摘自21IC
只要是理工科毕业的朋友，都学过傅立叶级数与傅立叶变换，但真正要与实际应用联系起来，用它来阐述应用中的各类问题，我们总会感觉概念模糊，似懂非懂，不知从何说起。是的，作者和你一样，常常有这样的体会。现在，让我与你一起重新学习傅立叶的基本理论和应用，最后还给出一份FFT（快速傅立叶变换）的源码（基于C）。希望对你有所帮助。Let’s go！
1． 历史回顾
谈傅立叶变换，不能不说三角函数。三角函数起源于18世纪，主要是与简谐振动的研究有关。当时的科学家傅立叶对三角函数作了深入研究，并用三角级数解决了很多热传导的问题。三角函数的展开式如下：
f(t) = (1/2a0) + (a1·cos(x)+b1·sin(x)) + (a2·cos(2x)+b2·sin(2x)) + …
其中，系数a和b表示不同频率阶数下的幅度。
成立条件：
n 周期性条件，也就是说f(x)描述的波形必须每隔一段时间周期T就会重复出现；
n Dirichlet条件，周期T内，有限的最大最小值，有限的不连续点；
任何区间内绝对可积；
研究目的：
把一个基于时间变量t的函数展开成傅立叶级数的目的是分解为不同的频率分量,以便进行各种滤波算法。这些基本的组成部分是正弦函数SIN（nt）和余弦函数COS(nt)。
应用领域：
l 信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等；
l 研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时，把f(t)展开为三角级数最为关键。
l 概率与统计，量子力学等学科。
2． 傅立叶变换
H(w) = ∫h(t)·e^jwt·dt, （区间：-∽～+∽，w = 2πf）
讨论：这里为什么会选择复指数的形式而没有用正弦余弦表示？
答案：欧拉公式的引入使得这条经典的数学公式变得更简单，即e^jx = cos(x) + jsin(x)
3． 快速傅立叶变换（FFT）
常规的傅立叶变换算法并不适用于嵌入式控制系统，原因是运算量太大（涉及到复数运算），比如离散的傅立叶变换等同于用序列Y(n×1列矢量)乘以n×n矩阵Fn，需要n×n次乘法。若n=1024,则是104，8576次乘法运算。哇，这么多呀！什么概念呢？如果你选用的CPU单周期指令为25ns, 单周期也可以完成一次乘法运算，那么要计算1024点的傅立叶变换则需要26.2144ms,这还不包括加法或其它运算，对于大多数实时系统，这个处理时间实在太长。于是寻找一个快速的傅立叶变换算法是人们所期望的。
本来我想把FFT的整个数学推导过程列完出来，但当自己硬着头皮看完后，发现对我没有任何用处，我又不是专门研究数学算法的，哪有那么多时间跟着书本的公式去慢慢推导。我想，这些推导问题还是让数学家想去吧。我需要的不过是理解它，然后学会应用它就行。有兴趣的读者可以参考相关的资料，这方面的资料实在太多了。
虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。主要原因是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算，想想这是多么繁琐的事情。可能会有些初学者认为，有这么复杂吗？我在PC上使用C++一样可以对复数直接进行加、减、乘、除运算。你说得不错，可以这么做，但那是C++封装了对复数处理的类，直接调用就行。在PC上运算这种类型的算法一般不考虑时间和空间，多一两秒的运行时间不会有什么灾难性的结果。
所以我们要衡量一个处理器有没有足够的能力来运行FFT算法，根据以上的简单介绍可以得出以下两点：
l 处理器要在一个指令周期能完成乘和累加的工作，因为复数运算要多次查表相乘才能实现。其二就是间接寻址，可以实现增/减1个变址量，方便各种查表方法。
l FFT要对原始序列进行反序排列，处理器要有反序间接寻址的能力。
所以，在数字信号的分析处理应用中，DSP比其它的处理器有绝对的优势，因为DSP完全具备以上条件。这就是单片机（51系列，AVR，PIC等等）或ARM处理器很少用来进行数字信号分析的原因。
4． FFT的C实现方法
// 函数名: 快速傅立叶变换（来源《C常用算法集》）
// 本函数测试OK,可以在TC2.0,VC++6.0,Keil C51测试通过。
// 如果你的MCS51系统有足够的RAM时,可以验证一下用单片机处理FFT有多么的慢。
//
// 入口参数：
// l: l = 0, 傅立叶变换; l = 1, 逆傅立叶变换
// il: il = 0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il = 1,计算模和幅角
// n: 输入的点数，为偶数，一般为32，64，128，...,1024等
// k: 满足n=2^k(k>0),实质上k是n个采样数据可以分解为偶次幂和奇次幂的次数
// pr[]: l="0时"，存放N点采样数据的实部
// l="1时", 存放傅立叶变换的N个实部
// pi[]: l="0时"，存放N点采样数据的虚部
// l="1时", 存放傅立叶变换的N个虚部
//
// 出口参数：
// fr[]: l="0", 返回傅立叶变换的实部
// l="1", 返回逆傅立叶变换的实部
// fi[]: l="0", 返回傅立叶变换的虚部
// l="1", 返回逆傅立叶变换的虚部
// pr[]: il = 1,i = 0 时，返回傅立叶变换的模
// il = 1,i = 1 时，返回逆傅立叶变换的模
// pi[]: il = 1,i = 0 时，返回傅立叶变换的辐角
// il = 1,i = 1 时，返回逆傅立叶变换的辐角
// data: 2005.8.15,Mend Xin Dong
kkfft(double pr[], double pi[], int n, int k, double fr[], double fi[], int l, int il)
{
int it,m,is,i,j,nv,l0;
double p,q,s,vr,vi,poddr,poddi;
for (it=0; it<=n-1; it++)
{
m = it;
is = 0;
for(i=0; i<=k-1; i++)
{
j = m/2;
is = 2*is+(m-2*j);
m = j;
}
fr[it] = pr[is];
fi[it] = pi[is];
}
//----------------------------
pr[0] = 1.0;
pi[0] = 0.0;
p = 6.283185306/(1.0*n);
pr[1] = cos(p);
pi[1] = -sin(p);
if (l!=0)
pi[1]=-pi[1];
for (i=2; i<=n-1; i++)
{
p = pr[i-1]*pr[1];
q = pi[i-1]*pi[1];
s = (pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);
pr[i] = p-q;
pi[i] = s-p-q;
}
for (it=0; it<=n-2; it="it"+2)
{
vr = fr[it];
vi = fi[it];
fr[it] = vr+fr[it+1];
fi[it] = vi+fi[it+1];
fr[it+1] = vr-fr[it+1];
fi[it+1] = vi-fi[it+1];
}
m = n/2;
nv = 2;
for (l0=k-2; l0>=0; l0--)
{
m = m/2;
nv = 2*nv;
for(it=0; it<=(m-1)*nv; it="it"+nv)
for (j=0; j<=(nv/2)-1; j++)
{
p = pr[m*j]*fr[it+j+nv/2];
q = pi[m*j]*fi[it+j+nv/2];
s = pr[m*j]+pi[m*j];
s = s*(fr[it+j+nv/2]+fi[it+j+nv/2]);
poddr = p-q;
poddi = s-p-q;
fr[it+j+nv/2] = fr[it+j]-poddr;
fi[it+j+nv/2] = fi[it+j]-poddi;
fr[it+j] = fr[it+j]+poddr;
fi[it+j] = fi[it+j]+poddi;
}
}
if(l!=0)
{
for(i=0; i<=n-1; i++)
{
fr[i] = fr[i]/(1.0*n);
fi[i] = fi[i]/(1.0*n);
}
}
if(il!=0)
{
for(i=0; i<=n-1; i++)
{
pr[i] = sqrt(fr[i]*fr[i]+fi[i]*fi[i]);
if(fabs(fr[i])<0.000001*fabs(fi[i]))
{
if ((fi[i]*fr[i])>0)
pi[i] = 90.0;
else
pi[i] = -90.0;
}
else
pi[i] = atan(fi[i]/fr[i])*360.0/6.283185306;
}
}
return;
}
5． 傅立叶变换的几个重要应用
l 卷积
卷积是滤波网络对信号响应的术语，即用卷积积分来描述滤波网络对冲击函数信号的反应。若x(t)为信号，h(t)为响应，则卷积积分表示如下：
h(t)·x(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ, 区间：-∽～+∽
每一个卷积点是信号函数与反转和平移后的网络函数的乘积中的区域。
相关
相关是用于小信号噪声检测的一种方法。如果有已知信号与一个噪声波形相关，用这个方法可以检测出来，有非零的结果表示发现了相关性，结果越明显，相关性越大。
其在形式上与卷积积分相似，如下：
z(t) = ∫x(τ)h(t+τ)dt, 区间：-∽～+∽
自相关是用来描述一个信号与它自己的相关程度，其值为信号的PSD,即功率谱密度。
1、滤波
这可能是FFT最广泛的应用了，它使对波形的频率分量滤波变得十分简单。比如对采样信号进行FFT后，干掉不需要的频率分量，再进行FFT反变换，就得到滤波后的期望信号。
2、信号分析
比如电力监控系统的谐波分析，就需要对采样数据进行FFT运算，然后通过液晶屏或其它人机界面重新绘画出来，以方便技术人员掌握电力的质量。
小结：
傅立叶变换在目前的相关电子产品中用得非常广泛，可以说，它是描述函数的另一种语言。掌握傅立叶变换，学会在空域和频域中同时思考问题，很多时候可以让我们使用简单的方法来解决复杂的问题。
