不等式与不等式组

不等式与不等式组

主讲：童丽丹

一、知识要点概述

1、不等式的基本性质

(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式不等号的方向不变．

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

2、不等式(组)的解法

　　(1)解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．

　　(2)解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．

　　(3)设a＜b，那么：

①不等式组的解集是x＞b(大大取大)；

②不等式组的解集是x＜a(小小取小)；

③不等式组的解集是a＜x＜b(大小、小大中间找)；

④不等式组的解集是空集(大大、小小题无解)．

3、不等式(组)的应用

会列一元一次不等式(组)解决实际问题，其步骤是：

(1)找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)；

(2)解不等式(组)；

(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案．

二、典例剖析

例1、(1)已知不等式3x－a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是________．

(2)已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________．

分析：

　　对于(1)，由题意知不等式的解在x＜4的范围内；对于(2)，从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分．

解：

　　(1)由题意得，∴9≤a＜12．

　　(2)由(1)得x＞a，由(2)得x≤3，因不等式组无解，∴a≥3．

　　说明：确定不等式(组)中参数的取值或范围常用的方法有：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)借助数轴确定．

例2、解下列关于x的不等式(组)．

(1)|x－2|≤2x－10；

(2)(2mx＋3)－n＜3x．

分析：

　　对于(1)确定“零界点”x=2(令x－2=0得x=2)分x≥2和x＜2，去掉绝对值后求出不等式的解集；对于(2)，化为ax＜b的形式，再就a的正负性讨论．

说明：涉及未知系数或绝对值式子的题目，均可用零点分段讨论法解答．

例3、已知3a＋2b－6=ac＋4b－8=0且a≥b＞0求c的取值范围．

分析：消去a，b得到关于c的不等式组，解不等式组得c的取值范围．

分析：

　　已知不等式组的解集，求某些字母的值(或范围)是不等式组解集确定方法的逆向应用，处理这类问题时，可先求出原不等式组含有字母的解集，然后对照已知“对号入座”，应取有针对性的方法．

例6、东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方法：

　　甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；

　　乙：按购买金额打九折付款．

　　某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本．

　　(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的关系式；

　　(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；

　　(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种更省钱的购买方案．

分析：

　　(2)中比较哪种优惠办法更省钱与购买练习本的数量有关，因此应分类讨论；(3)中因为可同时用两种优惠办法购买，所以需要重新建立关于毛笔枝数的关系式求解．

解：

　　(1)依题意，可得y甲=25×10＋5(x－10)=5x＋200(x≥10)；

　　y乙=(25×10＋5x)×90%=4.5x＋225(x≥10)

　　(2)由(1)有y甲－y乙=0.5x－25

　　当y甲－y乙=0时，解得x=50；

　　当y甲－y乙＞0时，解得x＞50；

　　当y甲－y乙＜0时，解得x＜50．

　　所以，当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款，当购买本数在10～50之间时，选择优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙更省钱．

　　(3)①因为60＞50，由(2)知不考虑单独选用优惠办法甲购买．

　　若只用优惠办法乙购买10支毛笔和60本书法练习本需付款(25×10＋5×60)×90%=495(元)

　　②若用优惠办法乙购买m支毛笔，则须用优惠办法甲购买(10－m)支毛笔，用优惠办法乙购买60－(10－m)=m＋50本书法练习本，设付款总金额为P，则：

　　P=25(10－m)＋[25m＋5(m＋50)]×90%=2m＋475(0≤m≤10)

　　所以，当m=0即用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本时，P取得最小值为：2×0＋475=475(元)

　　故选用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．

例7、我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元．

　　(1)该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请你设计出来．

　　(2)设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种生产的件数为x，试写出y与x之间的关系式，并利用关系式说明(1)中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？

分析：

　　若设安排生产A种产品x件，根据题意可建立关于x的不等式组，解出不等式组得x的取值范围．由x为整数在取值范围内确定x的取值，从而得出生产方案，然后由成本的已知条件求出x与y之间的关系式，根据此关系式求出最低生产总成本．

解：

　　(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，依题意，可得：

　　

　　解得：34≤x≤36

　　因为x为整数，所以x只能取34或35或36．

　　所以该工厂现有的原料能保证生产，有三种生产方案：

　　第一种：生产A种产品34件，B种产品46件；

　　第二种：生产A种产品35件，B种产品45件；

　　第三种：生产A种产品36件，B种产品44件．

　　(2)设生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，依题意，可得：

　　y=120x＋200(80－x)即y=－80x＋16000(x取34或35或36)

　　由式子可知，当x取最大值36时，y取最小值为－80×36＋16000=13120元，即第三种方案；生产A种产品36件，B种产品44件，总成本最低，最低生产成本是13120元．

说明：

　　利用列不等式组然后求出不等式组的集，在其解集内求出符合条件(一般是整数)的值，是解方案设计型应用题的常用方法．