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追求数学课堂的本来面目
——第七次课题会成果综述
一、概述 “中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”课题组第七次会议，于2008年10月17日——19日在浙江省嘉兴市秀州中学举行。本次会议由浙江省嘉兴市教研室、嘉兴市秀州中学承办。值得一提的是，秀州中学是数学大师陈省身先生的母校，在这所百年老校举行课题会，使我们有一种历史的厚重感，也有一份为发展中国数学教育事业、使我国走向世界数学强国而努力的使命感。 参加本次课题会研究课和评课活动的代表，除课题组成员外，还有山西省各地市教研员、课标实验省指导组成员近30人，上海市部分中学的数学老师，嘉兴市高中教师等200多人。 课题组成员在第六次课题会议后都投入了大量时间和精力，积极开展研究工作。通过深入反思，课题组在第六次研讨会的基础上，总结出一批研究成果，集中发表在《中国数学教育》2008年第10期和第11期，这些成果在本次会议上进行了展示。在高中课标教材实验的推进过程中，许多课题组成员在各级各类课改研讨活动中大力介绍我们的课题成果，扩大了课题成果的影响面；省、市教研员在自己的工作平台上，以课题组的研究模式为蓝本，创造性地开展教研活动，切实地提高了教研活动的针对性和有效性。课题组的“中期研究报告”在第11届国际数学教育大会的TSG4上，作为大会接受论文进行报告，与会者对我们的案例表现出浓厚兴趣。另外，“中期研究报告”在《中学数学教学参考》2008年第7、8、9、10期连载，引起广大读者的较大反响，北京、湖北、安徽、天津、广东、山西、河南等多个省市都邀请我们介绍课题进展及研究成果。这些活动对于扩大我们课题组的影响面、推广研究成果，都产生了积极作用。 本次会议议题有两项： 第一，以“任意角三角函数”、“曲线与方程”的研究课为载体，对“核心概念、思想方法的教学设计与实践”开展研讨； 第二，研讨课题后续工作。 陶维林、白涛、郭慧清、桂思铭等四位老师为本次会议开设研究课。 特别值得一提的是，本次会议邀请我国著名的老一辈数学教育工作者陈振宣先生作关于数学思维能力培养的专题报告。陈先生已87岁高龄，但他仍然精神矍铄，精力充沛，思路清晰，思维敏捷。他的演讲不但使与会者分享到他长期研究数学教育所取得的成果，聆听到他对数学教育改革的真知灼见，更重要的是他对中华民族崛起的责任感、对数学教育发自内心的热爱、对数学教改的全身心投入，以及他对我们课题组的殷切期待，都深深地感动着全体课题组成员。 二、会议成果 1．课题研究指导思想的深化 本课题研究的核心理念是“凸现数学本质，强化概念教学，全面实现数学课程的育人价值”；在具体实践上，抓中学数学核心概念、思想方法的教学，在“理解数学，理解学生，理解教学”基础上开展教学设计研究。作为一项行动研究，我们强调“实践基础上的理论概括”，全体成员根据自己对数学教育的理解，从不同角度出发进行反思、总结，这是一个必要的阶段。 随着研究的深入，在中学数学核心概念、思想方法结构体系的构建和教学设计实践上，需要更进一步地明确指导思想。我们认为，陈振宣先生提出的“以自然辩证法、思维科学理论和数学发展史为指导”的建议是中肯的，值得大家深入思考、贯彻。 另外，在研究过程中，学习理论的指导也很重要。例如，本次的研究课的两个教学内容，“曲线与方程”是“直线与方程”“圆与方程”的上位概念，学生的学习是上位学习；“任意角三角函数的概念”是“函数概念”的下位概念，学生的学习是下位学习（一般函数概念下的具体函数），但又不能简单化（并不是直接的“数集到数集的映射”）。如果有学习理论为指导，相应的教学设计和课后反思、评价将会更加到位。 2．教学设计的“立意”问题 教学设计始终要把数学教学的“育人”目标放在心上，也就是要认真考虑本堂课在培养学生的数学思维能力、发展学生的智力、培育学生的理性精神上能做点什么，这也就是教学设计的“立意”问题。应当肯定，本次研究课中，几位老师都特别注意了这个问题：“任意角的三角函数的概念”的教学设计注意通过与“锐角三角函数”概念的因袭与扩张关系，引导学生参与“定义任意角三角函数的过程”；“曲线与方程”的教学设计特别强调“坐标法”这一解析几何根本大法的渗透，注意通过具体事例的概括、辨析，引导学生从新的高度（联系、关系、运动、轨迹、一一对应等）认识已有对象，培养学生思维的严谨性。 当然，“细节决定成败”。有了适切的“立意”，借助怎样的载体来落实，也是一个值得细究的问题。例如，“曲线与方程”的教学中，采用什么例子可以使学生对“完备性”“纯粹性”的印象深刻，并在今后的学习中逐步深入地体会其真谛，养成相应的表达习惯，进而形成一种基本素养，就是一个需要精心设计的问题。 3．教学设计与课堂教学的关系 教学设计是“预设”的，课堂教学是“生成”的，这两者一定存在落差，这是人所共知的。关键是如何加强教学设计的预见性，这样才能实现课堂教学的有效性，教学质量也才有保证。教学是科学也是艺术。教学设计更多地体现了“科学性”的一面。一个好的设计需要有好的老师去实施，这是由教学的“艺术性”特征所决定的。 本次活动表明，教学设计应当能较好地解决“数学理解”和从数学知识发生发展过程角度构建教学过程、设计“问题串”引导学习的问题，也能解决从分析新旧知识关系入手的概念学习认知分析问题。应当说，这对教师的专业化发展具有奠基性作用，是提高课堂教学质量的关键之一。但是，教学设计很难解决与学生情况、教学环境紧密相关的“教学机智”问题。 所以，我们的课题研究成果，应当争取成为“无声的高水平教练”，要把教学的“科学性”一面解决好，使其他教师在学习、理解课题成果时能感到启发性大，使他们愿意在我们的教学设计的引导下改进自己的教学。 4．教学设计的课堂检验 从杭州市和有的老师反馈的情况看，我们给出的教学设计的基本思路和设计文本，与课堂教学实践之间具有较好的适应性，具有引领广大数学教师改进课堂教学的作用，但也有许多值得修正的地方。许多课题组成员已经看到，课题研究进展到今天，已经到了通过教学实践检验，获得修改已有教学设计的实践依据，并对教学设计进行修改的时候了。 在课堂检验过程中，科学地搜集数据需要一定的规范化操作。实验中应当考察哪些指标，如何收集相应的数据，还需要进一步研究。 为了增强课题成果的科学性、实践性和操作性，可以采取对比性研究，对教学设计方案进行实践检验。具体的，可以选择一章内容，分别用课题组的教学设计和组外教师的教学设计进行教学实践，每课内容进行对比分析，记录好数据，在完成全章教学后再进行学习检测，得出对比数据，再进行统计分析。 三、反思成果综述 整体上看，本次活动的反思水平比以往有较大提高。这些反思成果，概括起来看，仍然是对“理解数学、理解学生、理解教学”的认识上的深化，也就是以“任意角三角函数”“曲线与方程”两个概念的教学设计和课堂教学为载体，从数学（概念的内涵、背景、相关概念和概念的发生发展过程等）、学生学习（数学概念认知分析）以及两者之间矛盾关系的理解入手，提出能真正实现概念教学目标的教学设计方案。众所周知，正确的指导思想能使我们把握好教学的大方向，但只有思想还远远不够，我们不能让学生成为“眼高手低”的空谈者，这就需要有反映学生数学学习规律，能真正促进学生的数学理解、发展学生的数学思维、提高学生数学能力的具体方法和措施。既有思想、又有方法的教学才能使学生“会想也会做”。可以认为，在对“如何做”的思考方面所取得的进步是本次课题活动的主要成果。 这里我们不做面面俱到的总结，只从几个侧面概括一下大家的反思成果。 1．高立意与低起点 对课堂教学的“高立意”大家有共识，因为唯有这样才能使学生在学习数学知识的过程中学会数学地思维，养成理性精神，从而真正体现数学教育的育人功能。这就要求我们努力地挖掘数学知识蕴含的育人资源，并设法融入在课堂教学中。现在的问题是“如何做”。概括大家的想法，可以发现比较一致的意见是：解决这一问题的首要原则是设计能充分体现概念所反映的数学思想方法的“低起点”问题，以此为载体展开概念的概括活动，这也是“教学以学生的已有认知基础为出发点”的具体体现。我甚至想，如果教学真正做好了“有思想的低起点”，那么“什么样的学生都能对付”。 例如，李昌官老师认为，在“曲线与方程”的教学中，由于学生已经学习了直线与方程、圆与方程，并有通过直线的方程、圆的方程研究直线的性质、圆的性质、直线与直线的位置关系、点到直线的距离、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等几何问题的经历，对坐标法——通过曲线的方程来研究曲线的性质也有所了解，因此应当先提出“深层次的问题”，如“为什么能利用方程来研究曲线的性质？”“这种方法的可靠性由什么来保证？”这样自然地想到要考察曲线与方程之间的内在联系。在这样的思想指导下（实际上就是先要有“高立意”），再考察已经学过的直线的方程、圆的方程等概念，以及直线与直线的方程、圆与圆的方程之间的关系，从中体会“你就是我，我就是你”的等价关系（实际上就是从“低起点”出发），然后再概括出“曲线的方程”“方程的曲线”的概念。 又如，程海奎教授在“曲线与方程”的教学设计分析中，通过剖析“纯粹演绎模式”“归纳——演绎模式”“类比——归纳模式”等几种设计的成败得失，从既要让学生理解“曲线与方程”的概念、又要让学生体会“为什么要引入这个概念”（“曲线的方程”和“方程的曲线”概念在解析几何中的地位和作用）出发，以学生熟悉的“直线与方程”“圆与方程”为载体，在给出抽象概念之前，先让学生经历较完整的“求曲线的方程——由方程讨论曲线的简单性质（对称性）”的过程，使学生建立起“纯粹性”“完备性”的充分体验，体会到引入曲线与方程概念的必要性与合理性后，再给出严格的数学定义，并借助反例引导学生进行概念辨析，使学生不仅理解概念，而且也从内心接受“曲线的方程”“方程的曲线”这样“颠来倒去”的数学定义。我认为，程教授的这一教学设计值得一试。 当然，“低起点”到底在哪里，“低”到什么程度，不同的设计者可能有不同的看法，这是由新概念与学生头脑中已有认知结构的复杂关系所决定的。认知结构是网状的，因而新旧知识的联系是多途径的，所以学习的起点往往不是唯一的，这就有一个取舍问题。总原则应该是“就近”，但也不排除“绕个弯子”，主要看学生对已学知识的掌握水平。例如： “曲线与方程”的教学起点，可以是对“曲线上所有点的集合”与“方程F(x，y)=0的解为坐标的点所成的集合”的等价性的讨论；也可以是“函数”与“函数的图像”的关系的讨论；还可以是“直接从定义出发，再用具体例子说明”；还可以是直线与直线的方程、圆与圆的方程之间的关系的讨论。这些想法都有一定的道理，但确实有是否有利于学生建立曲线与方程的概念的差异。例如，以“函数”与“函数的图像”为起点的做法可能会干扰学生认识当前概念，因为函数及其图像是反映两个变量之间变化规律的数学模型，而“方程与曲线”的概念是“用代数方法讨论曲线的几何性质”的理论基础，两者的内容、方法都有较大差异。而程教授的方案值得一试的理由则在于它是在学生熟悉的背景中讨论新的问题，而且是一个坐标法思想指导下的“求曲线的方程——由方程讨论曲线的性质”的完整过程。 同样，“任意角三角函数的概念”的教学起点也可以有不同的考虑。大多数老师认同“以锐角三角函数概念为起点”。不过，实践表明，这一起点与任意角三角函数的概念并不是“就近”的，其原因是锐角三角函数的定义以直角三角形为载体，关注的是“解决直角三角形的边角关系问题”，而对它的函数本性的认识并不作为重点，锐角三角函数并没有被纳入函数概念体系中。因此，要使锐角三角函数概念成为教学的起点，还需要一个较长的过程铺垫：回顾定义——坐标化（全新的学习）——“单位化”（取r=1，全新的学习），而且还要冒“学生无法把任意角的三角函数的概念纳入到函数的概念中”的风险。因此，张曜光老师提出的“函数概念统领下的教学设计”的起点是：圆心在原点的圆周上的点的坐标随角的变化而变化的“操作、观察”，先让学生建立起“任意给定一个角α，圆周上就有唯一的一个点P(x，y)与之对应”的直观感受，把注意力集中在三角函数的“函数特性”上，能使学生认清其对应关系、定义域和值域等，从而真正把握三角函数的“本来面目”。 受张老师观点的启发，我想，“现在角α的范围扩大了……我们应该如何定义sinα,cosα,tanα呢？”这一问题不是本源性的，以此作为引发认知冲突的转折性问题，既不本质也不够大气，这样做很难让学生感受到引入任意角三角函数概念的必要性，因此应考虑更本源性的引入背景。是否可以在“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”的思想指导下，以“如何建立圆周运动的数学模型”为教学起点，调动象限角、弧度制、单位圆、锐角三角函数等相关知识，在建立函数模型的过程中水到渠成地引入任意角三角函数的概念。这样，既可以使学生知道这一概念的背景、解决的问题，也可以使他们感受运用函数概念建立模型的过程和方法，还可以让他们体会三角函数在物理学科中的重要性。如果这样的设计思想能够实现，那么其效果是一举多得的。 2．数学概念教学的基本环节 对于概念教学的重要性我们已经有了充分的认识，“核心概念的教学要不惜时、不惜力”是大家的共识。在以往的研究中，我们曾经总结过概念教学的核心、基本步骤和注意点： 概念教学的核心是概括，就是将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”，概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程。 概念教学的基本步骤是①背景引入；②典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、综合；③概括共同本质特征得到概念的本质属性；④下定义（准确的数学语言描述）；⑤概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；⑥用概念作判断的具体事例——形成用概念作判断的具体步骤；⑦概念的“精致”——建立与相关概念的联系。 概念教学的注意点：第一，数学概念的高度抽象性，决定了对它的认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升、在已有基础上再概括的过程；第二，人类认识数学概念具有“渐进性”，个体对数学概念的认识要“重演”人类的认识过程，因此学习像函数这样的核心概念，需要区分不同年龄阶段的概括层次（如变量说、对应说、关系说等），这也是“教学与学生认知水平相适应”的本意所在；第三，为了更有利于学生开展概括活动，例子的选择至关重要，“一个好例子胜过一千条说教”；第四，“细节决定成败”，必须安排概念的精致过程，即要对概念内涵进行“深加工”，对概念要素作具体界定，让学生在对概念的正例、反例作判断的过程，更准确地把握概念的细节；第五，在概念的系统中学习概念，即要通过概念的应用，形成用概念作判断的“操作步骤”的同时，建立相关概念的联系，这是一次新的概括过程。 应当说，上述总结对概念教学具有指导意义，而且也有操作性，但从研究的角度看，还需要进一步深入到细节中去。本着“拿来主义”的精神，陈雪梅老师运用“数学概念的二重性理论”和杜宾斯基的“APOS理论模型”，分析了任意角三角函数概念的教学设计和课堂教学中的成败得失，并在理论指导下提出了改进建议。从上述总结中可以看到，我们强调了数学概念教学不仅要让学生知道概念的定义，而且要让学生知道概念的背景，知道概念所反映的思想方法，知道如何用概念作判断，知道当前概念与相关概念的联系。为什么要强调这些呢？原因是数学概念的二重性：过程—对象、算法—结果、操作行为—结构关系和与之相应动态—静态，细节—整体；历时（继时）—共时（同时）的特性。由于概念的形成往往要经历由过程转变为对象的认知过程，因此概念教学应当遵循“过程先于对象”的认知发展顺序。具体而言，为了让学生真正把握概念的本质（对象）并能应用，在教学设计中我们就应当精心、有序地安排动作、过程、对象和图式结构等心智结构的建构过程，使学生经历从低层级的心智结构向高一层级心智结构的发展过程，并精选载体（数学问题），促进不同水平上心智结构之间的相互作用。用我们熟悉的语言来说，就是：概念教学必须以典型、丰富的具体例证为载体，让学生经历从具体到抽象的归纳、概括过程而理解概念的本质，并建立相关概念的联系。 顺便提及，对于一线教师而言，因为在长期的教学实践中积累了大量经验，因此他们采取的教学方法、措施等与理论之间都有较大的“不谋而合”,但因为不知道有相关理论指导而不能实现“实践基础上的理论概括”。因此，要使自己成长为专家型教师，理论学习是必须的。另外，如果理论素养上去了,教学会更自觉,有效性也就更强了。 3．如何促进学生的概念理解 在促进学生的概念理解方面，除了精心预设教学过程外，还需要根据课堂教学实际调整教学设计，以使学生真正卷入数学概念的生成过程，达成对概念的本质认识。其中包括提出适切性更强的引导性问题，组织思考力度更大的概括活动，对概念的“多元联系”的表达，组织比较性更鲜明的变式训练，还包括营造亲和力更强的课堂氛围。 首先，具有亲和力的课堂是促进学生优质高效地理解概念的先决条件。大家对陶维林老师的课堂教学艺术赞不绝口，他那始终面带微笑的表情、商讨性的语气、激励性的“追问”、“你是怎么想的？”“大家都是聪明人……”等所营造的信任学生的心理氛围、推迟判断（不轻易否定学生的思考结果）、对学生思维成果的由衷赞叹等等表现，都给人留下深刻印象。有了轻松愉悦的心理氛围，才能有思维的积极性，这是概念理解的情感基础问题。值得指出的是，陶老师在课堂中的做法是发自肺腑的，是以学生在数学学习中的实际表现为基础的，没有那种廉价表扬，因而显得自然、亲切和水到渠成。 其次，教学设计中的“问题串”应该是教学过程的主线索，这是对一个好的教学设计的基本要求。但是，课堂中必然会出现许多源于学生的“即时问题”，这些问题真实地反映了学生对概念的理解状况，无论对错，都是促进学生概念理解的好素材，而且，正如李世杰老师指出的，这正是培养学生发现、提出和解决问题的机会。总之，概念教学不能由老师唱独角戏，要注意通过挖掘学生中的问题，采取“追问”（考问）的方式，既促使学生自己不断地明确问题，又达到暴露学生思维过程的效果，从而使我们的教学更加有的放矢，使学生的思维参与度得到实质性提高。 第三，例子的选择和顺序编排很重要，包括正例与反例。一般而言，先出正例再出反例，因为正例能使学生清晰概念的要素，而反例则是辨析概念的载体。例如，田载今老师通过分析“曲线与方程”概念的地位和作用，提出“结合正、反例认识曲线与方程的关系”的教学设计思路，并具体给出了正、反例的示范，从郭慧清和桂思铭两位老师的课堂教学实践看，田老师的想法是能够收到好的教学效果的。 第四，练习要强调循序渐进。当前教学实践中，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍。而在解题教学中，热衷于一步到位、题型教学，过早给综合题、难题，而且数量很多。这样的教学大家都会认为功利性太强，训练效果会适得其反。从本次借用的几个班级看，在这种教学中训练出来的学生是不习惯于“回到概念去思考”的。因此，概念教学中，如何循序渐进地对学生进行应用概念的训练，使他们掌握用概念作判断的基本方法与步骤并逐步达到自动化的同时，培养“回到概念去”“回到定义去”的思维习惯，是需要我们下力气研究的问题。对于练习安排的这种要求，也可以从“APOS理论模型”中找到依据：能用一个概念解决综合题、难题的前提是“与这个概念有关的所有动作、过程和对象以及其它相关概念图式形成一个新图式”，并且成为“主题化图式”，如果一个图式没有主题化，那么即使学生知道了相关概念，他也不能在一个新情境下（变式问题）有意识地应用概念解决问题，而图式的主题化不可能“一步到位”，需要经历“由低到高的三个阶段”。 四、结束语 作为一名数学教育工作者，我们应该懂得自己的职责。我们承担着对学生进行生命的教育和生活的教育双重任务。生命的教育是一个引导学生修行的过程，要让学生在理性精神的养成过程中，逐步参悟人生真谛，追求真、善、美的智慧人生；生活的教育是指导学生掌握生存技能的过程，要让学生在养成数学地思维的习惯的过程中，逐步掌握认识事物本质的思想方法，奠定幸福人生的知识基础。而这些任务的实现，有赖于我们参悟数学课堂的本来面目。我们正在逐步接近这一本来面目，愿大家共同努力。 |
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