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数学教学心理学（张兴华） 上个世纪60-70年代，国际心理学领域发生了两件大事：1.出现了认知心理学的革命，心理学研究开始由对动物行为的研究转向对人的高级认知的研究，认知心理学替代了行为心理学，成为主导。2.教育心理学中出现了专门研究学科课堂教学的学科教学心理学。 小学数学教学心理学是一门实践性、应用性很强的微观理论学科。它主要研究儿童数学学习的心理特点和认知规律。研究如何根据儿童的心理特点和认知规律进行有效的数学教学，研究如何有效地激发儿童学习数学的积极性。一句话，它是研究数学教学过程中学与教的心理活动规律。 我们不妨留意一下，近年来省级和省级以上教育报刊发表的数学教学论文中已经很少有“数学教学心理学”的核心词。即使有，也是很成问题的。最近常见到“表象”这个词，但多作表面现象讲，如“从表象看，……”列举了一些表面现象后说“……这此都是表象，透过表象，其实质是……”天哪！表象是感知过的事物留在脑中的形象……，怎么能望文生义说成是表面现象呢？再一个就是“变式”。变式只是心理学理论沧海之一粟，不知什么时候引得大家的热捧和关注，谈得不少。有上升为“变式理论”的，有总结为“变式教学模式”的，也还有解释为变化了的式子的，像45÷9＝45×3÷（9×3)之类，只要式子变化了就是变式！学科教学心理学这块刚被开垦的处女地，现在又是杂草丛生，满目荒芜了。但是，耐人寻味的是，每每经典的、引人注目的教学设计，在其背后都能找到数学教学心理学的内核。我们不妨来看看张齐华老师“认识分数”的一个片段： 一开始，通过分蛋糕和简短的讨论，让学生知道：把一个蛋糕平均分成两份，每份是它的l/2。接着，张老师给每位学生准备了同样的长方形纸，让学生“动手折一折”，并“涂出它的l/2”。学生折啊，涂啊。交流的时候，有的学生横着对折，涂出了其中的1/2： 有的学生竖着对折，涂出它的l/2： 有的斜着平均折成两份，涂出了它的l/2：
张老师指着这些不同形状的阴影部分问学生：“这些阴影部分形状不同，为什么都是这张纸的1/2？"学生一一回答：“我把这张纸横着对折，就是把它平均分成两份，其中这一份当然是它的l/2。”“我把这张纸竖着对折，就是把它平均分成两份，每一份是它的1／2。”“我虽然是斜着折的，但是是把这张纸平均折成了两份，这一份虽然形状不同，但也是这张纸的1/2。”张老师说，不管把纸怎样折，也不管折成的每一份是什么形状，只要是把这张纸平均分成两份，每一份就是它的1/2。后来，认识1/4时，张老师给学生准备了各种不同形状的纸，要求学生折一折，并涂出其中的l/4，学生折啊，涂啊，出现了这些情况： 张老师又问学生：这里图形的形状也不相同了，阴影部分形状和大小也都不同，为仆么都是原来这个图形的1/4。学生一一回答，都是说我把这张纸平均分成了4份，每一份是这张纸的l／4。最后老师总结道：不管是什么形状的纸，也不管涂色部分是什么形状，只要把它平均分成4份，每份就是这张纸的l/4。这样，学生对1/2、l/4分数的认识达到了概括化程度很高的理解。为什么呢，就是因为运用了心理学变式原理！ 然而，当我私下里与老师们沟通时，却发现大家对这一片段的认识多着眼于当下时髦的学习方式的改善上。有的说这是让学生动手实践得好，折出那么多的1/2、l/4；有的说这是让学生自主探索得好，这是算法多样化，折法多样化，涂法多样化；有的说这是合作交流得充分。有老师甚至不理解张老师两次运用变式的奥妙，觉得两次操作后两次发问几乎一样，是不是有重复和雷同感……他们不知道，张老在这里两次运用了变式原理，而两次的着眼点不同，第一次用同一张纸、第二次用不同的纸，样本更多了，学生能够从更广泛的事物中去抽取事物的更本质的特征。 青年教师的理论比较缺乏。趣话几个话题： 一．变式 瑞士心理学家皮亚杰的思维发展阶段论把7-11岁的孩子都归为具体运算阶段。他指出具体运算阶段的儿童还缺乏抽象思维。他们的思维还带着很大的具体形象性，但是他们能够带着具体形象思维的支撑进行抽象思维。感性材料 抽象的概念需要熟悉广泛、众多的事物才得以形成。 变式就是变换事物的非本质特征，从不同角度组织感性材料，在各种表现形式中突出事物的本质特征。从而使学生对概念的理解达到越来越高的概括化程度。 张老师是深谙此理的，为了使学生能深刻认识l/2、1/4,变换非本质属性，让学生用不同方法折出、涂出各种形状的1/2、1／4，从而突出不管用什么纸折，不管怎样折，只要把纸平均分成2份，每份就是它的l/2，只要把纸平均分成4份，每份就是它的1／4。理论的光芒是普照的。你真正掌握了变式原理，就可以普遍地运用于概念教学中。比如学习垂直既念， 教师开始往往出现标准的垂直图形。 在概念教学中，说到变式，常常还要说到“反例”。现在的教育心理学已把反例整合到变式中去了，请允许我在这里仍然沿用反例的说法。什么是反例呢？反例就是故意变换事物的本质特征、使之质变为与之形似的他事物，在比较与思辩中反衬和突出事物的本质特征，从而更准确地认识概念，在教学中，反例常常和变式一并提供。 例如让学生辨析：下面的图形，哪些是角，哪些不是角？
例子：1找反比例；2.认识正比例的意义；3.画圆的直径，认识直径。这里老师故意以各种非直径的画法引起学生一次次的反向思辨，使得原本模糊的、未及言明的直径概念被反向摩擦得分外鲜亮，但随着学生一次次被非直径状态的能动否定，直径的特征意义十分清晰、有意义地被学生理解掌握。 二．表象 学习面积单位（平方分米）后，学生还不能清晰地表示出15平方分米的大小。 张老师是这样教的：学生学过平方厘米，知道边长是1厘米的正方形，面积是l平方厘米，而且已经形成了平方厘米的空间表象，之后我让学生用平方厘米度量相关图形的面积、邮票的面积，然后不露声色地让学生度量课始出现的镜框玻璃或凳面的面积，有的学生有点犹豫，有的学生还真的一平方厘米一平方厘米地度量，等到大家都觉得这样量很麻烦时，我问大家有什么想法，学生说：最好有一个大一点的面积单位来度量，我趁势让学生创造一个大一点的面积单位。有学生创造出了平方分米，我就说：“好，就用平方分米。”那什么是1平方分米呢？学生猜想（实际上是类比推理）：边长1分米的正方形，面积是l平方分米。我随即出示一个平方分米的模型，橘红色的（这里还有感知原理），指着比划着说：“哎！边长1分米的正方形，面积是1平方分米，现在我们来仔细观察平方分米这个面积单位。这里，平方分米是什么形状的？(生答：正方形，）它有多大？（生答：边长1分米的正方形这么大！）看清了吗？（生答：看清了）看清了，就请大家把眼晴闭起来，在脑子里面想：刚才看到的平方分米是什么形状的？有多大？"（全体学生闭眼回想。）一会儿，我说：大家在脑子里留下了平方分米了吗？（学生仍闭着眼睛回想，答：留下了。）留下了就把眼睛睁开。现在请把信封里的平面图形拿出来（每个人的信升里预先都装着三四个正方形，边长1.2分米的、边长1分米的、边长0.8分米的……）我说：谁能很快地把平方分米挑出来。很多学生都很快地把平方分米挑了出来，相互交流。也有少数学生挑错了，我再引导纠正。 这个教学案例中实际上有五、六个心理学原理：如何激发学习动机，如何引起联想，如何激发再造想象，如何组织首次感知，如何建立表象。但是，课上下来，老师们却较多地关闭眼回想的环节，都觉得让学生“先观察，再闭眼晴回想，又在一堆图形中挑出”特别好，说是把平方分米的意义教活了。至上平方分米的颜色为何是显眼的橘红色，为何要闭眼，为何要挑选图形，则不知底里！有的老师在后来自已的教学中竟也乐于让学生闭眼。有一次在随意听课时，我就看到这种情况，老师教的是应用题。通过例题教学，得出了一个数量关系式：总数量÷相对应的份数＝平均数，课讲得很好！但是接着就见老师讲：清大家把这个数量关系式仔细观察下，然后把眼睛闭起来，在脑子里想一想，刚才我们观察的数量关系式是怎样的，在脑子里留下来了吗？学生答：留下了。老师说：留下了就把眼睛睁开。天哪！我让学生闭眼回想是为了让学生把感知过的平方分米的样子留在脑子里，形成表象。儿童认知概念是循着“形象一表象一抽象”的过程进行的。数量关系式已是抽象规则，怎能再拽回到形象、表象的阶段，让学生闭眼回想呢？ 那什么是表象呢？表象是客观事物经过主体感知以后在头脑中所留下的形象。表象具有直观形象性和抽象概括性双重特点。直观形象性是指大脑中刚刚我们感知过的那些事物，这些事件的形象、过程、情境就像历历在目那样清晰、逼真。抽象概括性是指表象综合了多次感知的结果，概括了多次感知的内容。表象源于感知，却高于感知，成为人们认识事物由感知向抽象思维过渡的中介环节。 关于表象的三个问题： 1、要帮助学生建立和获得表象。 对于抽象的数学知识，生动的直观形象毕竟只能为儿童提供理解的起点，表象的建立才能更有利于他们很快的摆脱具体事物的束缚，顺利地向抽象思维过渡。有经验的老师在学生感知了具体事物或模型以后，常常隐去实物或模型（有时让学生闭起双眼），在脑中回想刚感知过的事物或经历过的情境，已建立准确、鲜明的表象，而且以此为中介，进行抽象思维。“形象—表象—抽象”表象的作用是中介作用。 对静止事物感知后在头脑中留下的形象是静态表象。经演示、操作、活动等在头脑中留下的形象、情境是动态表象，这种动态表象除了跟静态表象一样在认知过程中发挥中介作用外，它所反映的情境、过程更能引起人们对知识经验的前因后果和来龙去脉的深入思考，有利于人们在进一步展开的抽象思维中更好地把握过程和结论的关系。 在数学教学中，教师应精心组织直观演示与操作活动，展示清晰的过程和程序，并通过回显、复述、提问等办法，帮助学生把相关情境、过程留在脑中，形成动态表象。这不仅对于学习抽象的概念、性质、规律与方法极其有利，而且能使学生在“知其所以然”上获得深刻的理解和牢固的记忆。值得指出的是，这种动态表象的获得在日后的问题情境中常可通过原型启发而爆发出奇异的解题设想来。如教学圆柱的体积计算公式时，某教师引导学生动手操作，把圆柱切割、拼补成近似的长方体，推导圆柱体体积计算公式。有些学生在桌子上把变形后的近似长方体一会儿竖放、一会儿横放，在横放时观察到其底面为圆柱体侧面的一半，其高为圆柱体的底面半径……获得了这一情境表象后，在解答“一个圆柱体的侧面积为314平方厘米，底面半径为5厘米，求这个圆柱体的体积”时，这些学生不仅能按一般方法3.14×52×[3.14÷(5×2×3.14)]解答，而且能凭借动态表象复现的操作过程；给出3.14÷2×5的巧妙解法。 2、唤起和提取表象，实现问题的有效解决 学生在学习和生活中，通过观察与活动，获得并储备了各种表象。在解决问题时，却往往因为有关的表象不能及时浮现而茫然不知所措。教师要善于引导学生根据表述问题的文字或语言，唤起学生头脑中相应的表象，必要时还可以外化具体的形象或情境以帮助学生解决问题。 如：一年级学生在解答“小朋友排队，从前数起或从后数起，小明都排在第6位，这队小朋友共有多少人”时，常常感到困难。教师就可引导学生先将“从前数起或从后数起，小明都排在第6位“变成”从前数起，小明排在第6位；从后数起，小明也排在第6位”。然后，问学生：“从前面数起，小明排在第6位是什么意思?如果用★代表小明，用O代表排在小明前面的小朋友，你们能画出排队的情况吗?”学生画出示意图后，教师继续引导学生用●代表排在小明后面小朋友画出整队学生排队的情况：○○○○○○★●●●●●。通过画图，帮助学生有效地提取了生活表象，进而列出正确的解答式：5+1+5=11(人)。 又比如：解答”一个长32厘米、宽20厘米、高30厘米的金鱼缸，前面与左边的两块玻璃破了，需要配两块多大的玻璃”时，部分学生因为对长方体的各个面以及这些面的长、宽与长方体棱的对应关系的表象不清晰，出觋思维障碍。教师可让学生想象：金鱼缸前面的那块玻璃在长方体的什么部位? 它的长就是长方体的什么?宽呢?金鱼缸左边的那块玻璃……这样的引导能帮学生唤起长方体的表象，促进学生顺利地解答问题。所以说有些问题学生不能从字面上把握其中的数量关系或空间位置关系，教师可让学生回想有关形象或情境，必要时还可以出示模型或图画，唤起学生头脑中既有的表象，并引导学生借助表象解决问题。 3、丰富和积累表象。 三．数学是用数量关系与空间形式来反映客观世界的，具备丰富的表象是学生学好数学的重要前提。心理学家曾对一批弱智儿童就表象问题进行过专门的测查，发现他们大脑中有大片“空白”，一般儿童脑中所具有的表象在他们的脑子里面很少反映，因而严重影响了他们的抽象思维和直觉思维。他们中的大多数人感知迟钝，脑中储备的表象数量少。与此相反，一些思维品质好的学生大脑中存储了丰富的表象。学习新知时，他们能说出、画出许多与新知相关联的不在眼前的事物、情境。这些学生大多感知、敏锐、留意观察身边的事物，对什么事物都喜欢看一看、听一听、摸一摸。所以从孩子幼年开始，我们的教师和家长要尽可能让学生接触周围的事物，以积累各种各样的表象；要尽可能让学生接触生活中的数学活动，如让学生利用实物数数，接触与摆弄各种几何形体的物品、玩具，经历购物、付钱、分物等活动……当积累了越来越多的数学表象以后，学生就能在学习中得心应手，提高学习效率。 迁移是一种学习对另一种学习的影响。就小学数学的学习而言，迁移主要指先前学习的知识、技能对后来学习新的知识、技能所施加的影响。如果已有的知识技能对新学习的知识技能起着促进作用与积极的影响，称为正迁移（或简称“迁移”）；如果已有的知识技能对新学习的知识产生干扰，起消极的影响，称为负迁移（或称“干扰”）。由于数学知识都是内在联系着的，所以，迁移现象普遍存在于学生的学习活动中。从教学任务看，我们所期望并努力实现的当然是促进性的正迁移（并注意避免干扰性负迁移）。把握迁移原理的教师十分注意利用学生先前获得的认知结构对后继学习施以积极影响，顺应或同化为新的认知结构，并使原有认知结构得以扩展和壮大。 比如学习异分母分数加减法时，教师先让学生计算：456+36，3.45+33.8,3/8+ 5/8，然后逐题讨沦：(1)在竖式中整数加减法为什么要数位对齐？（突出：计数单位相同才能相加）（2）在竖式中计算小数加减法为什么要把小数点对齐？（突出：小数点对齐数位就对齐，计数单位相同才能加。）(3)同分母分数加减法为什么分母相同分子可直接相加？（突出：分母相同，表示分数单位相同，分子可以直接相加。）此时，学生已然明白，所有的加减法计算，只有在计数单位相同时才能直接相加。接着，出示异分母分数加法1/2+1/3 ，问学生：分子能直接相加吗？生答：不能。师问：为什么呢？生答：分母不同，分子不能直接相加，还有学生说：分母不同就是计数单位不同，一个1/2和一个1/3是2个什么呢？所以不能直接相加。师问：那怎么办呢？学生经过讨论，终于想到了通分的办法，分数的计算单位相同的分数了再相加，老师结合书上的图作了适当的补充，学生学会了正确计算，这就是教师应用了迁移的理论进行了教学。 再比如说，教学“平行四边形的面积”，为了诱导学生学习割补方法，教师先出示了下面以方格纸为背景的图形： 现代认知论关于迁移的研究表明，学习的正迁移量越大，说明学生原有认知结构适应新的学习情境或解决新的问题的能力越强。所谓正迁移量，就是认识主体原有的认知结构，就是学生已有观念的全部内容及其组织。学生原有的认知结构是学习迁移的最关键因素。研究表明，直接影响学生迁移过程的主要有三个认知结构变量(所谓认知结构变量，就是学习者应用它的原有观念迁移新知识时，原有认知结构在内容和组织方面的特征)：一是可利用性。就是在新的学习任务面前学生原有认知结构中是否有适当的起固定作用的观念可以利用？二是可辨别性。就是在新的学习任务面前，新的有潜在意义的学习任务与同化它的原有的概念系统的可辨别的程度如何？也就是说，学习者原有知识与要学习的新知识之间的异同是否分辨清楚；三是稳定性。就是在新的学习任务面前，原有的起固定作用的观念的稳定性和清晰性如何？原有观念越概括、越稳固，越有助于迁移。 知道了这一点，组织学生学习时就要注意：在学生原有认知结构中寻找和确定可以固定新知的相关旧知，为新的学习提供最佳关系和固定点。例如，除数是小数的除法计算，应该有除数是整数的除法为基础，还要有除法的商不变规律、小数点位置移动引起小数大小变化等知识参与作用；异分母分数加减法的计算，应该有同分母分数加减法，特别是“计数单位相同，才能相加减”这一包摄性、概括性很强的观念为基础；学生掌握了三角形面积计算的推导方法，再学习梯形面积，可利用拼合图形推导这－共同染道，诱导学生自行迁移到梯形面积的推导中来。 所以只有当相关旧知的确定和充分利用才能促进新知和旧知的相互作用，构成联系新旧知识的桥梁，实现知识的正确应用。 所学的新知识由于符合原有的认知结构，从而顺利地为原有认知结构所接纳，即为知识同化。有些知识一时无法被个体原有认知结构所直接接受，必须进行调整、重组乃至改造，重建新的认知结构，这便是顺应。 数学教学心理学对于数学教学实践来说，虽然是永恒的理论支柱之，但不等于数学教学心理学的理论建设可以停滞不前。歌德有句名言，理论是灰色的，唯生活之树常青。广大教师鲜活的教学实践完全可以走在理论发展的前面，给理论建设提出新的命题，带来新的理性思考，反哺理论的发展。课改实验越往深处，类似这样的新思考会越多。老师们，你们既是数学教学心理学的践行者，相信也是数学教学心理学的发展者！ |
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