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等比数列

 moonboat 2011-06-17

等比数列

维基百科，自由的百科全书

等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，2198与2197的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为q。

目录

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[编辑]公式

[编辑]公比公式

根据等比数列的定义可得：

q=\frac {a_n}{a_{n-1}} \left(n\ge2\right)

[编辑]通项公式

我们可以任意定义一个等比数列\left\{a_n\right\}

这个等比数列从第一项起分别是a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots，公比为q，则有：

a2 = a1q，
a3 = a2q = a1q2，
a4 = a3q = a1q3，
\cdots，
以此类推可得，等比数列\left\{a_n\right\}的通项公式为：
an = an ? 1q = a1qn ? 1，

[编辑]求和公式

对于上面我们所定义的等比数列，即数列a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots。我们将所有项进行累加。

于是把a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots称为等比数列的和。记为：

\sum_{i=1}^{n} a_i

如果该等比数列的公比为q，则有：

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n
=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}（利用等比数列通项公式） (1)
先将两边同乘以公比q，有：
qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n
该式减去(1)式，有：
(q ? 1)Sn = a1qn ? a1 (2)
然后进行一定的讨论
当q\ne1时，S_n=\frac {a_1(q^n-1)}{q-1}
而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。
但我们可以发现，此时：
S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n
=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}
=a_1+a_1+a_1+\cdots+a_1
= na1
  • 综上所述，等比数列\left\{a_n\right\}的求和公式为：
S_n=\begin{cases} \frac {a_1-a_1q^n}{1-q}, & (q\ne1) \\ na_1, & (q=1) \end{cases}
  • 经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时

{{S}_{n}}=\frac{{{a}_{1}}({{q}^{n} - 1})}{q - 1}=\frac{{{a}_{1}}{{q}^{n}} - {{a}_{1}}}{q - 1}

[编辑]當0\le q<1時,等比數列無限項之和

由於當0\le q<1及 n 的值不斷增加時,qn的值便會不斷減少而且趨於0,因此無限項之和:

S_{\infty}=\frac {a_1-a_1q^{\infty}}{1-q}=\frac {a_1-0}{1-q}=\frac {a_1}{1-q}

[编辑]性质

如果数列\left\{a_n\right\}是等比数列，那么有以下几个性质：

  • a_n=a_mq^{n-m} (m,n\in \mathbb{N^*},n>m)
证明：当m,n\in \mathbb{N^*},n>m时，a_mq^{n-m}=a_1q^{m-1}\times q^{n-m}=a_1q^{n-1}=a_n
  • 对于m,n,s,t\in \mathbb{N^*}，若\!m+n=s+t，则a_m\cdot a_n=a_s\cdot a_t
证明：a_m\cdot a_n=a_1q^{m-1}\cdot a_1q^{n-1}=a_1\cdot a_1\cdot q^{n+m-2}
∵\!m+n=s+t
∴a_m\cdot a_n=a_1\cdot a_1\cdot q^{s+t-2}=a_1q^{s-1}\cdot a_1q^{t-1}=a_s\cdot a_t
  • 等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列\left\{a_n\right\}中有三项\!a_i，\!a_j，\!a_k，其中j-i=k-j\ge1，则有a_j^2=a_ia_k
  • 在原等比数列中，每隔k项(k\in \mathbb{N^*})取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。
  • a_1\cdot a_2,a_3\cdot a_4,a_5\cdot a_6 \cdots也成等比数列。

[编辑]参见

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