广义逆与线性方程组解

广义逆是对任何矩阵(不要求是方阵)定义的一种逆矩阵。故名为广义逆。

一广义逆矩阵A^－

1）定义：设A为n×m矩阵，秩R(A)= r<min(m,n), 满足如下方程的G

AGA = A （4－2－1）

　　定义为A的广义逆，G为m×n矩阵，并记为A^－，一般不唯一，称为A^－型广义逆。
　　仅当A为m阶非奇异方阵，凯利逆A^－必然满足定义式（4-2-1），故A^-1是A的广义逆。存在凯利逆时，广义逆A^－= A^-1 唯一。
2) A^－型广义逆有如下性质：

（1）（其中之一，即）

（2）

（3）

（4）

（4）若矩阵P正定，则

（6） G为A^TA的广义逆，则G^T也是A^TA的广义逆。
3）广义逆A^－的计算
　　A^－的计算有许多种方法，这里仅介绍一种常用的简便方法。
　　当的秩R(A) = r <min(n,m), 可得矩阵

　　A分块写成

　　其中R（A₁₁）= r, A₁₁为非奇异方阵。则其广义逆为

（4－2－2）

　　在证明此A^－为A的广义逆之前，先证明如下等式：

（4－2－3）

　　根据A的奇异性质，R(A)=R(A₁₁)= r,故有

(A₂₁A₂₂) = M(A₁₁A₁₂)

　　此式说明 (A₂₁A₂₂) 行是 M(A₁₁A₁₂) 的线形组合，令 M =,则（4-2-3）式成立，按定义式有

　　可见（4-2-2）式确为A的一个广义逆

例4－1. 设有矩阵

R(A) = 2

取

, 则

== A

二广义逆 A⁺1.定义
　　如果对A^－作某些限制，就可得到一种唯一的广义逆，称为伪逆，并用A⁺表示。A⁺定义伪满足下列四个方程：

（4－2－4）
的广义逆。伪逆A⁺也称为Moore-Penrose广义逆。

A⁺唯一，证明如下。

设G₁和G₂为两个A⁺,按定义（4-2-4）式有

由此，由

广义逆A⁺也是一个A^－，是一个同时满足（4-2-4）式种等式的广义逆，其逆唯一。除凯利逆A^-1和伪逆A⁺外，广义逆A^－不唯一。

2．广义逆A⁺的计算

　　在一般情况下，，在测量计算A⁺常用如下方法：

（1）当A为对角阵时，则有

，（4－2－4）

例4-2

设，则

（2）（4－2－6）

证：

(4-2-6)式中(AA^T)^－和(A^TA)^－虽不唯一，但A⁺唯一。

例4-3

，

（3）当N为对称方阵，则由（4-2-6）式即得

N⁺=N(NN)^－N(NN)^－N （4－2－7）

（4）设N=A^TA,则

A⁺=N⁺A^T （4－2－8）

证： A N⁺A^TA=A(A^TA)⁺ A^TA=A

N⁺A^T AN⁺A^T=N⁺NN⁺A^T=N⁺A^T

(AN⁺A^T)^T= AN⁺A^T

(N⁺A^TA)^T=( N⁺N)^T=( N(NN)^－N(NN)^－NN)^T

= (N(NN)^－N)^T= N(NN)^－N=N⁺A^TA

三相容线形方程组的广义逆解

广义逆理论的提出与解线形方程组理论有关，测量平差的基本计算归根到底是解线形方程组问题。所以下面介绍用广义逆解线形方程组的几本方法。

设由相容线形方程组

（4－2－9）

其解存在，设为,则有

按A^－定义，有

或（4－2－10）

此式称为方程组（1.2.16）的相容条件。由此可知

（4－2－11）

为（4-2-9）的一个特解。

其次方程组AX=O 的一般解为

（4－2－12）

I为单位阵，M为任意向量。事实上

因此非其次方程组的一般解等于它的任一特解与对应其次方程组一般解之和，故（4-2-9）的一般解为

（4－2－13）

这是相容线形方程组解的一般公式。

当A为m阶非奇异方阵时，则A^－ = A^-1，即A^－等于凯利逆，此时

（4－2－14）