基于儿童智慧发展的数学教学

　　本刊记者(以下简称“记”)：数学教学研究的突破口有很多，您是怎样想到将儿童的智慧发展与数学教学联系在一起的?

　　任卫兵(以下简称“任”)：我之所以在数学教学中关注儿童智慧发展，主要基于以下三个方面的背景：

　　一是智慧型社会的时代召唤。当今世界科学技术突飞猛进，国力竞争日趋激烈。而综合国力的竞争，归根结底是科技水平的竞争，是创新人才的竞争。因此，教育要以创新能力的培养为目标，以能否有效地促进人类智慧的发展为衡量成败的标准。教育培养出智慧之人，才能促进社会长足发展。

　　二是课程改革的内在吁求。课程改革的核心目标是课程功能的转变，即改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能等的过程同时成为学生学会学习和形成正确价值观的过程，成为促进学生智慧发展的过程。

　　三是现实教学的人本化反思。当前的小学数学教学仍然不同程度地存在着重结果轻过程、重间接经验传授轻直接体验获得的倾向。如果学生只是追求知识而疏忽个性的发展，缺乏探索的意识，缺失对传统或权威的怀疑与批判，就不可能培养起真正的智慧来。理想的教学应是一种智慧的挥发而非知识的堆积，是学生内部潜能的充分开掘而非压抑和消解。使学生更加富有智慧，是教学应有的追求。

　　鉴于以上背景，我提出了基于儿童智慧发展的数学教学实践研究课题。实际上，实践中的一段经历也有效地触发了我对学生智慧发展问题的关注。我工作的第一年就承担了“珠算式心算”的实验任务，6年的实验成绩显著，班上有十多人毕业考试获得满分。但继续跟踪发现，他们中的一部分人并没有能够在初中、高中阶段继续“领跑”，学习后劲明显不足。造成这种状况的原因当然是多方面的，但这一现实却促使我开始冷静地思考：作为一名小学数学教师，除了培养学生的计算能力、解决问题(有的并非真正的问题)的能力外，我们还能给予学生什么?我们该如何为他们的长效发展、终身学习奠定基础?一个偶然的机会，我读到英国哲学家怀特海在《教育的目的》一书中的一段论述：“尽管知识是智育的一个主要目标，但知识的价值中还有另一个更模糊但却更伟大、更居支配地位的成分，古人把它称为‘智慧’……”原来，“作为教育，不仅仅要授予知识，培养能力，更要启迪智慧，教给人生的经验”。

　　记：“智慧”虽是一个很古老的词语，但很难给它下一个比较统一的定义。您是如何从小学教育教学层面来理解“智慧”的?基于儿童智慧发展的数学教学有哪些具体表征呢?

　　任：结合前人的论述，我以为“智慧”是在一定情境中诞生的，以能力为核心，以创造为方向，以机智为主要表现形式的一种综合品质，是一种善良的天性、心灵的努力和经验结合的产物。

　　基于儿童智慧发展的数学教学是以促进儿童“数学智慧”发展为终极目标的。在教师的启发引导下，儿童通过对一些数学现象和问题的自主探究、积极思考，获取知识，生成智慧。

　　基于儿童智慧发展的数学教学具体表征为：不在于教师讲授多少知识点，而在于积极开拓学生的视野，鼓励学生展开想象的翅膀，提出更多的为什么;不在于教学方法如何精细，而在于学生是否在学习过程中有主动参与和自由表达的机会;不在于学生从书本、教师那里接受了多少，而在于他们批判地吸收、内化了多少，是否真正具有发展的原动力，对自己的数学学习有足够的自信，在学习中获得了哪些思想启迪、精神熏陶……这样的数学学习，还原了学生作为一个学习和发展中的人探索和发现数学的过程，培养了基于成功智力的数学学力，学生的智慧将随之生长。

　　记：基于儿童智慧发展的数学教学，需要把握的核心思想有哪些呢?

　　任：经过多年的实践，我认为智慧数学教学的核心思想有以下几个方面：一是孕伏数学思想，体会数学的灵魂;二是发展学生个性，实现数学学习的“自组织”;三是澎湃数学精神，丰富数学体验。

　　让学生学会思维、善于思考，是数学教学的灵魂所在，也是数学教育的最高智慧。倘若忽视数学思想的讲解、渗透和应用，数学教学的内容就会显得孤立、单薄、离散。如果能结合教学内容有机地将数学思想作为一条主线，从而将各个知识点串联在一起，引导学生从更高层次去分析问题、解决问题，那么距离达到浓缩知识、领悟方法、灵活应用、内化思想这一目的就近了。

　　我曾教学《由“曹冲称象”所想到的》一课。整堂课旨在向学生渗透一种“转化”的数学思想方法，其中测量土豆体积、计算三角积木体积等活动的设计，由于给学生留足了自主探索的时间和空间，学生的个性得到充分的彰显，最后结合具体事例，促使学生逐步内化“转化”思想，并从中感受到一种“多拥有一种思想，就多一份力量，多一份希望”的人生体验。

　　要培养学生的数学思想，教师首先要清楚在小学数学教学中经常会用到的数学思想有哪些，其次要在教学中经常进行渗透，可以结合学生熟悉的、感兴趣的故事进行渗透，也可以结合具体问题进行渗透。

　　学生学习数学的过程是基于原有经验基础上的一个主动建构的过程。只有从学生已有的知识经验出发，尽力展现他们丰实多姿的精神世界，充分尊重他们个性化的认知方式，才能使学生实现数学学习的“自组织”，建构起“自己”的数学。小学数学课堂教学是一个生态系统，没有组够的多样性，就没有可持续发展的蓬勃生机。多样化才可能生成智慧，一旦抹杀了个性，就毫无智慧可言。如在六年级总复习时，我曾让学生把相关的数学概念写下来，并用他们自己喜欢的形式表示概念之间的关系。结果学生的表示方式令我惊叹——

　　每个人都有自己的个性，数学教学也要积极促进学生个性的健全和发展。发展学生的个性，首先需要教师拥有一种海纳百川的开放心态。以开放的心态、民主的精神接纳来自学生的不同观点，接纳学生的各种奇思妙想，更接纳其中必然出现的错误想法。接纳错误，要善于用慧心和慧眼辨识、发掘隐藏在错误之中的“真金”。其次，应注重课程的儿童化开发，尽可能为学生拓展创新思维和个性化学习的空间，促进学生智慧潜能的开掘。再次，教师应努力为学生创造选择的范围，发展选择的能力，让学生获得“自由选择感”。

　　人存在的价值，不惟知识的饱学，不惟才智的增长，更在于人格的建构，精神的挺立。要关注学生精神成长的教育：不只是关注学生的今天，而且关注他们的明天;不只是关注现实的“成功”，而且关注未来的发展;不只是关注他们知识与技能堆积的高度，而且关注他们潜藏在灵魂深处的情感态度、意志品质涵养的厚度。数学教学要在具体内容的教学过程中，有意识地渗透数学精神的熏陶，使学生获得独特的学科体验。在教学《用字母表示数》一课时，我们一改传统的“告诉—强化—训练”的教法，通过讲述一位数学痴迷者探索追求的感人故事，让学生不断经历着矛盾冲突时的“心潮激荡”和问题解决时的“峰回路转”。学生在倾听、思考、讨论中，脑海中逐渐勾勒出一位执著的数学痴迷者形象，为了研究、解决一个数学问题，朝思暮想、反复试验、愈挫愈坚、永不放弃。学生不只是掌握了一条数学规则，更催生了一种败而不馁、锲而不舍的可贵人文精神。

　　义务教育数学课程标准实验修订稿明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”知识的学习、技能的形成、思想的孕伏、经验的激活是发展学生智慧的载体。过程和方法的教学是课堂发展学生智慧的具体途径，选择能促进学生智慧发展的方式，让学生能充满个性、富有创意地体验数学学习过程，学生的智慧才可能获得长足、有效的发展。情感、态度、价值观是发展学生智慧的动力系统。在教学中适时地孕伏思想、发展个性、澎湃精神，也就帮助学生开启了一扇智慧之门，引领他们踏上了一条智慧之旅。

　　记：上述核心思想落实到教学层面，有哪些相对明确的操作策略?

　　任：基于儿童智慧发展的数学教学，需要突出教师对学生学习策略、思维方法的有效指导，同时注意引导学生自觉观照思维活动并实行有效的调整和监控。具体来说，基于儿童智慧发展的数学教学操作策略有以下几条：

　　一是以真切的情境导入，激发“内源动力”。在教学《比的认识》一课时，我创设了这样一个问题情境：出示学校每天早晨升起的五星红旗、北京奥运会火炬传递过程中展示的一面大五星红旗以及国家运动队队服上的小五星红旗，这些大大小小的五星红旗，究竟哪一面才是标准的呢?这三种大小不同的五星红旗有什么相同的特点呢?……让学生产生想要解决或解释某个实际问题的愿望，是激发学生主动学习的一种最实际、最直接的内驱力。学生产生了学习的内在需求，才可能获得认知层面与情感层面的“双赢”。

　　二是呵护独特的童心，尊重“儿童思维”。教学《由“曹冲称象”所想到的》一课时，我让每个学生先独立设计一份测量土豆体积的活动方案，然后再相互交流。有的学生从故事中悟得方法，想到将土豆浸没到水杯中，看水面上升了多少，上升部分水的体积也就相当于土豆的体积;有的说用蒸煮的方法，将土豆蒸熟后捏成一个近似的长方体，再算出它的体积;还有的想用陶土做成土豆的模子，切成两半后再装上水，水的体积即土豆的体积……每个学生都是一个独特、完整的生命个体。他们与众不同的个性特征、生活阅历、文化背景，尤其是在日常生活、游戏等活动中积淀下的“前数学经验”，使得解决问题方法丰富而独特。在教学中，我们应尊重学生的认识和思考，尊重他们的个性和情感，真诚地欣赏他们尚显稚嫩的创造萌芽，巧妙引导，形成促进智慧生长的力量。

　　三是提升积极情商，催生“数学智商”。“眼睛是心灵的窗户。眉宇间舒展，智慧之门才可能打开。”在我的数学课上，我总会向学生提出这样的要求：“凡做对的同学扬扬眉头，暂时没有做对的轻抚眉头，笑一笑。”在每个单元的学习结束后，我总会定期组织学生评选思路最妙奖、发言最佳奖、进步最快奖、学法最巧奖，等等。不知不觉中，学生对数学学习的动机和兴趣形成了。愉悦、幸福、自信，是智慧的表情。换句话说，充满智慧的人总是愉悦的，总是充溢着幸福感的，总是饱含着自信心的。要让学生智慧起来，首先要让他们愉快起来、自由起来，因为只有愉快的心态和自由的氛围才可能有智慧火花的闪现。当然，追求智慧同样需要付出，付出辛苦的努力，付出思考的清苦，付出超越的艰辛……智慧的愉悦、幸福的表情总显现在刻苦努力后，总绽放在“豁然开朗”时。

　　四是实施宏观考察，拓展思维空间。杨振宁教授在评价我国教育时说：“中国的学生应把视野放远一些，‘天线’放高一些，坚持把大的方向与能力、兴趣结合起来，必有大作为。”丘成桐也说：“用宏观的观点考察数学，就会有深刻的思想出来。”两位大师都谈到了拓展思维空间的重要性。在教学《奇妙的图形密铺》一课时，我没有停留在“让学生借助直观的手段发现哪些图形能够密铺”这一浅表层次上，而是让学生通过猜想、验证“任意四边形能否密铺”，以及解释、说明“正五边形为什么不能密铺”等思维活动，最终帮助学生发现“如果一个平面图形的内角和是180°或360°，或者一个正多边形一个内角的度数是360的因数，那么这个图形就能密铺”。要拓展思维空间，需要在思维的向度、广度、长度、深度上做文章。在向度上，我们要变太多关注学生的学业成绩为较多关注学生可持续发展的潜力与后劲;在长度上，我们要变太多注重损伤学生胃口的应试训练为较多培养学生对未来、对生活的憧憬与向往;在广度上，我们要变太多关注本学科的学习情况为较多培养学生的综合素养;在深度上，我们要变太多囿于教学内容与教学方式的玄妙、复杂为较多呈现简洁明快、自然随性的教材与教学……

　　记：要发展学生的智慧，教师自己就要成为一名智慧型的教师。同样的资源，智慧型教师总能敏锐地发现、及时地开发、巧妙地利用，使之成为智慧教育的过程。在这方面，你又有哪些独特的做法呢?

　　任：课程资源是形成课程的要素来源与形成课程的基本条件。要促进学生的智慧发展，需要在课程资源的开发与利用方面有所创新。除了对数学教材资源的开发与利用外，我还特别注重对数学小工具资源、数学课外读物资源、课堂动态生成资源的开发与利用。

　　对于传统的数学“小工具资源”，我们的开发策略是“深度挖掘，有机统整”。我曾以三角板和月历卡为素材，设计了《三角板引发的数学智慧》《月历卡中的数学问题》等课例。注重对传统数学小工具资源的开发和利用，一方面能拉近学生与数学之间的距离，加强数学与生活的联系;另一方面又极大地激发了学生学习数学、研究数学的兴趣，增强了学生用数学的眼光观察生活、发现问题的意识。

　　我们注意积极开发与利用数学课外读物资源。上述《奇妙的图形密铺》一课中的部分教学设计，就是从课外书中获得的灵感。书中介绍说，由于任意四边形的内角和等于360°，因此可以把一些零散的建筑材料加工成完全一样的任意四边形，同样能拼出完整的美丽图案。在数学课外读物普遍缺乏的今天，我们更应充分利用其中的宝贵资源，丰富我们的数学教学内容，开阔学生的视野，更好地发挥数学文化的价值。

　　我们还注意课堂动态生成资源的开发与利用。华东师范大学叶澜教授说过：“教师，要把学生的思维看成是丰富的教学资源，要收拢学生头脑中发出的‘波’，集‘波’成‘澜’，再推给学生，这便是生动的教学资源。”当我们的教师有了一双慧眼、一颗慧心，我们的教学就能多些生动，多些和谐;我们的学生就会多些灵动，多些收获。

　　记：法国思想家蒙田说：“尽管我们靠别人的知识成了一个博学之才，但要成为一个智者则要靠自己的智慧。”要实现基于学生智慧发展的教学，还有哪些有益的经验?

　　任：为了实现基于学生智慧发展的教学，我们还采取了以下一些做法：

　　第一，长线教学，形成一条“智慧链”。将相关内容结合、组合或融合起来，呈现出崭新的面貌或全新的思想，这是一种把多项貌似不相关的事物加以联结，从而使之变成彼此不可分割的整体的一种创造性思维方式。如，在小学数学中“转化”思想是一种非常重要的数学思想方法，它能将许多貌似不相关的数学知识统整为一个整体。用这样一种“智慧链条”，我们让学生将相关的数学知识联结起来，如数的转化：小数、分数、百分数之间互化、各种运算之间的转化等;形的转化：有关图形面积或体积计算公式的推导、等积变形等;量的转化：名数的改写、数量关系之间的转换……由智慧链联结成的新的体系，使学生所获得的知识具有更高层次的结构功能，改造原有的认知结构，有利于形成学习能力。

　　第二，深度探究，开掘一口“智慧井”。教学《比的认识》一课中，我将教材原有的一道根据五星红旗五种通用规格的长和宽分别写出长和宽的比，并求比值的练习，改成了只知道其中一种规格的长或宽，让学生想办法把表格填完整的问题。这一颇具挑战性的问题，激起了学生主动探究的兴趣。通过启发、追问、比较、联想，使得“比与分数的关系”“比的各部分之间的关系”“比的基本性质”等相关的知识自然生成。与学生一同“挖井”，教师首先要为他们选准一个切入口，可以是一组信息，也可以是一个开放性的问题。在教师的引导下，学生可以从各个角度去分析、去思考，寻觅联系，获得突破。当然，教师还要在适当的时机为学生提供思维的“支架”，选择一个最贴近学生的角度展开研究。同时，还要注意发挥好学生间群策群力的作用，在倾听、交流中，学生的视界能够得到拓展，思维产生共振，智慧得以共享。

　　第三，勤于阅读，储存一张“智慧卡”。勤“读”助思。当学生在数学学习上遇到问题时，我们不主张直接告诉他们解决问题的方法，而是引领他们自己去查找、阅读有关的资料，然后再通过交流、讨论，最终获得解决问题的最佳方法。我们力图让学生通过阅读习惯的培养，引发学生学习行为、学习能力的变化，并最终帮助学生形成比较稳定的、智慧的学习方式。

　　记：智慧究竟是什么，也许这永远都是一个“彼岸性”的问题，但我们可以通过努力可能不断地接近智慧的彼岸。