列一元一次方程解应用题：
（1）步骤：a、设未知数；b、列方程；c、解方程；d、检验；e、作答。
（2）关键：寻找等量关系。
五、作业：P69复习题：4、6、7、8   六、教学后记：
角平分线
教学目标：
1、进一步发展学生的推理证明意识和能力；
2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论
3、能够利用尺规作已知角的平分线。

教学过程：
定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
证明：如图OC是∠AOB的平分线，点P在OC上
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，
∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
其逆命题也是真命题。引导学生自己证明。
定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

做一做：用尺规作角的平分线。
已知：∠AOB
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC
作法：1、在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE
2、分别以D、E为圆心，以大于12 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C。
3、作射线OC
OC就是∠AOB的平分线。

读一读：尺规作图不能问题：
三等分一个任意角，倍立方——求作一个立方体，使该立方体的体积等于给定立方体的两倍。化圆为方——求作一个正方形，使其与给定圆的面积相等。

课堂练习：P32，1、2题
作业：P34，1、2、3题。

线段的垂直平分线（第一课时）
教学目标：
1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。
3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。
教学过程：我们曾利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离睛等，你能证明这一结论吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。
求证：PA=PB。
证明： ∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC
∴△PCA≌△PCB（SAS）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
想一想，你能写出上面这个定理的逆合题吗？
它是真命题吗？如果是请证明：
定理  到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上。
（利用等腰三角形三线合一）
做一做
用尺规作线段的垂直平分线
已知：线段AB  求作：线段AB的垂直平分线。
作法：1、分别以点A和B为圆心，
以大于12 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D，
2、作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。

请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，
并与同伴进行交流。
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，
所以我们也用这种方法作线段的中点。
随堂练习：P26
作业：P27，1、2、3、教学后记：
线段的垂直平分线（第二课时）

教学目标：
1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。
3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。
教学过程：
引入：
   剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么？当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的结论？
定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
证明：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，连接AP、BP、CP，
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）
同理：PB=PC
∴PA=PC
∴点P在AC的垂直平分线上
（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P。
议一议：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）
2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。

做一做：
已知底边上的高，求作等腰三角形。
已知：线段a、b
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
 
作法：
（1）作线段BC=a（如图）；  （2）作线段BC的垂直平分线L，交BC于点D，
（3）在L上作线段DA，使DA=h （4）连接AB，AC  作业：  6.教学后记：
《频率与概率》教案
教学目标：1。经历试验，统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
          2．通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计一事件发生的概率。
          3．能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。
教学重点：运用树状图和列表法计算事件发生的概率。
教学难点：树状图和列表法的运用方法。

教学过程：
问题引入：对于前面的摸牌游戏， 在一次试验中，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌的数字为几的可能性大？如果摸得第一张牌的牌面数字为2呢？（由此引入课题，然后要求学生做实验来验证他们的猜想）

做一做：
       实验1：对于上面的试验进行30次，分别统计第一张牌的牌面字为1时，第二张牌的牌面数字为1和2的次数。
       实验的具体做法：每两个人一个小组，一个负责抽纸张，另一个人负责记录，
       如：1  2  2  1¬¬¬¬---------(上面一行为第一次抽的)
           2  1  2  1---------（下面一行为第二次抽的）

议一议：
小明的对自己的试验记录进行了统计，结果如下：
因此小明认为，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌时，摸得牌面数字为2的可能性比较大。你同意小明的看法吗？
让学生去讨论小明的看法是否正确，然后让学生去说说自已的看法。

想一想：
对于前面的游戏，一次试验中会出现哪些可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？

小颖的看法：

 

小亮的看法：
实际上，摸第一张牌时，可能出现的的结果是：牌面数字为1或2，而且这两种结果出现的可能性相同；摸第二张牌时，情况也是如此，因此，我们可以用下面的“树状图”或表格来表示所有可能出现的结果：
开始
                       
第一张牌的面的数字：       1            2

 第二张牌的牌面数字：        1     2      1        2  
可能出现的结果（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）

第二张牌面的数字
第一
张牌面的数字 
1 
2
1 （1，1） （1，2）
2 （2，1） （2，2）

从上面的树状图或表格可以看出，一次试验可能出现的结果共有4种：（1，1）（1，2）
（2，1）（2，2），而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都是1/4。

利用树状图或表格，可以比较方便地求出某些事件发生的概率。

例1：随机掷一枚硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少？
解：随机掷一枚均匀的硬币两次，所有可能出现的结果如下：
                       正

              正

开始                   反
                  正
           反
 
                 正
总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而至少有一次正面朝上的结果有3种：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝上的概率为3/4。
第二种解法：列表法
第二个硬币的面
第一
个硬币的面 
正 
反
正 （正，正） （正，反）
反 （反，正） （反，反）

随堂练习：
1． 从一定高度随机掷一枚硬币，落地后其朝上的一面可能出现正面和反面这样两种等可能的结果。小明正在做掷硬币的试验，他已经掷了3次硬币，不巧的是这3次都是正面朝上。那么你认为小明第4次掷硬币，出现正面的可能性大，还是出现反面的可能性大，是不是一样大？说说你的理由，并与同伴进行交流。
解：第4次掷硬币时，正面朝上的可能性与反面朝上的可能性一样大。
附加练习：
1． 将一个均匀的硬币上抛两次，结果为两个正面的概率为______________.

课堂小结：
这节课学习了通过列表法或树状图来求得事件的概率。

课后作业：

书本163页：1，2

 

 

 

 

  §1．2    直角三角形
教学目标：1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法
          2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学重点、难点：进一步掌握演绎推理的方法。
教学过程：
一、 温故知新
1、你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？
（由学生回顾得出勾股定理的内容。）
定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

二、 学一学
1、 问题情境：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？
已知：在ΔABC中，AB2+AC2=BC2
求证：ΔABC是直角三角形
a) （！）          （2）

 

      （讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。）
结论：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2、议一议：
观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
三角形中相等的边所对的角相等。
三角形中相等的角所对的边相等。
（引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共性，进一步得出“互逆定理”的概念。）

3、关于互逆命题和互逆定理。
  （1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
  （2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
（引导学生理解掌握互逆命题的定义。）
  4、练习：
（1） 写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，并判断是否是真命题。
（2） 试着举出一些其它的例子。
（3） 随堂练习 1
5、读一读“勾股定理的证明”的阅读材料。
6、课堂小结：本节课你都掌握了哪些内容？
（引导学生归纳总结，互逆定理的定义及相互间的关系。）

三、 作业
1、基础作业：P20页习题1.4  1、2、3。
     2、拓展作业：《目标检测》
3、预习作业：P21-22页  做一做

板书设计：
 

 

 

 

 

课后记：

 

§1、2直角三角形（2）
 教学目标：1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
          2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题。
 重点：能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。并且用纸解决问题。
 难点：证明“HL”定理的思路的探究和分析。-
 教学过程：
一、 复习提问
1、判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
（思考交流引导学生分析证明思路，写出证明过程）
二、 探究
两边及其一个角对应相等的两个三角形全等吗？如果相等说明理由。如果不相等，应如何改变条件？用自己的语言清楚地说明，并写出证明过程。
问题1，此定理适用于什么样的三角形？（适用于直角三角形）
   2、判定直角三角形的方法有哪些，分别说出？（HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先考虑HL,在考虑另外四种方法。）
三、 做一做
如图利用刻度尺和三角板，能否
做出这个角的角平分线？并证明。
（设计做一做的目的为了让学生体会数学
结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。）
四、练习  随堂练习P23--1
   判断命题的真假，并说明理由
1、 锐角对应相等的两个直角三角形全等。
2、 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
3、 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、 一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等的两个直角三角形全等。
（对于假的命题要举出反例，真命题要说明理由。教师分析讲解。）
五、议一议
  如图：已知∠ACB=∠BDA=90。 
要使 ⊿ACB≌⊿BDA，还需要什么条件？
把他们写出来，并说明理由。
（教学中给予学生时间和空间，
鼓励学生积极思考，并在独立思考的基础上，
通过交流，获得不同的答案，并将一种方法写出证明过程。）
  六、 小结：
1、本节课学习了哪些知识？
  2、还有那一些方面的收获？
七、作业：
1、基础作业：P23页习题1.5  1、2。
     2、拓展作业：《目标检测》
3、预习作业：  预习：线段的垂直平分线。

板书设计：

 

 

 

 

§1.1、你能证明它们吗(二)
一、教学目标：
1、进一步了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。
3、 能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。
4、 了解反证法的推理方法。
5、 会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。
二、教学重点：正确叙述结论及正确写出证明过程。熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。
三、教学方法：探究式教学法 自主探究与合作探究
四、教学过程：
复习回顾：
你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?、
探索——发现——猜想——证明
1、 引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？
（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想）
2、 探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？
（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）
3、证明：
（1） 例1  证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。）
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是
△ ABC的角平分线。
求证：BD＝CE（一生口述证明过程，然后写出证明过程。）
证明：（略）
此题还有其它的证法吗？
（2） 你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？
 （引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。其它证法合作交流完成。）
4、议一议1：
在上图的等腰△ABC中，如果∠ABD＝1/3∠ABC, ∠ACE＝1/3∠ACB,那么BD＝CE吗？如果∠ABD＝1/4∠ABC, ∠ACE＝1/4∠ACB呢？由此你能得到一个什么结论？
（根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。学生分组思考、交流，在充分讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。）
（3） 如果AD＝1/2AC,AE＝1/2AB, 那么BD＝CE吗？如果AD＝1/3AC,AE＝1/3AB, 呢？由此你能得到一个什么结论？
议一议2：
把“等边对等角”反过来还成立吗？你能证明？
定理证明
已知：在ΔABC中∠B=∠C
求证：AB=AC （引导学生证明定理）
方法如下：
（课堂小结1：
(1) 归纳判定等腰三角形判定有几种方法,
(2) 证明两条线段相等的方法有哪几种。（讨论、交流）
随堂练习：
已知：在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC
求证：DB=DE
（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。）
想一想:
小明说，在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等,你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它?
证明P8
反证法的概念 P8
课堂小结2：
通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？
（学生小结：掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。等腰三角形的判定定理。了解反证法的推理方法。）
五、作业：1、基础作业：P9页习题1.2  1、2、3。
    2、拓展作业：《目标检测》
3、预习作业：P10-12页  做一做
六、板书设计：

七、课后记：

§1.1、你能证明它们吗(一)
一、教学目标：
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
二、教学重点：了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。
三、教学方法：观察法。
四、教学过程：
复习：
1、 什么是等腰三角形？
2、 你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、 试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
新课讲解：
在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理
 本套教材选用如下命题作为公理 :
 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）
 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）
 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）
 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：
推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）
证明过程：
已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF
求证：△ABC≌△DEF
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°
（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°-(∠A+∠B)
∠F=180°-(∠D+∠E)
又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F
又∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
定理：等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
已知：如图，在ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C
证明：取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABC△≌△ACD  (SSS)
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)
（让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。做∠BAC的平分线，交BC边于D；过点A做AD⊥BC。。学生指出该定理的条件和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。）
想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
（应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。）
推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
随堂练习：
做教科书第4页第1，2题。（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。）
课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？
（学生小结：通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。）
五、作业：1、基础作业：P5页习题1.1  1、2。
    2、拓展作业：《目标检测》3、预习作业：P5-6页  议一议
六、板书设计：
七、课后记：

 

§1．1  你能证明他们吗？（第三课时）
一、教学目标：1、进一步学习证明的基本步骤和书写格式。
              2、掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。
二、教学重点、难点：关于综合法在证明过程中的应用。
三、教学过程：
温故知新
1、已知：∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E
(1) 找出图中的等腰三角形
(2) BD,CE,DE之间存在着怎样的关系？
(3) 证明以上的结论。
2、复习关于反证法的相关知识
练习：
证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
（笔试，进一步巩固学习证明的基本步骤和书写格式）
学一学
1、 探索问题：①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？
②你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的思路吗？（把你的思路与同伴进行交流。）
          定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
2、 做一做：用两个含30°角的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由。
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？
（提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明）
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°
延长BC至D,使CD=BC,连接 AD
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=90°
∵AC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)
∴△ABD是等边三角形
∴BC= BD= AB
   得到的结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
 

 3、例题学习
   等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高。
   已知：在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°
   度，CD是腰AB上的高
   求：CD的长
解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD= AC= ×2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)
 4、练习：课本12页  随堂练习 1
四、课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？
（学生小结：掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）
五、作业：1、基础作业：P13页 习题1.3  1、2、3题
    2、拓展作业：《目标检测》
3、预习作业：P15-17页  读一读  “勾股定理的证明”
六、板书设计：

 

 

 

 

课题：《频率与概率》
教学目标：1、经历试验，统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
           2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计一事件发生的概率。
教学重点：  通过实验估计随机事件发生的概率的方法
教学难点：   领会当实验次数很大时，可以用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率

教学过程：
一、 问题引入：
1、实验一：准备20张大小相同的卡片，上面分别写好1至20的数字，然后将卡片放在袋子里搅匀，每次从袋中抽出一张卡片，记录结果，然后放回搅匀再抽.
（1） 将实验结果填入下表：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
出现5的倍数的频数          
出现5的倍数的频率          
（2） 根据上表中的数据绘制频率折线图
（3） 从实验数据中可以发现什么规律？
（4） 频率随着实验次数的增加，稳定于什么值？
（5） 从袋中抽出一张卡片是5的倍数的概率是多少？
2、 实验二：准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2.从每组牌中各摸出一张，称为一次实验.
（1） 一次实验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？
（2） 每人做30次实验，依次记录每次摸得的牌面数字，并根据实验结果填写下面的表格：
牌面数字和 2 3 4
频数   
频率   
（3） 根据上表，制作相应的频数分布直方图
（4） 你认为哪种情况的频率最大？
（5） 两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少？
（6） 汇总各个小组的数据，填写下表，并绘制相应的的频率折线统计图
实验次数 60 90 120 150 180
两张牌的牌面数字和等于3的频数    
 
两张牌的牌面数字和等于3的频率     

二、议一议
（1） 在上面的实验中，你发现了什么？如果继续增加实验次数呢？与其他小组交流所绘制的图表和发现的结论
（2） 当实验次数很大的时候，你估计两张牌的牌面数字和等于3的频率大约是多少？你是怎么估计的？
三、做一做
将各组的数据集中起来，求出两张牌的牌面数字和等于3的频率，它与你们的估计相近吗？
结论：我们可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
四、随堂练习
五、作业

 

 

 

 

 

 

 

 

第二章　一元二次方程复习

学习目标：
1、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
重点：认识产生一元二次方程知识的必要性
难点：列方程的探索过程
教学过程：
一、简要回顾，方程思想
简要回顾方程知识，方程在生活中的应用，以及用方程思想解决实际问题时的大致思路：
1、 把待求的量用字母表示出来；
2、 把已知量与未知量放在同等地位进行运算；
3、 寻求建立等量关系
4、 解方程（组）
体会感悟：往往解决一个未知数的问题，就需要建立一个等量关系；解决两个未知数的问题，则需要建立两个等量关系。……
二、展示素材，创设情境
在处理下面的每一个素材时，都带领学生经历探求思路、建立方程、分析特点三个过程，并从中激发学生的学习兴趣。
1、艺术设计
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？
这是俄罗斯画家别尔斯基的一幅题为《难题》的名画中写在教室黑板上的一道题，此画上面还画了拉钦斯基和他的作口算的学生们。拉钦斯基（1836～1902）一度曾在大学中任自然科学教授，后来辞去大学的职务，成为一名普通的乡村教师，在这期间，对非标准习题的解法以及口算给予很大注意。
从惊奇与趣味中激发学生思考：这样的数组还有吗？如何求解？设未知数的技巧。
联想勾股定理中： ，……
3、梯子移动
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
　　　　　　　　
及时教育学生，要学会用数学的眼光观察生活中的现象，培养自己发现问题与解决问题的能力。
此诗出自十二世纪印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 1114～1185）之手。诗文简洁，数学內容也不太难。同时，也可介绍《九章算术》第九章第六题“葭生中央”问题：
三、观察归纳，抽象命名
从上面的几个素材中可以看出，这类方程在生活中大量出现，回忆前面在学习“黄金分割”时，我们曾经得到方程 ，其中 ，这 是如何解出的，当时我们不得而知，但数学应该而且必定能为生活服务，因此我们很有必要对这类方程作一个系统的研究。
上述三个方程有什么共同特点？上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 （a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程
注：形式上是一元二次方程，但化简整理后的方程却未必是一元二次方程，例如“印度莲花问题”，其实这仅仅是知识上的简单分类，目的是便于语言叙述与更有利于知识学习，因此没有必要过多计较。
四、学生编题，深化理解
在感受前面四个素材及归纳一元二次方程形式特点的基础上，启发学生编拟一条与自己身边生活有关的应用题，使列出来的方程是一元二次方程。
五、随堂练习，及时巩固
从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。
六、交流体会，概括总结
新课结束后，让学生回忆总结本节课学了哪些知识？有什么体会？在本节课中，对自己及其他同学们的学习表现满意吗？对数学这门课有什么感想？

课   题 3.1平行四边形（一） 课型 新授课
教学目标 1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论，
3．体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。
教学重点 掌握平行四边形的性质定理。
教学难点 探索证明过程，感悟归纳类比、转化的数学思想。
教学方法 讲练结合法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、回顾交流
问题提出：1.平行四边形有哪些性质？
          2.平行四边形有哪些判定条件？
          3.如何运用公理和已有的定理证明它们？
定理：平行四边形的对边相等。
学生证明。
拓展：由上面的证明过程，你还能得到什么结论？
定理：平行四边形对角相等。

二、范例讲解
例 证明：等腰梯形在同一底上的
两个角相等。

 

拓展：这个命题的逆命题成立吗？如果成立，请你证明它。
学生证明。
定理  同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

 

三、随堂练习
课本随堂练习  1、2
学生独立练习。

四、课堂总结
    平行四边形的主要性质有：对边相等、对角相等，对边平行，对角线互相平分。

五、布置作业
课本习题3.1     1、2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课   题 3.1平行四边形（二） 课型 新授课
教学目标 1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能运用综合法证明平行四边形的判定定理。
3．感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。
教学重点 掌握证明平行四边形的方法。
教学难点 运用综合法证明问题的思路。
教学方法 讲练结合法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、回顾交流
提问：1.请观察屏幕上的平行四边形，
说一说它有哪些性质？
      2.你能写出（1）中的逆命题吗？
      3.如何证明判别一个四边形是平
行四边形的方法？与同伴交流。

二、小组合作、推理论证
1.的逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
议一议
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？如果是，请你证明它，并与同伴交流。
学生先独立证明，再与同桌交流，上讲台演示。
定理  一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
做一做
证明：如图中的四边形MNOP是平行四边形。

学生先独立证明，再与同桌交流，上讲台演示。

 

三、随堂练习
课本随堂练习  1、2、3
学生独立练习。

四、课堂总结
    涉及到平行四边形判定的问题，应注意灵活选择不同的判定方法。从边看：有三种判定方法：两组对边分别相等；两组对边分别平行；一组对边平行且相等。从角看：两组对角分别相等。从对角线看：对角线互相平分。

五、布置作业
课本习题3.2     1、2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课   题 3.1平行四边形（三） 课型 新授课
教学目标 1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能运用综合法证明有关定理的结论。
3．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。
教学重点 掌握和运用三角形中位线定理。
教学难点 三角形中位线定理的证明。
教学方法 讲练结合法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、创设情境
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形。你是如何切割的？
活动：将学生分成四人小组，将准备好的三角形模型进行拼摆。并互相交流。
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
想一想
三角形的中位线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？
学生根据提示证明猜想。
定理  三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半。
拓展：利用这一定理，你能证明出分割出来的四个小三角形全等吗？
学生口述理由。

二、合作交流、拓展延伸
做一做
如图，任意作一个四边形，并将其四边的
中点依次连接起来，得到一个新的四边形，
这个新的四边形的形状有什么特征？请证
明你的结论，并与同伴交流。
学生书写证明过程。

三、随堂练习
课本随堂练习  1
学生独立练习。

四、课堂总结
    学生自己小结

五、布置作业
课本习题3.3     1、2、3、4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课   题 3.2  特殊平行四边形（一） 课型 新授课
教学目标 1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理。
3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
教学重点 掌握矩形的性质和判定以及证明方法。
教学难点 运用综合法证明矩形性质和判定。
教学方法 讲练结合法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、回顾交流
1.你了解哪些特殊的平行四边形？
2.这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系？
3.能用一张图来表示它们之间的关系吗？
学生回忆，回答。
平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系。

二、小组活动
提问：矩形有哪些性质？
学生回忆，回答。
定理  矩形的四个角都是直角。
定理  矩形的对角线相等。
学生先独立证明上述两个定理，再进行交流。
议一议
如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，
那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？
它与AC有什么大小关系？为什么？
学生分四人小组进行合作交流，相互补充。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、范例学习
例1，如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
拓展：例1还可以怎么证？与同伴交流。

四、随堂练习
    课本随堂练习   1、2

五、课堂总结
矩形具有平行四边形的所有性质，还具有自己独有的性质：四个角都是直角，对角线相等。

六、布置作业
    课本习题3.4  1、2、3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课   题 3.2特殊平行四边形（二） 课型 新授课
教学目标 1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理。
3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
教学重点 掌握菱形的性质和判定以及证明方法。
教学难点 运用综合法证明菱形性质和判定。
教学方法 讲练结合法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、回顾交流
提问：菱形有哪些性质？你能证明吗？
学生回顾交流，分析证明。
定理  菱形的四条边都相等。
定理  菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

二、范例学习
例2，如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求
1.对角线AC的长度。
2.菱形ABCD的面积。

 

 

想一想
怎样判别一个平行四边形是菱形？请证明你的结论。
学生小组合作探索，上讲台演示自己的思维。
定理  对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
学生先独立证明，再合作交流，上台演示。

三、随堂练习
课本随堂练习   1、2

四、课堂总结
    菱形具有平行四边形的所有性质，菱形的四边相等；对角线互相垂直；并且每条对角线平分一组对角。判定一个四边形是菱形的方法有4种。

五、布置作业
课本习题3.5  1、2、3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课   题 3.2特殊平行四边形（三） 课型 新授课
教学目标 1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能运用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。
3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
教学重点 掌握正方形的性质和判定以及证明方法。
教学难点 运用综合法证明。
教学方法 讲练结合法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、回顾交流
提问：1.正方形有哪些性质？
2.判定一个四边形是正方形有哪些方法？
学生回忆与交流，知识迁移。

二、小组合作
猜一猜
依次连接任意四边形各边的中点可以得到
一个平行四边形，那么，依次连接正方形各边
的中点能够得到一个怎样的图形呢？你能证明
所得出的结论吗？
学生分四人小组合作探究。
拓展：这个问题还有其他不同的证法吗？

三、合作交流
议一议
1.依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形？先猜一猜，再证明。
2.依次连接平行四边形四边中点呢？
3.依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？
学生分四人小组先各自进行猜测，再进行交流，最后独立证明，上台演示。
做一做
在图中，ABCDXA表示一条环形高速
公路，X表示一座水库，B，C表示两
个大市镇，已知ABCD是一个正方形，
XAD是一个等边三角形，假设政府要
铺设两条输水管XB和XC，从水库向
B、C两个市镇供水，那么这两条水管
的夹角（即∠BXC）是多少度？
学生进行推理，发表自己的观点。

四、随堂练习
    课本随堂练习  1

五、课堂总结
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
四边形→平行四边形→矩形→正方形
四边形→平行四边形→菱形→正方形

 

 

 

 

 

 

 

 

课   题 4.1 视图（一） 课型 新授课
教学目标 1．经历由实物抽象出几何体的过程，进一步发展空间观念。
2．会画圆柱、圆锥、球的三视图，体会这几种几何体与其视图之间的相互转化。
教学重点 掌握部分几何体的三视图的画法。
教学难点 几何体与视图之间的相互转化。
教学方法 观察实践法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、实物观察、空间想像
设置：学生利用准备好的大小相同的正方形方块，搭建如课本图4-1的立体图形，让同学们画出三视图。而后，再要求学生利用手中12块正方形的方块实物，搭建2个立体图形，并画出它们的三视图。
学生分小组合作交流、观察、作图。
议一议
1.图4-2中物体的形状分别可以看成什么样的几何体？从正面、侧面、上面看这些几何体，它们的形状各是什么样的？
学生分四人小组，合作学习。
2.在图4-3中找出图4-2中各物体的主视图。
学生观察、动手、动脑，同桌交流。
3.图4-2中各物体的左视图是什么？俯视图呢？
学生观察、画图、交流，上台演示。

 

二、小组合作，继续探索
想一想
如图4-4，是一个蒙古包的照片，小明认为这个蒙古包可以看成用4-5所示的几何体，并画出了这个几何体的三种视图，你同意小明的做法吗？
学生观察、理解、同桌交流。

三、随堂练习
课本随堂练习   1、2
学生观察、讨论、解决问题。

 

四、课堂总结
    本节课主要通过对由实物抽象出几何体的过程，发展大家的空间想像能力。在画实物的视图时，必须首先对实物进行合理的抽象，即把实物抽象成相应的几何体，在此基础上再画其视图。

 

五、布置作业
课本习题4.1   1、2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课   题 4.1 视图（二） 课型 新授课
教学目标 1．经历由实物抽象出几何体的过程，进一步发展空间观念。
2．会画直棱柱（仅限于直三棱柱和直四棱柱）的三种视图，体会这几种几何体与其视图之间的相互转化。
教学重点 掌握直棱柱的三视图的画法。
教学难点 培养空间想像观念。
教学方法 观察实践法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、观察实物、小组活动
观察：请同学们拿出事先准备好的直三棱柱、直四棱柱，根据你所摆放的位置经过想像，再抽象出这两个直棱柱的主视图，左视图和俯视图。
绘制：请你将抽象出来的三种视图画出来，并与同伴交流。
比较：小亮画出了其中一个几何体的主视图、左视图和俯视图，你认为他画的对不对？谈谈你的看法（如图4-8）。
拓展：当你手中的两个直棱柱摆放的角度变化时，它们的三种视图是否会随之改变？试一试。
学生观察自己所摆设的两个直棱柱实物。想像――抽象――绘制――比较――拓展
注意：在画视图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓通常画成虚线。

 

二、小组合作，人际互动
做一做
图4-10是底面为等腰直角三角形和等腰梯形的三棱柱、四棱柱的俯视图，尝试画出它们的主视图和左视图，并与同伴进行交流。
学生分四人小组合作交流，上台演示自己的“作品”。

 

三、随堂练习
课本随堂练习  
学生观察、讨论、解决问题。

 

四、课堂总结
    本节课主要是通过观察――绘制――比较――拓展，来完成学习内容的。在学习中注意想像和抽象，即把实物抽象成相应的几何体，在此基础上再画其视图。

 

五、布置作业
课本习题4.2   1、2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课   题 4.2 太阳光与影子 课型 新授课
教学目标 1．经历实践、探索的过程，了解平行投影的含义，能够确定物体在太阳光下的影子。
2．会用观察、想像，了解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是不同的。
3.了解平行投影与物体三种视图之间的关系。
教学重点 探讨物体在太阳光下所形成的影子的大小、形状、方向等。
教学难点 平行投影与物体三种视图之间的关系的理解。
教学方法 观察实践法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、创设情境、实例导入
引言：影子是我们司空见惯的，但你知道其中的奥妙吗？
概念：物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。

 

二、操作感知、建立表象
实践：取若干长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子。
提问：如果改变小棒或纸片的位置和方向，它们的影子发生了什么变化？
概念：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
议一议
提出问题：1.在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由。
2.在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系？与同伴交流。
学生观察、交流。
做一做
某校墙边有甲、乙两根木杆。
（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图4-12所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？（用线段表示影子）
 在图4-12中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
 （3）在你所画的图形中有相似三角形吗？为什么？
学生画图、实验、观察、探索。
议一议
小亮认为，物体的主视图实际上就是说物体在某一平行光线下的投影（如图4-13），左视图和俯视图也是如此，你同意这种看法吗？先想一想，再与同伴交流。
学生观察、理解、交流。

 

三、随堂练习
课本随堂练习  
学生观察、画图、合作交流。。

 

四、课堂总结
    本节课通过各种实践活动，促进大家对内容的理解，本课内容，要体会物体在太阳光下形成的不同影子，在操作中观察不同时刻影子的方向和大小变化特征。

 

五、布置作业
课本习题4.3   1、2、3      试一试

 

 

 

课   题 4.3  灯光与影子（一） 课型 新授课
教学目标 1．经历实践、探索的过程，了解中心投影的含义，体会灯光下物体的影子在生活中的应用。
2．通过观察、想像，能根据灯光来辨别物体的影子，初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化。
3．体会灯光投影在生活中的实际价值。
教学重点 了解中心投影的含义。
教学难点 在中心投影条件下物体与其投影之间相互转化的理解。
教学方法 观察实践法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、创设情境、操作感知
皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲，表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐。
学生在灯光下做不同的手势，观察映射到屏幕上的表象。
做一做
取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用手电筒去照射这些小棒和纸片。
提问：（1）固定手电筒，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？
（2）固定小棒和纸片，改变手电筒的摆放位置和方向，它们的影子发生了什么变化？
学生小组合作，实验感悟。
概念：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

 

二、范例学习、理解领会
例  确定图4-14中路灯灯泡所在的位置。
学生观察屏幕，动手实验，找出灯泡的位置。

 

三、联系生活、丰富联想
议一议
1.图4-16是两棵小树在同一时刻的影子，请在图中画出形成树影的光线，它们是太阳的光线还是灯光的光线？与同伴交流。
学生画图、观察、比较和识别。
继续探索：
2.图4-17的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示）并与同伴交流这样做的理由。
学生观察、交流、画图。

 

四、随堂练习
    课本随堂练习     1、2

 

五、课堂总结
本节课让同学们通过实践、观察、探索。了解中心投影的含义，学会辨别太阳光线还是灯光光线。学会进行中心投影条件下的物体与其投影之间的相互转化。感悟灯光与影子在现实生活中的应用价值。

 

六、布置作业
    课本习题4.4

 

 

 

 

课   题 4.3  灯光与影子（二） 课型 新授课
教学目标 1．经历实践、探索的过程，了解视点、视线、盲区的概念。
2．体会视点、视线、盲区在现实生活中的应用。
3．了解视点、视线、盲区与中心投影的关系，感受其生活价值。
教学重点 了解视点、视线、盲区的概念。
教学难点 从现实生活中提炼出视点、视线、盲区的问题，应用概念予以解决。
教学方法 观察实践法
教学后记 

教  学  内  容  及  过  程 备注
一、创设情境、激发兴趣
提出问题：小明和小丽到剧场看演出。1.坐在二层的小明能看到小丽吗？为什么？2.小丽坐在什么位置时，小明才能看到她？
学生回答教师提出的问题。
概念：如图4-18所示，小明眼睛的位置称为视点，由视点发出的线称为视线，小明看不到的地方称为盲区。

 

二、练习生活、动手操作
做一做
情境：有一辆客车在平坦的大路上行驶，前方有两座建筑物。
问题（1）：客车行驶到某一位置时，司机能够看到建筑物的一部分，如果客车继续向前行驶，那么他所能看到的部分如何变化？
问题（2）客车行驶到图4-19的位置②时，司机还能看到建筑物B吗？为什么？
议一议
当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了。这是为什么？先想一想，再与同伴交流。
学生分四人小组进行探讨。学生交换各自的生活感受，体会“沉”的内因。

 

三、随堂练习
课本随堂练习     1
学生分小组讨论、交流，畅想生活感知。

 

四、课堂总结
本节课让大家经历观察――思考――交流的过程，将视点、视线、盲区和中心投影相联系。通过识别，感悟视点、视线、盲区在生活中的应用。

 

五、布置作业
    课本习题4.5    1、2    试一试

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

《反比例函数的图象与性质》教学活动课
一、教学设计思路
1． 本节课讲述内容为北师大版教材九年级下册第五章《反比例函数》的第二节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和性质的过程。
2． 对教材的分析
（1）       教学目标：进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整和；逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。
（2）       重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。
（3）       难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。
二、教学过程
（一）作图象，试比较
1、提问：
（1）y=4/x   是什么函数？你会作反比例函数的图象吗？
（2）作图的步骤是怎样的（3）填写电脑上的表格，开始在坐标纸上描点连线。
 2、按照上述方法作 y=-4/x 的图象3、对照你所作的两个函数图象，找一下它们的相同点和不同点。
（二）细观察，找规律
1、让学生观察函数 y=k/x 的图象，按下动画按钮，在运动中观察k值的变化与函数图象变化之间的关系，并与同学充分讨论有何规律。
 
2、演示反比例函数中心对称的性质以及轴对称性质，显示反比例函数的两条对称轴。
3、让学生观察函数 y=k/x 的图象，观察过反比例函数上任意一点作x轴和y轴的垂线，观察其围成矩形的面积变化情况。
（1）       拖动k，使k变化，观察k不断变化过程中，矩形面积的变化情况，讨论得出结论。
（2）       拖动函数上的点，观察矩形面积的变化情况，讨论得出结论。

（三）用规律，练一练
1、给出两个反比例函数的图象，判断哪一个是 y=2/x 和 y=-2/x 的图象。
2、判断一位同学画的反比例函数的图象是否正确。
3、下列函数中，其图象位于第一、三象限
的有哪几个？在其图象所在象限内，y的值随x的增大而增
大的有哪几个？
（四）想一想，作小结
（五）作业：课本137页第1题、141页第2题
反比例函数的应用教学设计
教学目标：
1、 经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程
2、 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力
教学重点和难点：
教学过程：
一、复习：反比例函数的图象与性质
反比例函数：      
当k>0时，两支曲线分别在         ，在每一象限内，y的值随x的增大而      
当k<0时，两支曲线分别在     ，在每一象限内，y的值随x的增大而    
二、情境导入
某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，
为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木
板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。你能解释他
们这样做的道理吗？（见书P143）
(1)用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2   时，压强是多少
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象。
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流
三、做一做
1.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R( )之间
  的函数关系如图所示。(书上P114)
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制
   电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
四、想一想
1.某蓄水池的排水管每时排水8m3 ，6h可将满池水全部排空。
(1)蓄水池的容积是多少？
(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(   )，那么将满池水排空
   所需的时间t(h)将如何变化？
(3)写出t与Q之间的关系；
(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？
(5)已知排水管的最大排水量为每时12   ，那么最少多长时间可将满
      池水全部排空？
五、练一练
1、若一次函数y＝kx+b与反比例函数y=m/x 交于点A(-1，2)、B(2，-1)两点。
(1)试求出两个函数的表达式；
(2)求△AOB的面积。
2、如图，已知点 （m，5）是反比例函数 y=k/x 的图象上的一点，PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，且矩形OAPB的面积是20。
（1）你能求出m的值吗？
（2）若点 （a,b）也在这支双曲线图象上，且a+b=12，请你求出a，b的值。
六、小结
今天这节课学习了什么？你掌握了什么？
今天学习了反比例函数的应用，讲了四个类型：
1.压力与压强、受力面积的关系
2.电压、电流与电阻的关系
3.已知点的坐标求相关的函数表达式
4.求由函数图象与坐标轴围成的面积

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课题 反比例函数及其图象 第    周
  第    课时
教学
目标 1、使学生理解反比例函数的概念；
2、使学生能根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；
3、能结合图象理解反比例函数的性质。
4、培养学生用“数形结合”的思想与方法解决数学问题。
重点 反比例函数的图象的画法及性质
难点 1、 选取适当的点画反比例函数的图象；
2、 结合反比例函数图象说出它们的性质。

 

 

 

 

教

 

学

 

过

 

 

程

 

 

 

 

 

 

 

 

教

 

 

 

学

 

 

 

 

过

 

 

 

 

程

 

 

 

 

教

 

 

 

学

 

 

过

 

 

 

程 一、复习引入
1、什么叫一次函数？什么叫正比例函数？写出它们的一般式。它们有何关系？
2、正比例函数的图象与性质：
 正比例函数 反比例函数
解析式 y=kx（k≠0） y=k/x或 （k≠0）
图象 经过（0，0）与（1，k）两点的直线 双曲线
 当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限； 当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限；
性质 当k>0时，Y随着X的增大而增大；当k<0时，Y随着X的增大而减小； 当k>0时，Y随着X的增大而减小；当k<0时，Y随着X的增大而增大；

 

 

 

 

 

3、 学学过反比例关系下面我们举几个例子
例1 矩形的面积是12cm2，写出矩形的一边y(cm)和另一边x(cm)之间的用函数关系式．
　　例2 两个变量x和y的乘积等于-6，写出y与x之间的函数关系式．
4、提出问题：
上面两个问题从关系式看，它们是不是正比例函数？为什么？
答：不是，因为不符合正比例函数y＝kx的形式，它们的关系是反比例关系．
二、讲解新课
1、 反比例函数的定义
一般地，  （k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数，也可以写成 
例3、 知函数y=（m2+m-2）xm -2m-9是反比例函数，求m的值。
例4、 已知变量y与x成反比例，当x=3时，y=―6；那么当y=3时，x的值是    ；
例5、 已知点A(―2，a)在函数 的图像上，则a=    ；
2、反比例函数的图象
例6、画出反比例函数 与 的图象（师生分别画图）
步骤：（1）列表（强调x不能取0，为保证其图的对称性，x要取适当的值）
 
 
（2）描点（准确性要高）
（3）连线（用一条平滑曲线根据自变量由小到大的顺序把这些点连结起来）

 

 

归纳：
（1）反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。
（2）讨论反比例函数图象的画法：
① 反比例函数的图象不是直线，“两点法”是不能画的，它的图象是双曲线，图象关于原点成中心对称．列表时自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的数(如±1，±2等等)相应地就得到绝对值相等而符号相反的对应的函数值．这样即可以简化计算的手续，又便于在坐标平面内找到点．
② 反比例函数的图象的两支都无限地接近但永远不能达到x轴和y轴，所以图象与x轴y轴没有交点．如果发现画的图象“无限接近”坐标轴后，又偏离坐标轴，这也是错误的，教师可在课堂上演示，并说明错误的原因．
③ 选取的点越多画的图越准确；
④ 画图注意其美观性（对称性、延伸特征）
3、反比例函数的性质
再让学生观察黑板上的图，提问：
　　（1）当  时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？（2）当  时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？这两个问题由学生讨论总结之后回答。
教师板书：
　(1)当k＞0时，函数图象的两个分支分别分布在第一、三象限内，在每一个象限中，y随x的增大而减小；当k＜0时，两个分支分别分布在第二、四象限内，在每一个象限中，y随x的增大而增大．
　(2)两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴．4、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？
例6、已知函数 在每一象限内，y随x的减小而减小，那么k的取值范围是   
例7、在同一坐标系中，函数 和y=kx+3的图像大致是（           ）

 

 

A               B                 C                    D

 

4、 课堂练习：第129页1~3
5、课堂小结
作业

 

 

九年级（上）数学教案

 

 

 

 

安阳市第11中学
刘晓非
         2005.9