动点与动态图形中的面积问题

         动点与动态图形中的面积问题

 

1．（8分）如图，已知⊙O的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP=10 cm，射线PN与
⊙O相切于点Q． A，B两点同时从点P出发，点A以5 cm／s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm／s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t s．

O

M

Q

A

B

N

（第1题）

P

（1）求PQ的长；

（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2．（本小题满分12分）

 

已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90º， AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点 Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t (s)（0＜t＜2），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC ?

（2）设△AQP的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

B

A

Q

P

C

图①

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP ′C，

那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP ′C为菱形?若存在，求出此时菱形

的边长；若不存在，说明理由．

解：

（1）

 

 

 

（2）

 

 

 

 

 

 

（3）

 

 

 

 

 

P ′

B

A

Q

P

C

图②

（4）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（第3题）

3．（本小题7分）

如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C在y轴的正半轴上，BC∥x轴，且BC=5,AB交y轴于点D，OD= ．

（1）求出点C的坐标；

（2）过A、C、B三点的抛物线与x轴交于点E，连接BE．若动点M从点A出发沿x轴向x轴正方向运动，同时动点N从点E出发，在直线EB上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t为多少秒时，△MON为直角三角形?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4．（本小题7分）

如图，平行四边形ABCD中，AD=8,CD=4,∠D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动． 当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．点P与点Q同时出发，设运动时间为t，△CPQ的面积为S．

（1）求S关于t的函数关系式；

（2）求出S的最大值；

（3）t为何值时，将△CPQ以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5．（本小题7分）

△ 与△ 是两个直角边都等于 厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点．△ 位置固定，△ 按如图叠放，使斜边 在直线MN上,顶点 与点M重合．等腰直角△ 以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点 与点N重合．设 秒时，△ 与△ 重叠部分面积为 平方厘米．

（1）当平移2秒时，△ 与△ 重叠部分面积为多少平方厘米？

（2）求 与 的函数关系式；

（3）求△ 与△ 重叠部分面积的最大值．

解：

 

 

 

 

 

 

备用图

 

 

 

 

 

 

备用图

 

 

 

 

 

 

备用图

 

 

 

 

 

 

 

 

6．（本小题7分）

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O中作内接矩形AMPN．令AM=x．

（第6题）

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；

（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7   `(14分）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米

（1）当t=4时，求S的值

（2）当 ，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值

图11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. 阅读下列材料：

        小贝遇到一个有趣的问题：在矩形 中， ， ．现有一动点 按下列方式在矩形内运动：它从 点出发，沿着与 边夹角为 的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为 的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当 点碰到 边，沿着与 边夹角为 的方向作直线运动，当 点碰到 边，再沿着与 边夹角为 的方向作直线运动，…，如图1所示．问 点第一次与 点重合前与边相碰几次， 点第一次与 点重合时所经过的路径的总长是多少．

       小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形 沿直线 折叠，得到矩形 ．由轴对称的知识，发现 ， ．

 

    请你参考小贝的思路解决下列问题：

    （1） 点第一次与 点重合前与边相碰______次； 点从 点出发到第一次与 点

     重合时所经过的路径地总长是_______________cm；

    （2）进一步探究：改变矩形 中 的长，且满足 ．动点 从 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 相邻的两边上．若 点第一次与 点重合前与边相碰7次，则 的值为_________．